第9章 常微分方程初值問題數值解法《數值分析》

2023年2月1日1例如：時，第9章常微分方程初值問題數值解法9.1引言微分方程：包含自變量、未知函數和未知函數導數或微分的方程。例如：，求定解條件：求解微分方程時，所附加的條件——定解問題。初始條件：給出積分曲線在初始時刻的值——初值問題。例如：時，邊界條件：給出積分曲線在首末兩端的值——邊值問題。常微分方程：未知函數為一元函數。偏微分方程：未知函數為多元函數。2023年2月1日2一階常微分方程的初值問題：求解注意：——解函數、積分曲線；——微分函數。確定初值問題的解存在而且唯一：李普希茲條件。，2023年2月1日3如果存在實數，使得稱關于滿足利普希茨條件，為的利普希茨常數。說明：條件可理解為解函數無限接近時，微分函數也無限接近。定理1設在區(qū)域上連續(xù)，且關于滿足利普希茨條件，則對任意常微分方程初值問題當時存在唯一的連續(xù)可微解。2023年2月1日4關于方程的解對擾動的敏感性，有結論：定理2設在區(qū)域上連續(xù)，且關于滿足利普希茨條件，設初值問題，，其解為，則說明：①定理表明解對初值的敏感性，即初值不同，解也有差異；②解得敏感性與微分函數有關：當的利普希茨常數較小時，解對初值相對不敏感；當較大時，初值的擾動會引起解劇烈變化—病態(tài)問題；2023年2月1日5數值解法：在一系列離散點上，求解近似值。“步進式”：順著節(jié)點排列順序，一步一步地向前推進。步長：常用等步長，節(jié)點為單步法：計算時，只用到前一點的值步法：計算時，用到前面點的值2023年2月1日69.2簡單的數值方法9.2.1歐拉法與后退歐拉法初值問題：解的形式：是通過點的一條曲線——積分曲線。特點：積分曲線上每一點的切線斜率為2023年2月1日7尤拉方法：①將解區(qū)間離散化，選擇步長，得到離散點：；②由切線，切線與交點：的近似值；③再由向前推進到，得到折線，近似。2023年2月1日8任意折線：過點作直線，斜率，——歐拉方法若初值已知，由此可逐次算出：2023年2月1日9P281例1求解初值問題解：歐拉公式為，2023年2月1日10局部截斷誤差：設前一步值準確，算下一步出現的誤差假設：泰勒展開函數：局部截斷誤差：2023年2月1日11后退的歐拉法：離散化：求解微分方程的關鍵，消除導數項，

