第二章導(dǎo)數(shù)的概念(1.2)

引言從15世紀(jì)初文藝復(fù)興時期起,歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易得到大規(guī)模的發(fā)展,形成了一個新的經(jīng)濟時代.而十六世紀(jì)的歐洲,正處在資本主義萌芽時期,生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展.生產(chǎn)實踐的發(fā)展對自然科學(xué)提出了新的課題,力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展,而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的,因而也推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.在各類學(xué)科對數(shù)學(xué)提出的種種要求中,下列三類問題導(dǎo)迫切要求引言類學(xué)科對數(shù)學(xué)提出的種種要求中,下列三類問題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生:(1)(2)(3)這三類實際問題的現(xiàn)實原型謂函數(shù)的變化率問題.牛頓從第一個問題出發(fā),尼茨從第二個問題出發(fā),為萊布完在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度,即所分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念.求變速運動的瞬時速度;求曲線上一點處的切線;求最大值和最小值.瞬時速度

已知物體作變速直線運動,其運動方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時間),求物體在t0時刻的速度．

如圖設(shè)該物體在時刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在時刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,則從t0

到t0+Δt這段時間內(nèi),物體的位移是:在時間段(t0+Dt)－t0=Dt

內(nèi)，物體的平均速度為:

平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,也即需要通過瞬時速度來反映.

如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Δt這段時間內(nèi)，當(dāng)Δt0

時的平均速度:PQoxyy=f(x)割線切線T請看當(dāng)點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.

求曲線y=f(x)在點M(x0

y0)處的切線的斜率

在曲線上另取一點N(x0+x

y0+y)作割線MN

設(shè)其傾角為j

觀察切線的形成

引例2.平面曲線的切線問題

當(dāng)x0時動點N將沿曲線趨向于定點M從而割線MN也將隨之變動而趨向于切線MT

此時割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率

.產(chǎn)品總成本的變化率當(dāng)產(chǎn)量由變到時,總成本相應(yīng)的改變量為故當(dāng)產(chǎn)量由變到時,總成本的平均變化率為當(dāng)時,如果極限存在,則稱此極限是產(chǎn)量為時的總成本的變化率.完

上面三個例子分別屬于不同領(lǐng)域,一為運動問題，一為幾何問題,一為經(jīng)濟問題，但都要求計算函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,在當(dāng)自變量的改變量無限趨于零時比值的極限.此外,很多理論或?qū)嶋H問題,也要求計算這種類型的極限,脫離這些量的具體意義，抓住它們在數(shù)量關(guān)系上的共性,便得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在處取得增量(點仍在該領(lǐng)域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)取得增量若與之比當(dāng)時的極限存在,處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù),記為則稱函數(shù)在點或即導(dǎo)數(shù)定義的其它形式:令令完

如果上述極限不存在則稱函數(shù)f(x)在點x0處不可導(dǎo)

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點說明它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度;(1)(2)就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(3)且及都存在,就稱在閉區(qū)間上可導(dǎo);導(dǎo),點導(dǎo)數(shù)是因變量在點處的變化率,如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可如果在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),

函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點可導(dǎo)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)且在a點有右導(dǎo)數(shù)、在b點有左導(dǎo)數(shù)

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點說明(4)都對應(yīng)著的一個確定的導(dǎo)數(shù)值,個函數(shù)叫做原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),記作這或注意:(i)(ii)的逼近函數(shù).完導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率利用定義求導(dǎo)數(shù)1.(1)(2)(3)按定義求導(dǎo)的基本步驟:求函數(shù)的增量求兩增量的比值求極限利用定義求導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解當(dāng)由1變到時,函數(shù)相應(yīng)的增量為所以完左右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)增量與自變量的增量比值的極限,因而根據(jù)左右極限的概念概念:左導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上是函數(shù)在這點的下列方式引入左右導(dǎo)數(shù)的我們可按定理1函數(shù)在點處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.完注:該定理常被用于判定分段函數(shù)在分段點處是否可導(dǎo).右導(dǎo)數(shù)補例解求函數(shù)處的導(dǎo)數(shù).在當(dāng)時,故當(dāng)時,故由得完例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即完例3設(shè)函數(shù)求及解即完

補例

求函數(shù)f(x)=cos

x的導(dǎo)數(shù)

解

例4解求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即更一般地例如,完例5解求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即完補例解求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即完課后習(xí)題2-1二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)f

(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x0

f(x0))處的切線的斜率即f

(x0)=tana

其中a是切線的傾角

切線方程為

y-y0=f

(x0)(x-x0)

法線方程為切線與法線的斜率互為負(fù)倒數(shù)。例6解求曲線在點處的切線方程.因為故所求切線方程為即完補例解求等邊雙曲線在點處的切線的斜率,并寫出在該點處的由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為即法線方程為即切線方程和法線方程.完六、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)則它在點x0處連續(xù)

這是因為應(yīng)注意的問題:

這個結(jié)論的逆命題不成立即函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)但在點x0處不一定可導(dǎo)

例7解注:一般地,若曲線的圖形在點處出現(xiàn)尖點,則它在該點不可導(dǎo).因此,如果函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則其圖形不出現(xiàn)尖點,或者說是一條連續(xù)的光滑曲線.完例11討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解是有界函數(shù),在處連續(xù).但在處有當(dāng)時,在和1之間振蕩而極限不存在.例11討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解在處連續(xù).但在處有當(dāng)時,在