第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合-上海海事大學

第三章函數(shù)逼近與計算與曲線擬合§1函數(shù)逼近的基本概念1.問題的提出通過觀測、測量或試驗得到某一函數(shù)在的函數(shù)值我們可以用插值的方法對這一函數(shù)進行近似,而插值方法要求所得到的插值多項式經(jīng)過已知的這n＋1個插值結點;在n比較大的情況下,插值多項式往往是高次多項式,這也就容易出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象（龍格現(xiàn)象）:雖然在插值結點上沒有誤差,但在插值結點之外插值誤差變得很大,從“整體”上看,插值逼近效果將變得“很差”。于是,我們采用函數(shù)逼近的方法。1所謂函數(shù)逼近是求一個簡單的函數(shù)例如是一個低次多項式,這兒不要求通過已知的這n＋1個點,而是要求在整體上“盡量好”的逼近原函數(shù)。這時,在每個已知點上就會有誤差數(shù)據(jù)擬合就是從整體上使誤差盡量的小一些。22.數(shù)學描述“對函數(shù)類A中給定的函數(shù)

，要求在另一類較簡單的便于計算的函數(shù)類B中，求函數(shù)使

與之差在某種度量意義下最小?！焙瘮?shù)類A通常是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，記作C[a,b]；函數(shù)類B通常是代數(shù)多項式，分式有理函數(shù)或三角多項式。還可用一組C[a,b]上線性無關的函數(shù)集合所張成的子空間3度量標準最常用的有兩種，一種是在這種度量意義下的函數(shù)逼近稱為一致逼近或均勻逼近；另一種度量標準是用這種度量的函數(shù)逼近稱為均方逼近或平方逼近這里符號是范數(shù)。本章主要研究在兩種度量標準下用代數(shù)多項式及來逼近43.維爾斯特拉斯定理用Pn

(x)一致逼近f(x)，首先要解決存在性問題，即對[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x),是否存在多項式Pn(x)一致收斂于f(x)？維爾斯特拉斯（Weierstrass）給出了下面定理：定理1設f(x)∈C[a,b]，則對任何ε>0總存在一個代數(shù)多項式P(x)，使在[a,b]上一致成立。伯恩斯坦構造性證明(P63)54.連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]區(qū)間[a,b]上的所有實連續(xù)函數(shù)組成一個空間，記作C[a,b]。f∈C[a,b]的范數(shù)定義為稱其為∞—范數(shù)，它滿足范數(shù)的三個性質(zhì)：III式稱為三角不等式。III)對任意I)a為任意實數(shù)II)6伯恩斯坦構造性證明：假定函數(shù)的定義區(qū)間是[0,1],可通過線性代換：t=(b?a)x+a把x∈[0,1]映射到t∈[a,b]。對給定的f(x)∈C[0,1]，構造伯恩斯坦多項式,此為n次多項式:在[0,1]上一致成立7空間C[a,b]可與向量空間類比，函數(shù)f∈C[a,b]可看成向量。與向量空間類似，當f,g∈C[a,b]時定義f與g的距離為由III式可得到及8當k取所有合乎條件的正整數(shù)時，對于有[0,1]中的每一固定的x及任一固定正整數(shù)n，有其中

與分別表示對滿足如下條件的一切k所取得和：9令M=maxf(x)，則有由10此不等式的右端與x無關,隨著n的無限增大趨于零。這就證明了多項式序列對于f(x)的一致收斂性。這不但證明了定理1，而且給出了f(x)的一個逼近多項式它與拉格朗日插值多項式因此11是有界的，因而只要f(x)≤δ對任意x∈[0,1]成立，則有界，故是穩(wěn)定的至于拉格朗日插值多項式由于無界，因而不能保證高階插值的穩(wěn)定性與收斂性。相比之下，多項式有良好的逼近性質(zhì)，但它收斂太慢，比三次樣條逼近效果差得多，實際中很少被使用。1213§2正交多項式系

不超過n次的多項式可以看成是冪函數(shù)基底｛1,x,x2,…,xn｝的線性組合.如果選擇基函數(shù)為正交多項式系.可以有更好的性質(zhì).正交多項式系數(shù)值積分中也有重要用途.下面介紹正交多項式系.