基本方法之一是用差商替代導數項。例如：——向前的歐拉公式（顯式）2023年2月1日12同理：——后退的歐拉公式（隱式）注意：①顯式計算方便，隱式穩(wěn)定性較好；②上式隱含，采用迭代法求解。2023年2月1日13歐拉公式的另一種理解：將常微分方程改寫對微分方程從到積分由積分左矩形公式得再以代替，以代替——向前的歐拉公式2023年2月1日14對微分方程從到積分由積分右矩形公式得再以代替，以代替——后退的歐拉公式同理：2023年2月1日15迭代法求解：后退的歐拉公式——逐步顯示①先用尤拉格式，求出初值：②再將結果代入微分函數：③反復迭代，直到收斂：2023年2月1日16討論迭代的收斂性：因函數對滿足利普希茨條件比較歐拉的后退公式和其次迭代結果兩式相減得由此可知：只要迭代法就收斂到解。2023年2月1日17可以證明：局部截斷誤差后退的歐拉公式向前的歐拉公式因此：平均可減少誤差——梯形格式。（注意：誤差不可能消除，兩公式不同。）2023年2月1日189.2.2梯形方法向前歐拉方法：后退歐拉方法：梯形方法：兩者平均注意：梯形公式可有效減小誤差，計算結果更接近實際值。（圖示表示梯形法計算結果）2023年2月1日19用迭代法求解：梯形法（用向前公式求初值）（即將上次結果代入）反復迭代，直到兩次迭代結果達到誤差要求。問題：每個節(jié)點，都需迭代計算，計算量太大。2023年2月1日20分析迭代過程的收斂性：比較梯形公式和其迭代公式，并相減兩式由利普希茨條件，有若選取充分小，使得，則時有2023年2月1日219.2.3改進歐拉公式①先用向前歐拉公式，求得一個初步的近似值預測：②再用梯形公式，將結果校正一次校正：平均化形式：2023年2月1日22P284例2用改進的歐拉方法求解初值問題：解：2023年2月1日239.2.4單步法的局部截斷誤差與階初值問題單步法求解的一般形式為（其中多元函數與有關）當含有時，方法是隱式的，否則為顯式方法。顯式單步法可表示為稱為增量函數，例如對歐拉法有2023年2月1日24定義1設是初值問題的準確解，稱為顯式單步法的局部截斷誤差。注意：上述中假設在前各步沒有誤差，故誤差是局部的。當時，計算一步，則有局部截斷誤差：是計算一步的誤差，也是公式誤差。2023年2月1日25如果將函數在處泰勒展開歐拉法的局部截斷誤差為這里稱為局部截斷誤差主項。顯然2023年2月1日26定義2設是初值問題的準確解，若存在最大整數使顯式單步法的局部截斷誤差滿足則稱該方法具有階精度。若將局部截斷誤差展開，寫成則稱為局部截斷誤差主項。2023年2月1日27以上定義對隱式單步法也適用。同樣將函數在處泰勒展開后退歐拉法的局部截斷誤差為這里是一階方法，局部截斷誤差主項為2023年2月1日28同樣對梯形公式局部截斷誤差為故梯形法是二階方法，局部截斷誤差主項為2023年2月1日299.3龍格-庫塔方法9.3.1顯式龍格-庫塔法的一般形式對歐拉法歐拉法為階，其增量函數為對改進的歐拉法其增量函數為比起歐拉法，增加了計算一個右函數的值，有階精度。2023年2月1日30提高公式階數：增加增量函數中的值對于一階常微分方程，等價的積分形式提高公式階數：必須提高數值求積精度，需增加求積節(jié)點說明：①求積節(jié)點越多，積分精度越高，求解公式階數越大②增量函數注意：——級數，——階數，兩者不同2023年2月1日31對于二級顯式龍格-庫塔法：考察區(qū)間內一點用、兩點的函數值、：構造增量函數2023年2月1日32對于可用歐拉公式預測：因此有二級顯式龍格-庫塔法：2023年2月1日33同理，三級顯式龍格-庫塔法：注意：需用、的線性組合計算2023年2月1日34

級顯式龍格-庫塔法：R-K方法這里均為常數時為歐拉法，階數2023年2月1日359.3.2二階顯式

R-K法

時，R-K方法計算公式：這里均為待定常數期望：適當選取系數，使公式階數盡量提高2023年2月1日36局部截斷誤差為這里將函數在處泰勒展開注意是二元函數，其導數應為全導數。2023年2月1日372023年2月1日38將結果代入局部截斷誤差：2023年2月1日39要使公式具有階，必有即非線性方程組的解不是唯一的?？闪?023年2月1日40若取：，——改進的歐拉法若?。?，，中點公式：相當于數值積分的中矩形公式2023年2月1日419.3.3三階與四階顯式

R-K方法要得到三階顯式R-K

方法，必須取均為待定參數2023年2月1日42公式的局部截斷誤差為將按二元函數泰勒展開，使這是8個未知量、6個方程的非線性方程組，解不是唯一的。2023年2月1日43常見的公式之一：庫塔三階方法2023年2月1日44經典公式之一：四階龍格-庫塔方法可以證明：四階龍格-庫塔方法的截斷誤差為2023年2月1日45P289例3設取步長，從到用四階龍格-庫塔方法求解初值問題：解：公式為2023年2月1日46計算結果：注意：這里步長增大為，

計算精度比改進的歐拉法要高。2023年2月1日479.3.4變步長的龍格-庫塔方法步長減小，局部截斷誤差減小，但：①求解范圍內的計算步數增加，計算量增大；②步數增加會導致舍入誤差的嚴重積累。選擇步長時，需要考慮的兩個問題：①怎樣衡量和檢驗計算結果的精度？②如何依據所獲得的精度處理步長？2023年2月1日48考察經典的四階龍格-庫塔公式