中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形壓軸訓(xùn)練（一）

中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形壓軸訓(xùn)練（一）1．如圖1，△ABC中，∠ABC＝α，0°＜α＜90°，分別以AB、BC為邊在△ABC外部作△ABD和△BCE，且BD⊥BC，BE⊥AB，點(diǎn)F為AC邊中點(diǎn)，連接DE、BF．（1）如圖2，當(dāng)α＝30°，AD＝BD，BE＝CE時(shí)，寫出DE與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)α＝45°，AD＝BD，BE＝CE時(shí)，寫出DE與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)BD＝，AB＝4，BE＝，BC＝4，cosα＝時(shí)，直接寫出AC和BF的長(zhǎng)．2．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖1，點(diǎn)D、E都在△ABC外部，連結(jié)BD和CE相交于點(diǎn)F．①判斷BD與CE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AB＝2，AD＝，求BF2+CF2+DF2+EF2的值．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)E在△ABC外部時(shí)，連結(jié)BE、CD，當(dāng)AB＝3，AD＝時(shí)，求BE2+CD2的值．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，E為腰AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為斜邊向左上方作等腰直角△DEF，連接AF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD上時(shí)，求證：AF＝EF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD左側(cè)時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，若AF＝，求線段CE的長(zhǎng)．4．如圖1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AB＝2AC，求AE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若∠B＝30°，求△CEF的面積；（3）如圖3，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝BD，連接PF，求證：PF+AF＝BC5．（1）問題提出：如圖1，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，D為BC的中點(diǎn)，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為．（2）問題探究：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．（3）問題解決：如圖3，某地在脫貧攻堅(jiān)鄉(xiāng)村振興中因地制宜建造了3個(gè)特色農(nóng)產(chǎn)品種植基地A，B，C．現(xiàn)需根據(jù)產(chǎn)品中轉(zhuǎn)點(diǎn)P修建通往種植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便農(nóng)產(chǎn)品的儲(chǔ)藏運(yùn)輸，根據(jù)地質(zhì)設(shè)計(jì)，PB路段每米造價(jià)是PA的倍，PC路段每米造價(jià)是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3條道路費(fèi)用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．6．如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．（1）如圖1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求證：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的長(zhǎng)．7．如圖△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，連接DE，以DE為直角邊向上作等腰直角三角形DEF，連接BE、BF．（1）如圖1，當(dāng)CE＝AD時(shí)，求證：BF⊥BD；（2）如圖2，H為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，連接GH．求證：BF＝2HG；（3）如圖3，BE與DF交于點(diǎn)R，延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)P，∠APB的角平分線交BE于點(diǎn)Q．若點(diǎn)E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，且tan∠AED＝，請(qǐng)直接寫出的值．8．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點(diǎn)Q．①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長(zhǎng)度為多少時(shí)△AQG為等腰三角形？9．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D平面內(nèi)一點(diǎn)，M是BD中點(diǎn)，連接AM，作ME⊥AM．（1）如圖1，若點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，∠BAC＝m°，則求∠DEC的度數(shù)（用含m的式子表示）；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，則求的值（用含k的式子表示）．10．【知識(shí)再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．11．問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．12．已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．（1）如圖1．當(dāng)PB＝3AP時(shí)，△BPC的面積為；（2）直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．①如圖2，當(dāng)PB＝5時(shí)，若直線l∥AC，求BB′的長(zhǎng)度；②如圖3，當(dāng)PB＝6時(shí)，在直線l變化過程中．請(qǐng)直接寫出△ACB′面積的最大值．13．如圖，點(diǎn)P從O出發(fā)沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，過P作y軸的垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M，N，已知A（a，﹣6），B（2，b），a，b滿足，AB與y軸交點(diǎn)為C．（1）求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)．（2）計(jì)算△AOB的面積，并求：當(dāng)P為OC中點(diǎn)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）若y軸負(fù)半軸平分∠AOB，Q為直線BA與NM的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，探究∠Q、∠OAB、∠OBA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．14．已知：平面直角坐標(biāo)系中，A（a，3）、B（b，6）、C（c，1），a、b、c都為實(shí)數(shù)，并且滿足3b﹣4c＝﹣a﹣12，2b+3c＝5a+26．（1）請(qǐng)直接用含a的代數(shù)式表示b和c．（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，判斷△ABC的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．（3）當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若線段AB與y軸相交，線段OB與線段AC交于點(diǎn)P，且S△PAB＞S△PBC，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．15．等腰Rt△BAC中，AB＝AC，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連接AF，作CE⊥BF于點(diǎn)E.（1）如圖1，若AB＝