正交函數(shù)系

定義

某函數(shù)系｛k(x)｝k=0,…,m.中每一個函數(shù)

k(x)都在［a,b］上連續(xù)且不恒為零，如果滿足則稱此函數(shù)系｛

k(x)｝為區(qū)間［a,b］上的正交函數(shù)系.更一般地，若有權函數(shù)ρ(x)≥0，即14則稱此函數(shù)系｛k(x)｝,k=0,…,m,為區(qū)間［a,b］上關于權函數(shù)ρ(x)的正交函數(shù)系.例三角函數(shù)系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…是區(qū)間［-π，π］上的正交函數(shù)系，因為實際上，這就是付里葉(Fourier)逼近的基函數(shù).15正交多項式系如果正交函數(shù)系為多項式系｛Pi(x)｝i=0,…,m，則稱之為正交多項式系，即則稱此多項式系為區(qū)間[a,b]上關于權函數(shù)ρ(x)的正交多項式系.只要給定區(qū)間及權函數(shù)

均可由線性無關的冪函數(shù)系｛1,x,x2,…,xn…..｝逐個正交化造出正交多項式系且性質(zhì)見(P70)161.切比雪夫(Чебыщев)多項式當權函數(shù)區(qū)間為[-1,1]時,由冪函數(shù)系｛1,x,x2,…,xn｝正交化所得的正交多項式就是切比雪夫多項式(系)｛Tn(x)｝

可表示為

Tn(x)=cos(n

arccon

x)

x∈[-1,1]

如令x=cosθ,則Tn(x)=cosnθ切比雪夫多項式的性質(zhì):(P74)性質(zhì)5遞推關系T0(x)=1，T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)，n≥1(2.11)性質(zhì)6

正交性Tk(x)它在[-1,1]上關于權函數(shù)ρ(x)=1/(1-x)2正交，即17它的前7個多項式如下表：T0(x)=1

T1(x)=xT2(x)=2x2-1T3(x)=4x3-3xT4(x)=8x4-8x2+1T5(x)=16x5-20x3+5xT6(x)=32x6-48x4+18x2-1性質(zhì)7

T2k(x)只含x的偶次冪,T2k+1(x)只含x的奇次冪.

即Tn(x)隨n為奇或偶函數(shù).18性質(zhì)８

Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個零點性質(zhì)

Tn(x)的最高項系數(shù)為2n-1(n1).性質(zhì)

|Tn(x)|1這是因為Tn(x)=cos(narccosx)的緣故.192.勒讓德(Legendre)多項式系｛Pk(x)｝(P71)性質(zhì):

Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n+1個不同的極值點使Tn(x)輪流取得最大值1和最小值-1.也稱為Tn(x)的交錯點組．當權函數(shù)區(qū)間為[-1,1]時,由冪函數(shù)系｛1,x,x2,…,xn｝正交化所得的正交多項式就是勒讓德多項式(系)記為｛Pk(x)｝證:20在實際計算中，往往需要計算有：１=T0(x)

x=T1(x)x2=(T0(x)+T2(x))/2x3=(

3T1(x)+T3(x))/4x4=(3T0(x)+4T2(x)+T4(x))/8x5=(10T1(x)+5T3(x)+T5(x))/16x6=(10T0(x)+15T2(x)+6T4(x)+T6(x))/3221它也可由如下遞推公式(P71性質(zhì)3)P0(x)=1，P1(x)=x(2.9)Pk+1(x)=[(2k+1)/(k+1)]x

Pk(x)-[k/(k+1)]Pk-1(x)，k≥1它的前7式如下表：P0(x)=1P1(x)=xP2(x)=(3x2-1)/2P3(x)=(5x3-3x)/2P4(x)=(35x4-30x2+3)/8P5(x)=(63x5-70x3+15x)/8P6(x)=(231x6-315x4+105x2-5)/1622性質(zhì)1它在［-1,1］上關于權函數(shù)ρ(x)≡1正交，即3.其他常用的正交多項式(P77)拉蓋爾(Laguerre)多項式系｛Lk(x)｝(2.7)

性質(zhì)2

Pn(-x)=(-1)n

Pn(x)(2.8)性質(zhì)4

Pn(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)有n個不同的實零點.性質(zhì)

