第2章 信號的采樣與重建

1第2章信號的采樣與重建第1章中我們討論了離散時間信號，然而工程和現(xiàn)實生活中大部分信號為模擬信號。如何對模擬信號進行數字處理？本章主要討論模擬信號的采樣與重建，并引出采樣定理、奈奎斯特采樣頻率的概念；對用到的模擬低通濾波器的特性指標進行了分析；并介紹了欠采樣和采樣率轉換技術。2.1數字信號處理系統(tǒng)的模擬接口

數字信號處理：用數字序列表示信號，通過數字計算機去處理這些序列。要對自然方式產生的模擬信號進行數字處理，則可按照以下方法進行。模擬信號數字化（A/D)數字信號處理處理后的數字信號模擬化（D/A）具體過程如圖2.1所示。2圖2.1數字信號處理系統(tǒng)的框圖A/D變換器通用或專用計算機采樣保持器D/A變換器平滑濾波器模擬信號模擬信號連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號數字信號抗混疊濾波器模擬信號的采樣與保持。所謂采樣是從模擬信號中“抽取”信號的離散樣值，最常用的采樣方法是等間隔采樣，即每隔一個固定的時間T采一個信號樣值，T稱為采樣周期。采樣保持器按照設定的采樣周期對信號進行采樣，并將采樣得到的瞬時幅值保持至下一采樣時刻。理想采樣保持器輸出的是一階梯狀的波形，階梯前沿的幅值與此刻的模擬信號保持一致，階梯的寬度就是采樣周期T見圖2.2。采樣保持器輸出的是連續(xù)時間信號。但實際應用中采樣保持器總存在一定的偏差。3

A/D轉換---量化：用二進制數碼對應的電平替代采樣電平值，圖2.2中的小圓點處的幅度稱為量化電平。A/D轉換---數字化（編碼）：將量化后的電平用二進制數碼表示。

模擬信號的數字化工程上通常用A/D轉換器來實現(xiàn)。由于A/D轉換器采用有限的二進制位，所以表示的信號幅度也是有限的，若用b位二進制數碼表示，則只能表示2b個電平（量化電平），所以量化電平和模擬信號相比存在一定的誤差，誤差的大小和A/D轉換器的位數有關。A/D轉換器將采樣保持器的輸出信號轉換成數字信號，A/D轉換器的轉換時間應小于采樣周期T。A/D轉換后的信號是一串數字，不但在時間上進行了離散化，在幅度上也進行了量化，這種信號稱為數字信號。4模擬信號數字化:采樣、量化、編碼。圖2.2

模擬信號的數字化數字信號數碼量化電平模擬信號采樣保持信號量化電平0.380.630.810.890.900.870.750.610.360.240.145為了便于進一步討論連續(xù)時間信號的采樣與重建的基本條件，對圖2.1進行一定的簡化，見圖2.4.理想采樣器通用或專用計算機理想內插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)圖2.4圖2.1的簡化表示數字/模擬轉換與平滑濾波。工程上用D/A轉換器實現(xiàn)從數字信號到模擬信號的轉換。D/A轉換器的輸出信號類似與采樣保持信號，是一階梯狀的連續(xù)時間信號。D/A轉換器每得到一個數字就建立一個新的量化電平，并通過零階保持在T時間段內保持此電平直至下一個數字到達，如此不斷重復，形成一個階梯狀的連續(xù)時間信號。該信號與原模擬信號的頻譜并不相同，只有通過平滑濾波器濾除高頻分量，才能得到平滑的模擬信號。如圖2.3所示。6數字信號轉化成模擬信號數字信號數碼量化電平D/A輸出信號模擬信號圖2.3數字信號轉換為模擬信號：D/A轉換、平滑濾波72.2模擬信號的采樣與重建對于信號的采樣與重建我們首先關心的是模擬信號經采樣后是否能保持原有的信息；其次，由數字信號恢復模擬信號應該具備哪些條件？要清楚這些問題我們先來討論采樣的過程。對于等間隔采樣，設其采樣周期為T，則其采樣頻率為fs=1/T,對應的角頻率為采樣可以用圖2.5(a)所示的電子開關來實現(xiàn)。T12圖2.5(a)電子開關示意圖開關每隔T秒短暫地閉合一次，若閉合時間為秒，則采樣器的輸出是一串重復周期為T，寬度為的脈沖，脈沖的幅度是這段時間內信號的幅度，這種取樣稱為脈沖取樣或自然取樣。8這一采樣過程可看作是一個脈沖調幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，以p(t)表示,見圖2.5(b);調制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t),則采樣輸出為：圖2.5(c)數學模型T圖2.5(b)調制脈沖

一般τ很小,τ越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在離散時間點上的瞬時值（采樣信號圖形如圖2.6(a)所示）。此過程可用圖2.5(c)所示的數學模型表示。9若開關閉合時間τ→0時，p(t)則可認為是周期性的沖激函數，我們用M(t)表示這個周期沖激函數,見圖2.5(d)。圖2.5(d)M(t)這種采樣可看作是對周期沖激函數的調幅過程，稱之為沖激采樣或理想采樣。則采樣后的輸出信號為理想采樣的時間波形圖見圖2.6(b)所示。10(a)脈沖采樣(b)理想采樣圖2.6采樣信號圖形

