基本不等式 教學(xué)設(shè)計(jì)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式【2.2基本不等式】基礎(chǔ)闖關(guān)務(wù)實(shí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測題型一對基本不等式的理解1、已知，且，那么下列結(jié)論一定成立的是A．B．C．D．【解析】因?yàn)椋?，所以．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．2、下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【解析】A.由基本不等式可知，故A不正確；B.，即恒成立，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故C不正確；D.當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故D不正確.3、“為正數(shù)”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若a,b為正數(shù),取a=1,b=1,則a+b=2,則“a,b為正數(shù)”不是“a+b>2”的充分條件;若a+b>2,取a=1,b=0,則b不是正數(shù),則“a,b為正數(shù)”不是“a+b>2”的必要條件.故“a,b為正數(shù)”是“a+b>2”的既不充分也不必要條件,故選D.4、不等式成立的前提條件為()A． B．C．D．解析：因?yàn)椴坏仁匠闪⒌那疤釛l件是x-2y和均為正數(shù),所以x-2y>0,即x>2y,故選B.題型二利用基本不等式比較大小5、設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜＜B．a(chǎn)＜＜＜bC．a(chǎn)＜＜b＜D．＜a＜＜b解析：因?yàn)?<a<b，所以由基本不等式得<，且<＝b，又a＝<，故a<<<b，故選B.6、設(shè)、、，，，，則、、三數(shù)（）A．都小于B．至少有一個(gè)不大于C．都大于D．至少有一個(gè)不小于解析：由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個(gè)不小于，故選D.7、已知，則與的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)2+b2≥2|ab| B．a(chǎn)2+b2=2|ab|C．a(chǎn)2+b2≤2|ab| D．a(chǎn)2+b2>2|ab|解析：∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí),等號(hào)成立).故選A8、設(shè)0<a<b，且a+b=1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是()A． B．a(chǎn)2+b2C．2ab D．a(chǎn)解析：因?yàn)?<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<.又因?yàn)閍2+b2≥2ab，所以四個(gè)數(shù)中的最大數(shù)一定不是a和2ab.又因?yàn)?=a+b>，所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>,故選B.題型三利用基本不等式求最值8、已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（）A．1B．C．D．【解析】解：因?yàn)?，所以，?故選D9、已知正實(shí)數(shù)x，y滿足.則的最小值為（）A．4B．C．D．【解析】解：由，得，因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D10、下列命題中：①若，則的最大值為；②當(dāng)時(shí)，；③的最小值為；④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號(hào))【解析】①若，則的最大值為，正確②當(dāng)時(shí)，，時(shí)等號(hào)成立，正確③的最小值為，取錯(cuò)誤④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，恒成立均為負(fù)數(shù)時(shí)也成立.故答案為①②11、(1)已知，求的最大值；(2)已知，求的最大值．解析：(1)因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即，函數(shù)的最大值為.(2)因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為12、已知，則的最小值是_______.【解析】因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.題型四利用基本不等式證明不等式13、已知均為正數(shù)不全相等.求證:解析：證明∵∴+≥=+≥=+≥=2b.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)上式等號(hào)均成立,又不全相等,故上述等號(hào)至少有一個(gè)不成立.∴.14、已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z=1，求證：（1）（1）（1）＞8．【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正實(shí)數(shù)，∴（1）（1）（1）8．∴（1）（1）（1）＞815、已知a，b都是正數(shù)，求證：．【解析】∵，∵由均值不等式得，．由不等式的性質(zhì)，得，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立．題型五利用基本不等式解決實(shí)際問題16、已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規(guī)定，A、B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60~120km/h，假設(shè)汽油的價(jià)格是7元/L，汽車的耗油率為，司機(jī)每小時(shí)的工資是70元（設(shè)汽車為勻速行駛），那么最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用是多少？【解析】設(shè)總費(fèi)用為則當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足條件故最經(jīng)濟(jì)的車速是，總費(fèi)用為280.17、某單位修建一個(gè)長方形無蓋蓄水池，其容積為立方米，深度為米，池底每平方米的造價(jià)為元，池壁每平方米的造價(jià)為元，設(shè)池底長方形的長為米.（1）用含的表達(dá)式表示池壁面積；（2）當(dāng)為多少米時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少？【解析】（1）由題意得：池底面積為平方米，池底長方形的寬為米（2）設(shè)總造價(jià)為元，則：化簡得：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)即當(dāng)米時(shí)，最低造價(jià)是元能力提升思維拓展探究重點(diǎn)1、已知，若不等式恒成立，則的最大值為A．9B．12C．16D．20【解析】因?yàn)?，所以，，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），要想不等式恒成立，只需，即的最大值為，故選A．2、已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．B．5C．D．【解析】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)等號(hào)成立，故選：．3、（1）證明：；（2）正數(shù)，滿足，求的最小值.解析：（1）證明：要證，只需證，即證.由于，所以成立，即成立.（2）解：當(dāng)，即，時(shí)，取最小值.4、已知a，b，c均為正數(shù),求證:++≥3.解析：證明∵a，b，c均為正數(shù),∴+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)等號(hào)成立),+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=3c時(shí)等號(hào)成立),+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)2b=3c時(shí)等號(hào)成立),以上三式相加,得+++++≥6(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時(shí)等號(hào)成立),∴（+-1）+（+-1）+（+-1）≥3(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時(shí)等號(hào)成立),即++≥3.(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時(shí)等號(hào)成立).5、如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園.設(shè)菜園的長為，寬為.