Pn(x)的的最高冪次xn系數(shù)為故是最高項系數(shù)為1的勒讓德多項式23正交多項式還有一個重要性質(zhì)：以上各種正交多項式的零點全部是單實根，且都分布在它的正交定義區(qū)間內(nèi).這個性質(zhì)在數(shù)值積分中有應用.它的前7式如下表：H0(x)=1,H1(x)=2x,H2(x)=4x2-2H3(x)=8x3-12xH4(x)=16x4-48x2+12H5(x)=32x5-160x3+120xH6(x)=64x6-480x4+720x2-120第二類切比曉夫多項式(P77)24它也可用如下遞推公式寫出：L0(x)=1，L1(x)=1-xLk+1(x)=(2n+1-x)Lk(x)-n2Lk-1(x)，k≥1(7.18)它在[0，+∞)上關于權函數(shù)ρ(x)=e-x正交，即它的前7式如下：L0(x)=1L1(x)=1-xL2(x)=2-4x+x2L3(x)=6-18x+9x2-x3L4(x)=24-96x+72x2-16x3+x4L5(x)=120-600x+600x2-200x3+25x4-x5L6(x)=720-4320x+5400x2-2400x3+450x4-36x5+x625埃爾米特(Hermite)多項式系｛Hk(x)｝它可由如下遞推公式寫出H0(x)=1,H1(x)=2xHk+1(x)=2xHk(x)-2kHk-1(x)，k≥1它在(-∞，+∞)上關于權函數(shù)ρ(x)=e-x2正交，即26§3最佳一致逼近多項式常稱之為三維歐幾里德空間,就是一個線性賦范空間.

基本概念及理論線性賦范空間定義

在線性空間X中,對每一個元x引進一個度量‖x‖,稱為x的范數(shù),這時線性空間X就稱為線性賦范空間,若

yX,則稱‖x-y‖為元素x與y的距離.例

在R3中,任一xR3定義范數(shù)27例在連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]中.定義范數(shù),設fC[a,b],則C[a,b]成為線性賦范空間.如果設MC[a,b],M是C[a,b]的一個子空間,為最小,尋找(x)M,使得則稱(x)為M中對f(x)的最佳一致逼近函數(shù).2828定義

設f(x)C[a,b],‖f‖

已定義,Hn為不超過n次的多項式的集合,Hn顯然是C[a,b]的子空間,尋找Pn(x)Hn,使為最小,則稱Pn(x)為Hn中對f(x)的n次最佳一致逼近多項式.最佳一致逼近多項式以下定理保證了最佳一致逼近多項式的存在唯一性.定理4

設f(x)C[a,b],Hn為不超過n次的多項式的集合,則存在唯一的En稱為f(x)在[a,b]上的最小偏差.證明略.29最佳一致逼近多項式的特征為討論最佳一致逼近多項式的構造方法,先討論它的特征.先給出偏差點的概念:對連續(xù)函數(shù)f(x)和p(x),其差的絕對值也必連續(xù),故在[a,b]上存在x0,使x0稱為p(x)對f(x)的偏差點.若p(x0)-f(x0)>0,稱x0為正偏差點若p(x0)-f(x0)<0,稱x0為負偏差點切比曉夫給出了最佳一致逼近多項式的特征定理.30定理5

Pn(x)Hn,Pn(x)為最佳一致逼近多項式的充要條件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2個交錯偏差點,即

a

x0<x1<…<xn<xn+1

b使得為1或-1.證明見P79.定理5說明Pn(xi)-f(xi)至少在n+2個點上交錯變號,都達到最大偏差幅度‖f-Pn

‖

,因此在整個[a,b]上誤差分布比較均勻.求最佳一致逼近多項式是十分困難的,以下定理可解決在某些簡單情況下的求解.定理

f

(n+1)(x)在(a,b)上存在且保號（保持恒正或恒負),則

Hn中對f(x)的最佳一致逼近多項式恰有n+2個交錯偏差點,且兩端點a,b都是偏差點.證：用反證法,設偏差點超過n+2個或至少有一個端點不是偏差點,則(a,b)內(nèi)部的偏差點至少有n+1個.這些偏差點即誤差函數(shù)的極值點,即該點的導數(shù)應為零.有R'(xi)=f'(xi)-P'n(xi)=0,i=1,2,…,n+1由羅爾定理R"(x)應至少有n個互異零點在(a,b)內(nèi).R

