中考-二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)講義 中點(diǎn)綜合

20/20中點(diǎn)綜合【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握等腰三角形三線合一★★★☆☆☆直角三角形斜邊中線★★★☆☆☆倍長(zhǎng)中線★★★★★☆類倍長(zhǎng)中線★★★★☆☆中位線★★★★☆☆一、等腰三角形三線合一學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握等腰三角形三線合一★★★☆☆☆【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”：【例題講解】★★☆例題1．如圖，點(diǎn)是等腰底邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、的垂線，垂足為、，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：是等腰直角三角形．★★★練習(xí)1．如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且．（1）請(qǐng)說(shuō)明：；（2）請(qǐng)說(shuō)明：；（3）若，，求的面積（直接寫結(jié)果）．★★★練習(xí)2．如圖所示：一副三角板如圖放置，等腰直角三角板固定不動(dòng)，另一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)處，且可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩直角邊的交點(diǎn)、始終在邊、上．（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段和大小有何關(guān)系？證明你的結(jié)論．（2）若，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形的面積是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的取值范圍．（3）若交點(diǎn)、分別在邊、的延長(zhǎng)線上，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形，直接寫出結(jié)論．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________二、直角三角形斜邊中線學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握直角三角形斜邊中線★★★☆☆☆【知識(shí)點(diǎn)】（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可一用來(lái)判定直角三角形已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線：【例題講解】★★☆例題1．如圖，矩形和矩形中，，，，，連接，是的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)是A． B． C． D．2★★☆練習(xí)1．如圖，中，、是的兩條高，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．求證：．★★★練習(xí)2．如圖（1），已知銳角中，、分別是、邊上的高，、分別是線段、的中點(diǎn)．（1）求證：．（2）連結(jié)，，猜想與之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)變?yōu)殁g角時(shí)，如圖（2），上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說(shuō)明理由．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________三、倍長(zhǎng)中線學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握倍長(zhǎng)中線★★★★★☆【知識(shí)點(diǎn)】倍長(zhǎng)中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）：【例題講解】★★★例題1．小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法，他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小明證明用到的判定定理是：（用字母表示）（2）的取值范圍是小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)．★★★練習(xí)1．閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：在中，，，邊上的中線的取值范圍．（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖①延長(zhǎng)到使得；②再連接，把、、集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則的取值范圍是．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)寫出圖1中與的位置關(guān)系并證明；（3）思考：已知，如圖2，是的中線，，，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．★★★練習(xí)2．（1）如圖1所示，在中，為的中點(diǎn)，求證：甲說(shuō)：不可能出現(xiàn)，所以此題無(wú)法解決；乙說(shuō)：根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、，由于，所以可得四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫出此處的依據(jù)：（平行四邊形判定的文字描述）所以，中，，即請(qǐng)根據(jù)乙提供的思路解決下列問(wèn)題：（2）如圖2，在中，為的中點(diǎn)，，，，求的面積；（3）如圖3，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接交于，若．求證：【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________四、倍長(zhǎng)類中線學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握倍長(zhǎng)類中線★★★★☆☆【知識(shí)點(diǎn)】倍長(zhǎng)類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）：【例題講解】★★★例題1．在菱形中，．（1）如圖1，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，若，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，為線段上一點(diǎn)不與，重合），以為邊，構(gòu)造如圖所示等邊三角形，線段與交于點(diǎn)，連接，，為線段的中點(diǎn)，連接，，求證：．★★★練習(xí)1．已知是等腰直角三角形，，為外一點(diǎn)，，，連接、，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）若，，，求．（2）求證：．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________五、中位線學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握中位線★★★★☆☆【知識(shí)點(diǎn)】已知三角形一邊的中點(diǎn)，可考慮中位線定理：【例題講解】★★☆例題1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)．連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5★★☆練習(xí)1．如圖，四邊形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．MN D．MN★★☆練習(xí)2．如圖，在△ABC中，CD是高，CE是中線，CE＝CB，點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD，交AC邊于點(diǎn)G，連接GE．若AC＝18，BC＝12，則△CEG的周長(zhǎng)為．★★☆例題2．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，BC，E、F、G分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)，若∠DAC＝10°，∠ACB＝66°，則∠FEG等于（）A．76° B．56° C．38° D．28°★★☆練習(xí)1．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝68°，點(diǎn)D、E、F分別是三角形三邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，AM是三角形BC邊上的高，連接DM，EM，EF，則∠DME＝°，∠DFE＝°．★★☆練習(xí)2．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線分別AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H、G，求證：∠AHF＝∠BGF．★★☆例題3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上任一點(diǎn)，點(diǎn)F，G，E分別是AD，BF，CF的中點(diǎn)，連結(jié)GE，若△FGE的面積為8，則△ABC的面積為（）A．32 B．48 C．64 D．72★★☆練習(xí)1．如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6★★☆練習(xí)2．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，H，G是邊BC上的點(diǎn)，且HGBC，S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積為（）A．6 B．4 C．3 D．2【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________【課后練習(xí)】★★☆1．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為19，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC＝7，則MN的長(zhǎng)度為（）A． B．2 C． D．3.★★☆2．（1）如圖，是的邊上一點(diǎn)，且，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，求證：．（2）若（1）中的，其它條件不變，求的值．★★☆3．如圖，在四邊形中，，、分別是、的中點(diǎn)，（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．★★☆4．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，N為DC的中點(diǎn)．求證：∠PMN＝∠PNM．★★☆5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)．（1）求證：FG＝FH；（2）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，F(xiàn)G⊥FH？并說(shuō)明理由．★★☆6．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，E、F、G、H分別是邊AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）A．24 B．20 C．12 D．10★☆☆7．如圖，在△ABC中，D是AC邊的中點(diǎn)，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于點(diǎn)E，若AC＝4，BC＝6，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．12★★☆8．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分別是AB、AC、BD的中點(diǎn)，若BC＝6，則△PMN的周長(zhǎng)是（）A．6 B．9 C．12 D．18★★☆9．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為（）A．3 B．2 C．4 D．2【拔高練習(xí)】★★★1．已知，點(diǎn)是直角三角形斜邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），分別過(guò)，向直線作垂線，垂足分別為，，為斜邊的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系式；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上不與點(diǎn)重合時(shí)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段（或的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明．★★★2．以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，，連接，、分別是、的中點(diǎn)．探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是，線段與的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．★★★3．如圖1，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，分別以和為斜邊向的同側(cè)做等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接，，．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：是等腰直角三角形；（3）如圖2，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段外一