平面向量的應(yīng)用【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義

平面向量的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)平面向量的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解并利用正余弦定理理解三角形2、掌握平面幾何中的向量方法探索新知3、理解三角形的實(shí)際應(yīng)用探索新知余弦定理、正弦定理

1、余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即；

,

余弦定理得推論；

cosA=，cosB=,cosC=

2、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即；

二、正弦定理的變形：

1.

2.

三、正、余弦定理的綜合運(yùn)用

三角形的面積公式三角形面積的公式S=S=SS概念辨析概念辨析思考思考11.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3（1）求角A的大??；（2）若BC邊上的中線AD=2，求△ABC【答案】（1）解：依題意有3a∴3sinAsinB=(1-cosA)sinB，解得sinA=32，cosA（2）解：|AD|=|AB+AC2|=2|AB∴(|AB||AC|)max=16故△ABC面積的最大值為S【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理【解析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡已知等式可求cosA的值，結(jié)合A的范圍可求出A的值即可．

（2）由題意可得|AB+AC|=4，兩邊平方，利用基本不等式可求出思考思考22.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC=4,∠B=2∠D,∠ACB=【答案】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，可得∠B+∠D又因?yàn)椤螧=2∠D，所以在△ABC中，因?yàn)椤螦CB=π12由正弦定理得ACsinB=BCsin∠BAC在△ACD中，由余弦定理得AC即24=AD當(dāng)且僅當(dāng)AD=CD時(shí)，取等號，即AD所以SΔACD=即△ACD面積的最大值為6【考點(diǎn)】正弦定理，余弦定理【解析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

∠B=2π3,∠D=π3，在△ABC中，利用正弦定理得AC=26思考3思考33.在△ABC中，cosB(（1）求B；（2）若c=2a，△ABC的面積為233，求【答案】（1）解：由cosB(3a-bsin∴3acosB=bsin∴3acos由正弦定理，得3sinAcosB=sin∴3cosB=sinB，即tanB∴B=（2）解：由c=2a,△ABC的面積為233，得S△ABC=12由余弦定理b2=a2+c2-2ac∴△ABC的周長為a【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理，余弦定理思考4【解析】（1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡已知等式，結(jié)合sinA≠0，可得tanB的值，結(jié)合0＜B＜π，可得B的值．

（2）由題意利用三角形的面積公式可求a的值，進(jìn)而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC思考44.在①33csinB=a-問題：△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為（1）求B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，BD=2，求△ABC【答案】（1）解：選擇條件①：∵33c∴由正弦定理得，33又在△ABC中，sin∴3又∵C∈(0,∴sin∴33sinB=又∵B∈(0,∴B選擇條件②：∵bsin∴由正弦定理得，sinB又∵C∈(0,∴sin∴sinB即sinB∴12即tanB又∵B∈(0,∴B（2）解：有題意知2BD∴4|BD|2=(又∵a2∴ac?163（當(dāng)且僅當(dāng)由三角形面積公式可知S△∴△ABC的面積的最大值為4【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，三角形中的幾何計(jì)算【解析】（1）在①33csinB=a-bcosC，②bsinC=ccos(B-π6)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到橫線上并作答。選擇條件①，利用已知條件結(jié)合正弦定理和兩角和的正弦公式，進(jìn)而結(jié)合三角形中角C的取值范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，進(jìn)而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范圍，進(jìn)而求出角B的值；選擇條件②，利用已知條件結(jié)合正弦定理和兩角和的正弦公式，進(jìn)而結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，進(jìn)而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范圍，進(jìn)而求出角B的值。1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15，且(sinA+sinB)2+cosA.

1314

B.

1114

C.

122.騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為3，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動該自行車的過程中，AC?BPA.

18

B.

24

C.

36

D.

483.如圖，在△ABC中，∠BAC=2π3，點(diǎn)D在線段BC上，AD⊥AC，BDCD=14，則A.

714

B.

2114

C.

774.若復(fù)數(shù)z=2-i1+i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為Z，則向量OZ(O為原點(diǎn))的模A.

2

B.

2

C.

102

D.

參考答案1.【答案】B【解析】∵(sinA+sinB)2+cos由正弦定理得a2+又因?yàn)閍，b，c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15，即a+由{a2+b2-cosB=2.【答案】C【解析】騎行過程中，ABCDE相對不動，只有P點(diǎn)繞D點(diǎn)作圓周運(yùn)動．如圖，以AD為x軸，E由題意A(-4,0)，B(-