(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P

(n+1)

n(x)應至少有一個零點i

(a,b).注意到P

(n+1)

n(x)0,得f

(n+1)(i)=0,與假設的f(n+1)(x)在[a,b]內(nèi)保號矛盾，得證.因此,在f

(n+1)(x)在(a,b)上存在且保號，只要在(a,b)內(nèi)再找出n個交錯偏差點,特別地,在n=1時,只要在(a,b)內(nèi)找出一個偏差點,問題比較簡單.最佳一次逼近多項式(P82)假設f(x)二次連續(xù)可導,且導數(shù)不變號,求最佳一致逼近多項式根據(jù)定理5知至少有3個點x0,x1,x2,使且x0=a,x2=b例求最佳一致逼近多項式解上恒負,設交錯偏差點為x0,x1,x2,則有x0=1/4,x2=1，還要求一個x1就行了。可解得:見P82圖3-3由偏差點定義有由(2)解出由(3)解出代入(1)得到在一般情況下,求最佳一致逼近多項式很困難.一是采取逐次逼近的方法,如雷米茲(Remes)方法,二是退而求其次,求近似最佳一致逼近多項式.近似最佳一致逼近多項式對一般函數(shù),求最佳一致逼近多項式極為困難.常用近似最佳一致逼近多項式替代.為此,先討論切比雪夫多項式的最小零偏差性質(zhì),然后引入兩種近似方法.定理6(最小零偏差定理)在[-1,1]上,首項系數(shù)為1的一切n次多項式Pn(x)中,wn(x)=21-nTn(x)對0的偏差最小,即:證由性質(zhì)知wn(x)是首項系數(shù)為1的n次多項式.若另有一首項系數(shù)為1的n次多項式Pn(x)對零的偏差比wn(x)對零的偏差小,即:由性質(zhì)知是Tn(x)的交錯偏差點組,輪流取(-1)k.得知wn(x)在x*k處輪流取(-1)k21-n,所以因此Pn(x*k)-wn(x*k)在n+1個點上輪流取正負號,由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知,Pn(x*k)-wn(x*k)在(-1,1)上至少有n個不同的零點.但由于Pn(x)-wn(x)的最高次項系數(shù)均為1,故Pn(x)-wn(x)只能是不超過n-1的多項式,不可能有n個零點.引出矛盾，得證。切比雪夫節(jié)點插值即拉格朗日插值余項的極小化設在[-1,1]上n+1個點xk,(k=0,1,…,n)上的代數(shù)插值多項式為Pn(x),其截斷誤差如何選取xk使為最小?由最小零偏差定理,只要選擇xk使為n+1次切比雪夫多項式Tn+1(x)零點就可以了,這里此時有當插值區(qū)間不是[-1,1]而是一般[a,b]時,可作變換后得到為[a,b]上的所求節(jié)點.在此基礎上作插值函數(shù)Pn(x)它可作為最佳一致逼近多項式的一種近似.這種求f(x)在[a,b]上的近似最佳一次多項式的方法稱為切比雪夫節(jié)點插值.以上方法將誤差項中的兩個影響因素中之一控制到最小.對很多函數(shù),這樣的近似方法是相當好的.特別地,當f(x)是只比Pn(x)高一次的多項式時,Pn(x)就是最佳一致逼近多項式.

例f(x)=ex,用切比雪夫節(jié)點插值求[-1,1]上的近似最佳一致逼近多項式P1(x)=a1x+a0解取二次切比雪夫多項式節(jié)點:作一次插值多項式此處t是可選擇的常數(shù),選擇t使f(x)與tT3(x)的3次項系數(shù)一樣,以消去x3項.解因為f(3)(x)=24,切比雪夫節(jié)點插值多項式就是最佳一致逼近多項式.例f(x)=4x3+2x2+x+1,x[-1,1],

