等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)同步練習(xí)（含答案）

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課時1不等關(guān)系與不等式1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.(√)(2)若x2＝0，則x≥0.(√)(3)若x－1≤0，則x<1.(×)(4)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．(√)題型1用不等式(組)表示不等關(guān)系2．大橋橋頭立著的“限重40噸”的警示牌，是提示司機要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨物的總質(zhì)量T滿足關(guān)系(C)A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥403．下列說法正確的是(C)A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”4．用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的eq\f(1,k)(k∈N*)，已知一個鐵釘受擊3次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的eq\f(4,7)，則從這個實例中提煉出一個不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)<1，,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N*).解析：依題意得，第二次釘子沒有全部進入木板，第三次全部進入木板，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)<1，,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N*)．題型2用作差法比較大小5．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，則(C)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b解析：因為a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.6．若a≠2且b≠－1，則M＝a2＋b2－4a＋2b的值與－5的大小關(guān)系是(A)A．M>－5 B．M<－5C．M＝－5 D．不能確定解析：因為M－(－5)＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2，又a≠2且b≠－1，所以M－(－5)>0，所以M>－5.7．比較x6＋1與x4＋x2的大小，其中x∈R.解：因為x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.所以當(dāng)x＝±1時，x6＋1＝x4＋x2；當(dāng)x≠±1時，x6＋1>x4＋x2.綜上所述，x6＋1≥x4＋x2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±1時取等號．題型3不等式的實際應(yīng)用8．完成一項裝修工程，請木工需支付工資每人400元，請瓦工需支付工資每人500元，要求工人工資預(yù)算不超過20000元．設(shè)木工x人，瓦工y人，則下列關(guān)系式正確的是(A)A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200解析：請木工共需支付400x元，請瓦工共需支付500y元，可得共需支付工資(400x＋500y)元．又工人工資預(yù)算不超過20000元，故400x＋500y≤20000，化簡可得4x＋5y≤200.9．為打造“書香校園”，某學(xué)校計劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共30個．已知組建一個中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本．設(shè)組建中型圖書角x個，用不等式組將題目中的不等關(guān)系表示出來，并求有哪些符合題意的組建方案，并指出哪種方案用書籍最少，共用多少本．解：因為組建中型圖書角x個，所以組建小型圖書角為(30－x)個．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<30，x∈N*，,80x＋3030－x≤1900，,50x＋6030－x≤1620.))解這個不等式組得18≤x≤20.由于x只能取正整數(shù)，所以x的取值是18,19,20.當(dāng)x＝18時，30－x＝12；當(dāng)x＝19時，30－x＝11；當(dāng)x＝20時，30－x＝10.故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書角18個，小型圖書角12個；方案二，組建中型圖書角19個，小型圖書角11個；方案三，組建中型圖書角20個，小型圖書角10個．比較3種方案可知當(dāng)x＝18時用書籍最少，共用書籍130×18＋90×12＝3420(本)．易錯點1比較大小時作差變形不當(dāng)致誤10．甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則(B)A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定解析：設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1和v2，總路程為2s，顯然0<v1<v2，則甲用時間為eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2).設(shè)乙用時間為t，則v1·eq\f(t,2)＋v2·eq\f(t,2)＝2s.所以乙用時間為eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v22,v1v2v1＋v2)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．[誤區(qū)警示]本題易作差后變形不恰當(dāng)導(dǎo)致無法判斷差的符號而錯選D.易錯點2方法選擇不當(dāng)致誤11．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中的值最大的是(A)A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D．eq\f(1,2)解析：令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，則a1b1＋a2b2＝；a1a2＋b1b2＝；a1b2＋a2b1＝.故選A.[誤區(qū)警示]不能小題大做：本題若用作差法比較大小，則比較麻煩．有關(guān)不等式大小的選擇題，解題時要依據(jù)題目特點靈活選取方法，以簡化解題過程．(限時30分鐘)一、選擇題1．下面列出的不等式中，正確的是(C)A．a(chǎn)不是負(fù)數(shù)，可表示成a>0B．x不大于3，可表示成x<3C．m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成m－4<0D．x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x＋2>02．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是(A)A．M>N B．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)解析：因為M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以M>N.3．若a>b，則b2＋1與3b－a的大小關(guān)系是(A)A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－aC．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a解析：b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．因為a>b，所以a－b>0，又(b－1)2≥0，所以(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.4．某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示就是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.5．已知0<a<1,0<b<1，記M＝ab，N＝a＋b－1，則M與N的大小關(guān)系是(B)A．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)·(b－1)．因為0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，所以M－N>0，所以M>N.6．(多選題)已知三個不等式：①ab>0，②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，③bc>ad.則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．①③?② B．①②?③C．②③?① D．B選項錯誤解析：不等式②作等價變形eq\f(c,a)>eq\f(d,b)?eq\f(bc－ad,ab)>0，由ab>0，bc>ad可得②成立，即①③?②；若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，則bc>ad，故①②?③；若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，則ab>0，故②③?①.7．在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒eq\f(1,2)厘米，人跑開的速度是每秒4米，為了使點燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時跑到100米以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x(厘米)應(yīng)該滿足的不等式為(C)A．4×2x≥100 B．4×2x≤100C．4×2x>100 D．4×2x<100解析：當(dāng)導(dǎo)火索的長度為x厘米時，燃燒的時間為2x秒，人跑開的距離為4×2x米，為了保證安全，有4×2x>100.8．(多選題)下列不等式，正確的為(AC)A．x2＋3>2x(x∈R) B．a(chǎn)3＋b3≥a2b＋ab2C．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1) D．(x－3)2<(x－2)(x－4)解析：對選項A，x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，所以x2＋3>2x正確；對選項B，a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，因為(a－b)2≥0，但a＋b的符號不能確定，故B不一定正確；對選項C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)，故C正確；對選項D，(x－2)(x－4)－(x－3)2＝(x2－6x＋8)－(x2－6x＋9)＝－1<0，故D錯誤．二、填空題9．若x∈R，則eq\f(x,1＋x2)與eq\f(1,2)的大小關(guān)系為eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).解析：eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，所以eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).10．一個兩位數(shù)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，且這個兩位數(shù)大于70，用不等式表示為__10y＋x>70__.解析：這個兩位數(shù)可表示為10y＋x，所以70<10y＋x.11．不等式a2＋4≥4a中，等號成立的條件為__a＝2__.解析：令a2＋4＝4a，則a2－4a＋4＝0，所以(a－2)2＝0，即a＝2.12．一輛汽車原來每天行駛xkm，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2200km，寫出不等式為__8(x＋19)>2_200__；如果它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為eq\f(8x,x－12)>9.解析：由題意知，汽車原來每天行駛xkm,8天內(nèi)它的行程超過2200km，則8(x＋19)>2200.若每天行駛的路程比原來少12km，則原來行駛8天的路程就要用9天多，即eq\f(8x,x－12)>9.三、解答題13．已知a，b，c滿足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比較a，b，c的大?。猓阂驗閎－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以b≥c.由題意得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－c＝a2－4a＋4，,b＋c＝3a2－4a＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2a2－4a＋5，,c＝a2＋1.))所以c－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以c>a，所以b≥c>a.14．若a≥1，比較eq\r(a＋1)－eq\r(a)與eq\r(a)－eq\