平面向量的正交分解及坐標表示【新教材】2022年人教A版高中數學必修練習

平面向量的正交分解及坐標表示練習一、單選題已知ABCD為平行四邊形，其中A(5,?1)，B(?1,7)，C(1,2)，則頂點D的坐標為(????)A.(?7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,?6)已知向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，則b=

A.(1,?2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0)如圖，我們在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，若|a|=2，θ=45°，則向量a的坐標為

(

)A.(1,1)

B.22,22

C.在平行四邊形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，AD=(?1,2)，則AC+BD=

A.(?2,4) B.(4,6) C.(?6,?2) D.(?1,9)如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則AB可以表示為(????)A.2i+3j B.4i+2j若{i,j}為正交基底，設a=(x2+x+1)i?(A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么AB可以表示為(????)A.2i+3j B.4i+2j如果將OA=32,12繞原點O逆時針方向旋轉120°得到OB，則A.?12,32 B.32已知向量AB=(1,1)，BC=(?2,1)，DC=(0,3)，則AD=

(A.(?1,5) B.(?1,?1) C.(3,3) D.(1,1)設向量a=(4,?12)，b=(?8,18)，若表示向量a，b，c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c等于

(

)A.(1,?1) B.(?1,1) C.(?4,6) D.(4,?6)設向量a的始點坐標為(3,1)，終點坐標為(?1,?3)，則向量a的坐標為(

)A.(?1,?3) B.(4,4) C.(?4,?2) D.(?4,?4)二、單空題已知點A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(?4,?3)，則向量BC=

作用于原點的兩個力F1=(1,1)，F2=(2,3)，為使它們平衡，需加力F已知點A(1,?2)，若向量AB=(6,9)，則點B的坐標為_______．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，AB=(2,4)，AC=(1,3)，則______．已知向量a=(2m,m)，b=(n,?2n)，若a+b=(9,?8)(m,n∈R)三、解答題已知點A(2,3)，B(5,4)，C(5λ+2,7λ+3)，若第三象限的點P滿足AP=AB+AC，求實數λ的取值范圍．

已知向量AB=(4,3)，AD=(?3,?1)，點(1)求點B和點D的坐標；(2)若點P(2,y)滿足PB=λBD(λ∈R)，求y與λ的值．

已知點A(3,?4)與B(?1,2)，點P在直線AB上，且|AP|=|PB|，求點P的坐標．

已知點O(0,0)，A(1,2)，B(1+3t,2+3t)，OP=OA+(1)點P在x軸上？(2)點P在y軸上？(3)點P在第二象限？

答案和解析1.【答案】D【解答】解：設D(x,y)，因為AD=所以(x?5,y+1)=(2,?5)，所以x=7，y=?6．

2.【答案】A

【解答】

解：因為向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，

則b=a+b?a=(3,2)?(2,4)=(1,?2)．

故選A．

3.【答案】C

【解答】

解：設向量a=(x,y)，a方向相對于x軸正方向的旋轉角為θ，

由三角函數的定義，可知x=|a|cos【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，由A(1,2)，B(3,5)，AB=(2,3)，AD=(?1,2)，

∴AC+BD=AB+AD+AD?AB=2AD=(?2,4)．

5.【答案】C

【解答】解：記O為坐標原點，則OA=2i+3j，OB=4i+2j，

所以AB=OB?OA=2i?j．

故選C．

6.【答案】D

【解答】

解：因為{i,j}為正交基底，且a=(x2+x+1)i?(x2?x+1)j(其中x∈R)，

所以x2+x+1=x+122+34>0,x2?x+1=x?122+34>0，

故向量a對應的坐標位于第四象限，

7.【答案】C

【解答】解：記O為坐標原點，則OA=2i+3j，OB=4i+2j，

所以AB=OB?OA=2i?j．

8.【答案】D

【解答】解：因為OA=32,12所在直線的傾斜角為30°，

繞原點O逆時針方向旋轉120°得到OB所在直線的傾斜角為150°，

所以A【解答】解：設C(x,y)，

∵點A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(?4,?3)，∴AC=(x,y?1)=(?4,?3)，

解得x=?4，y=?2，∴C(?4,?2)，

∴BC=(?7,?4)．

故答案為(?7,?4)．

13.【解答】解：∵F1+F2=(1,1)+(2,3)=(3,4)，

∴為使它們平衡則F1+F2+F3=解：記O為坐標原點，因為A(1,?2)，AB=(6,9)，

所以OB=OA+AB=(1,?2)+(6,9)=(7,7)，

15.【答案】34

【解答】

解：平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，AB=(2,4)，AC=(1,3)，

∴AD=BC=AC?AB=(1,3)?(2,4)=(?1,?1)，

∴BD=AD?AB=(?1,?1)?(2,4)=(?3,?5)，

則|BD|=(?3)2+(?5)2=34，

16.【答案】?3

【解答】

解：∵a+b=(2m+n,m?2n)=(9,?8)，

∴2m+n=9,m?2n=?8,∴m=2,n=5,

∴m?n=2?5=?3．

故答案為?3．

17.【答案】

解：設P(x,y)，則AP=(x?2,y?3)，

又AP=AB+AC=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)，

所以(x?2,y?3)=(3+5λ,1+7λ)，

得x?2=3+5λ,y?3=1+7λ,即x=5λ+5,y=7λ+4.

因為點P在第三象限，所以5λ+5<0,7λ+4<0,解得λ<?1，

故所求實數λ的取值范圍是(?∞,?1)．

18.【答案】解：(1)設B(x,y).∵A(?1,?2)，

∴AB=(x+1,y+2)=(4,3)，

∴x+1=4y+2=3，解得x=3y=1

∴B(3,1)．

同理可得D(?4,?3)．

(2)∵PB=(1,1?y)，BD=(?7,?