求作次數(shù)不超過2次的多項式P2(x)為f(x)的最佳一致逼近多項式.選擇t=1,消去x3項.P2(x)=2x2+4x+1是f(x)的最佳一致逼近多項式縮減冪級數(shù)法對f(x)的泰勒級數(shù)就是f(x)的一種近似,但泰勒級數(shù)的誤差分布極不均勻,在展開點附近誤差很小,但x的值稍偏離展開點,誤差迅速增大.而切比雪夫多項式的誤差分布則比較均勻.于是可以設計出以下方法:將f(x)作m次泰勒展開,得部分和Pm(x),然后將Pm(x)中的x各次冪全部表為切比雪夫多項式之和,整理后,將Pm(x)縮減為n次多項式(n<m)Pn(x),Pn(x)可作為近似最佳一次逼近多項.例15f(x)=ex,x[-1,1],求其一次和四次近似最佳一致逼近多項式.解:將ex作泰勒展開到第7項由表7-11,可得:注意到|Tn(x)|1,T5和T6的系數(shù)又已很小,于是有誤差若ex直接展開到第4次得到的泰勒級數(shù),誤差約為0.0227,比|R|大得多.同是四次近似多項式,可知P4(x)的誤差相當小,也可作為近似最佳一致逼近多項式.若在(7.21)中只取前二項,得可作為近似最佳一致逼近的一次多項式.最佳一致逼近考慮的是整個區(qū)間上絕對誤差的最大值,計算時非常困難.另一方面,對于那些僅有個別小區(qū)段上有較大誤差的函數(shù),反而不能很好地反映其真實情況.本節(jié)介紹最佳平方逼近,引入另一個近似標準.§4最佳平方逼近內(nèi)積和內(nèi)積空間對C[a,b]空間引進內(nèi)積:若f,gC[a,b],則為f與g的內(nèi)積.這樣C[a,b]就成為一種線性賦范空間,通常稱為內(nèi)積空間.內(nèi)積可用來定義2-范數(shù):內(nèi)積空間中,若兩個元素內(nèi)積為零,則稱此二元素正交,如f,gC[a,b],有則稱函數(shù)f和g

正交.若C[a,b]中已定義內(nèi)積,則最佳平方逼近可描述為:fC[a,b],則S*(x)稱?中對f(x)的最佳平方逼近函數(shù).為C[a,b],的子空間,選擇S*(x)?,使最佳平方逼近定理

C[a,b]是內(nèi)積空間,?是其有限維子空間,fC[a,b],?中S*(x)是f(x)的最佳平方逼近函數(shù)的充要條件是f-S*與?中任一元正交.(證明)根據(jù)以上特征定理,不難得出最佳平方逼近函數(shù)的求法.設?的基底為{

k}k=0,1,…,n,則對任意S(x)?,有由上述定理,誤差函數(shù)應與?中任意元正交,即與基底k,k=0,1,…,n中任一元正交:或改寫為這是一個關于aj(j=0,1,…,n)的n+1階線性方程組,稱為正規(guī)方程組(或法方程組),簡記為定理(4.3)的解存在且唯一.故由矩陣形式:求解出a0,a1,…,an即可得到最佳平方逼近函數(shù):證任給n+1維非零向量x=(x0,x1,…,xn)

T因為

i是?的基底,故

i線性無關,它的線性組合在x

i不全為0時不恒為0.所以xTAx>0.這表明A是對稱正定矩陣,故A非奇異.(4.3)的解存在且唯一。例10設f(x)=ex,x[0,1],求最佳二次平方逼近多項式

P2(x)=c0+c1x+c2x2解這里?=span{1,x,x2}則有解c0=1.013,c1=0.851,c2=0.839所以P2(x)=1.013+0.851x+0.839x2注意系數(shù)陣是以自然數(shù)的倒數(shù)順序排成的對稱矩陣,稱為希爾伯特矩陣(P85).當n稍高時,它是典型的病態(tài)矩陣,求解時舍入誤差很大,可能導致計算失敗,所以以上方法不適用于較高次數(shù)的多項式逼近.正交多項式在逼近和擬合中的應用正交多項式系在最佳平方逼近中可使問題大大簡化，由(4.3)式當選擇?的基函數(shù)為正交多項式系時,所以以上系數(shù)陣就成了對角陣，即因為根本用不著解方程組，只要計算上式就行了.為此fC[a,b],在?中的最佳平方逼近函數(shù)為誤差為:定理9在所有最高項系數(shù)為1的n次多項式中,勒讓德多項式在[-1,1]上與零的平方誤差為最小.(P89)例12設求它在［-1,1］上的三次最佳平方逼近多項式.解:取勒讓德多項式系中為基函數(shù)證(充分性)設S是?中任意元,則S

