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中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題:三角形壓軸訓(xùn)練(一)1.如圖1,△ABC中,∠ABC=α,0°<α<90°,分別以AB、BC為邊在△ABC外部作△ABD和△BCE,且BD⊥BC,BE⊥AB,點F為AC邊中點,連接DE、BF.(1)如圖2,當α=30°,AD=BD,BE=CE時,寫出DE與BF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)如圖3,當α=45°,AD=BD,BE=CE時,寫出DE與BF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)當BD=,AB=4,BE=,BC=4,cosα=時,直接寫出AC和BF的長.2.如圖,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如圖1,點D、E都在△ABC外部,連結(jié)BD和CE相交于點F.①判斷BD與CE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,并說明理由;②若AB=2,AD=,求BF2+CF2+DF2+EF2的值.(2)如圖2,當點D在△ABC內(nèi)部,點E在△ABC外部時,連結(jié)BE、CD,當AB=3,AD=時,求BE2+CD2的值.3.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=14,過點A作AD⊥BC于點D,E為腰AC上一動點,連接DE,以DE為斜邊向左上方作等腰直角△DEF,連接AF.(1)如圖1,當點F落在線段AD上時,求證:AF=EF;(2)如圖2,當點F落在線段AD左側(cè)時,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;(3)在點E的運動過程中,若AF=,求線段CE的長.4.如圖1,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,點D是AB上一點,且AC=8,∠DCA=45°,AE⊥BC于點E,交CD于點F.(1)如圖1,若AB=2AC,求AE的長;(2)如圖2,若∠B=30°,求△CEF的面積;(3)如圖3,點P是BA延長線上一點,且AP=BD,連接PF,求證:PF+AF=BC5.(1)問題提出:如圖1,已知等邊△ABC的邊長為2,D為BC的中點,P是AD上一動點,則BP+AP的最小值為.(2)問題探究:如圖2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,AC=,在三角形內(nèi)有一點P滿足∠APB=∠BPC=120°,求PA+PB+PC的值.(3)問題解決:如圖3,某地在脫貧攻堅鄉(xiāng)村振興中因地制宜建造了3個特色農(nóng)產(chǎn)品種植基地A,B,C.現(xiàn)需根據(jù)產(chǎn)品中轉(zhuǎn)點P修建通往種植基地A,B,C的道路PA,PB,PC,方便農(nóng)產(chǎn)品的儲藏運輸,根據(jù)地質(zhì)設(shè)計,PB路段每米造價是PA的倍,PC路段每米造價是PA的2倍.已知AB=BC=2000米,∠ABC=30°,要使修建3條道路費用最小,即求PA+PB+2PC的最小值.6.如圖,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,點D為BC邊上一點.(1)如圖1,若AD=AM,∠DAM=120°.①求證:BD=CM;②若∠CMD=90°,求的值;(2)如圖2,點E為線段CD上一點,且CE=1,AB=2,∠DAE=60°,求DE的長.7.如圖△ABC為等腰直角三角形,∠A=90°,D、E分別為AB、AC邊上的點,連接DE,以DE為直角邊向上作等腰直角三角形DEF,連接BE、BF.(1)如圖1,當CE=AD時,求證:BF⊥BD;(2)如圖2,H為BE的中點,過點D作DG⊥BC于點G,連接GH.求證:BF=2HG;(3)如圖3,BE與DF交于點R,延長BF交AC于點P,∠APB的角平分線交BE于點Q.若點E為AC上靠近點A的三等分點,且tan∠AED=,請直接寫出的值.8.如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,點E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,H為線段EF上一動點(不與點E,F(xiàn)重合),將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG,連接GC,HB.(1)證明:△AHB≌△AGC;(2)如圖2,連接GF,HG,HG交AF于點Q.①證明:在點H的運動過程中,總有∠HFG=90°;②若AB=AC=4,當EH的長度為多少時△AQG為等腰三角形?9.在△ABC中,AB=AC,點D平面內(nèi)一點,M是BD中點,連接AM,作ME⊥AM.(1)如圖1,若點E在CD的垂直平分線上,∠BAC=m°,則求∠DEC的度數(shù)(用含m的式子表示);(2)如圖2,當點D在CA延長線上,且DE⊥BC,若tan∠ABC=k,則求的值(用含k的式子表示).10.【知識再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后,我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡稱‘HL’定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.【簡單應(yīng)用】如圖(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E分別在邊AC、AB上.若CE=BD,則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是.【拓展延伸】在△ABC中,∠BAC=α(90°<α<180°),AB=AC=m,點D在邊AC上.(1)若點E在邊AB上,且CE=BD,如圖(2)所示,則線段AE與線段AD相等嗎?如果相等,請給出證明;如果不相等,請說明理由.(2)若點E在BA的延長線上,且CE=BD.試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系(用含有a、m的式子表示),并說明理由.11.問題探究:(1)如圖①,已知在△ABC中,BC=4,∠BAC=45°,則AB的最大值是.(2)如圖②,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D為△ABC內(nèi)一點,且AD=2,BD=2,CD=6,請求出∠ADB的度數(shù).問題解決:(3)如圖③,某戶外拓展基地計劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC,且AB=AC.∠BAC=120°,點A、B、C分別是三個任務(wù)點,點P是△ABC內(nèi)一個打卡點.按照設(shè)計要求,CP=30米,打卡點P對任務(wù)點A、B的張角為120°,即∠APB=120°.為保證游戲效果,需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大,試求出AP+BP的最大值.12.已知等邊△ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點(與點A、B不重合).(1)如圖1.當PB=3AP時,△BPC的面積為;(2)直線l是經(jīng)過點P的一條直線,把△ABC沿直線l折疊,點B的對應(yīng)點是點B′.①如圖2,當PB=5時,若直線l∥AC,求BB′的長度;②如圖3,當PB=6時,在直線l變化過程中.請直接寫出△ACB′面積的最大值.13.如圖,點P從O出發(fā)沿y軸負方向運動,過P作y軸的垂線分別交OA、OB于點M,N,已知A(a,﹣6),B(2,b),a,b滿足,AB與y軸交點為C.(1)求A,B兩點坐標.(2)計算△AOB的面積,并求:當P為OC中點時點P的坐標.(3)若y軸負半軸平分∠AOB,Q為直線BA與NM的延長線的交點,探究∠Q、∠OAB、∠OBA之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.14.已知:平面直角坐標系中,A(a,3)、B(b,6)、C(c,1),a、b、c都為實數(shù),并且滿足3b﹣4c=﹣a﹣12,2b+3c=5a+26.(1)請直接用含a的代數(shù)式表示b和c.(2)當實數(shù)a變化時,判斷△ABC的面積是否發(fā)生變化?若不變,求其值;若變化,求其變化范圍.(3)當實數(shù)a變化時,若線段AB與y軸相交,線段OB與線段AC交于點P,且S△PAB>S△PBC,求實數(shù)a的取值范圍.15.等腰Rt△BAC中,AB=AC,點D為AC邊上一點,連接BD并延長至點F,連接AF,作CE⊥BF于點E.(1)如圖1,若AB=

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