*-S也是?中元素,有所以S

*是最佳平方逼近函數(shù).(必要性)反證法設?中S*是f的最佳平方逼近函數(shù),但存在S

?使記(S,S)=,易證

>0(因為若

=0,則S=0,則

=0).所以S*不是f的最佳平方逼近函數(shù),引出矛盾.繼續(xù)討論用簡單函數(shù)近似代替較復雜函數(shù)的問題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標準是在插值點處誤差為零.但在實際應用中,有時不要求具體某些點誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制,這就引出了擬合和逼近的概念.§5曲線擬合的最小二乘對離散型函數(shù)(即數(shù)表形式的函數(shù))考慮數(shù)據(jù)較多的情況.若將每個點都當作插值節(jié)點,則插值函數(shù)是一個次數(shù)很高的多項式,比較復雜.而且由于龍格振蕩現(xiàn)象,這個高次的插值多項式可能并不接近原函數(shù).同時由于數(shù)表中的點一般是由觀察測量所得,往往帶有隨機誤差,要求近似函數(shù)過所有的點既不現(xiàn)實也不必要.

如果不是要求近似函數(shù)過所有的數(shù)據(jù)點,而是要求它反映原函數(shù)整體的變化趨勢,可得到更簡單更適用的近似函數(shù),這樣的方法稱為數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合最常用的近似標準是最小二乘法則：設f(x)為原函數(shù),S(x)為近似函數(shù),(xi

,f(xi))(i=0,1,…,m)為數(shù)據(jù)點,要求選擇S(x)使為最小.這里即找:S*當S(x)選擇為多項式時,稱為多項式擬合.最小二乘擬合,特別是多項式擬合,是最流行的數(shù)據(jù)處理方法之一.它常用于把實驗數(shù)據(jù)(離散的數(shù)據(jù))歸納總結為經(jīng)驗公式(連續(xù)的函數(shù)),以利于進一步的推演分析或應用.如果記:類似于平方逼近得法方程(P92):超定方程組的最小二乘解設Ax=b中A=(aij)m×n,b是m維已知向量,x是n維解向量.當m>n時,即方程組中方程的個數(shù)多于未知量個數(shù)時,稱此方程組為超定方程組或矛盾方程組.一般說,超定方程組無解.但有時需要尋找一個“最近似”的解.記r=b-Ax,定義使‖r‖2為最小的解x*為Ax=b的最小二乘解.關于超定方程組的最小二乘解有如下定理定理

x*為Ax=b的最小二乘解的充要條件為ATAx*=ATb.以上定理說明求解超定方程組Ax=b的最小二乘解可轉化為求解它對應的正規(guī)方程組ATAx*=ATb.ATA是對稱正定的系數(shù)陣,此方程組可用平方根法或SOR方法求解.證明多項式擬合最小二乘如k(x)=xk仍假設有已知數(shù)據(jù)組(xi,yi)(i=0,1,2,…,m).現(xiàn)求作一個不超過n(n<m)次多項式使得記ri=yi-Sn(xi)(i=0,1,2,…,m),r=(r0,r1,…,rm)T,不難看出以上多項式最小二乘擬合問題就是求解關于ak(k=0,1,…,n)的超定方程組.把ak當作變量,上述方程組的矩陣記法為是一個超定方程組.由定理可得對應的正規(guī)方程組以上的∑記號均為從0到m求和,記;則上式可改寫為通過解該正規(guī)方程組便可解出ak

,從而確定出擬合多項式Sn(x).多項式擬合的一般方法可歸納為：(1)根據(jù)具體問題,確定擬合多項式的次數(shù)n；(2)計算(3)寫出正規(guī)方程組(4)解正規(guī)方程組,求出a0,a1,…,an；(5)寫出擬合多項式Sn(x)

解首先作平面散點圖如下：

從圖中觀察,這5個點大致在一條拋物線的附近,可考慮用二次多項式進行擬合。yx12345123456789100

然后計算正則方程組(m=4)設正規(guī)方程組的解為：則以此解為系數(shù)的多項式就是最小二乘擬合多項式。

例設5組數(shù)據(jù)如下表,用一多項式對其進行擬合。的系數(shù)如下表：用高斯-若當無回代消去法解此方程組,得a0=13.454,a1=-3.657,a2=0.272。正則方程組為

最小二乘擬合多項式為：非線性曲線轉化為線性:有些非線性曲線可以轉化為線性,從而用線性擬合進行處理,比如：例3:已知數(shù)據(jù)為x12345678y15.320.527.436.649.165.687.811