11采樣信號的頻譜對于理想采樣采樣信號與連續(xù)時間信號有如下關系，對上式兩邊同時進行傅里葉變換得：其中：M(t)是周期為Ts的周期脈沖信號，因此，可將其展開成傅里葉級數：12其中：13

所以，理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓,重復周期為s(采樣頻率)，即采樣信號的頻譜是以s為周期的連續(xù)信號。圖2.7頻譜周期延拓若xa(t)是實帶限信號，且：則采樣信號的頻譜如圖2.7所示。1……1/Ts14若xa(t)是實帶限信號，但則采樣信號的頻譜如圖2.8所示，此時頻譜產生了混疊?！瓐D2.8頻譜混疊通常，將采樣頻率的一半稱為折疊頻率，當信號的最高頻率(Ωm)低于折疊頻率時，采樣信號的頻譜不發(fā)生混疊，因此可將采樣信號通過低通濾波器濾出基帶頻譜，恢復出原信號；而當信號的最高頻率大于折疊頻率時，信號就被反折回來，造成頻譜的混疊，一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜。115工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊濾波器使得信號的最高頻率小于采樣頻率的一半。教材p51表2.1列出了一些典型信號的上限頻率和采樣頻率。一般將能夠恢復出原始信號的最低采樣頻率（），稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率。下面我們討論從離散信號中恢復出連續(xù)時間信號的相關問題。16如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超過折疊頻率:

則理想采樣的頻譜就不會產生混疊，因此有

將采樣信號通過一個理想低通濾波器（特性如圖2.9(a)所示濾波器的帶寬等于c),則可恢復出原連續(xù)時間信號。理想低通濾波器17若低通濾波器的頻率響應為:則采樣信號通過濾波器后所得輸出信號為：圖2.9(a)

低通濾波器的系統(tǒng)特性當：……1/TSTS0cH(j)Ts-c18實際上，理想低通濾波器是不可能實現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個可實現(xiàn)網絡去逼近。下面從時域討論采樣信號通過理想低通濾波器H(j)的響應過程。采樣信號經理想低通后的輸出(如圖2.9(b)所示）為:

h(t)圖2.9(b)信號恢復的原理圖理想低通H(j)的沖激響應為

19這里，如下式所示，稱為內插函數,其特點是：在采樣點nTs上，函數值為1，其余采樣點上，值為零（見圖2.10）。內插公式表明：連續(xù)函數可以由它的采樣值來表示，它等于乘上對應的內插函數的總和，如圖2.10所示。20圖2.10采樣內插恢復在每一個采樣點上，由于只有該采樣值對應的內插函數為1，其他采樣點處的內插函數值為零，所以保證了各采樣點上信號值不變，而采樣之間的信號則由各采樣值內插函數的波形延伸迭加而成。內插公式的意義:

證明了只要滿足采樣頻率高于信號最高頻譜的兩倍，整個連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息——奈奎斯特定律。21

例2.1

對一個模擬信號進行等間隔采樣，采樣頻率為200Hz，得到離散時間信號。由頻率為30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5個正弦信號的加權和構成,分析采樣后信號的混疊效應。22由此可見，該采樣信號只包含三個頻率成分，產生了頻譜混疊(由于采樣頻率200Hz小于信號包含的頻率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的兩倍，因此采樣中這些頻率均會產生折疊）；與頻率為30Hz,50Hz,70Hz的三個連續(xù)時間正弦信號的加權和構成模擬信號按200Hz的采樣頻率進行等間隔采樣產生的離散時間信號具有相同的形式。232.3*

采樣與重建中的模擬低通濾波器指標特性2.3.1濾波器的幅頻特性一般說來，理想濾波器可分為四種，濾波器的幅頻特性是分段函數，如圖2.11(a)～(d)所示；01(a)01(b)01(c)01(d)圖2.11四種類型的理想模擬濾波器24圖2.12(e)低通濾波器的幅頻特性10通帶過渡帶阻帶但實際的濾波器其幅頻特性并不是銳截止的通帶和阻帶兩個范圍，兩者之間有一個過渡帶，如圖2.12(e)所示；在通帶內幅度響應以誤差逼近于1，在阻帶內幅度響應以誤差逼近于0.其中Ωc、Ωr分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率,

25在具體技術指標中通常用通帶波動δ和最小阻帶衰減Аt來表示：通帶內阻帶內262.3.2抗混疊濾波器的指標特性根據采樣定理，若模擬信號xa(t)是實帶限信號，并且最高頻率分量Ωc不超過Ωs/2，用Ωs的采樣頻率采樣后的信號x(n)可以不失真的重建原有的連續(xù)信號。如果上述條件得不到滿足，在采樣過程中就會產生混疊，模擬信號xa(t)就不能被重建。對于這種情況，在實際應用中就在采樣之前加一抗混疊濾波器首先對模擬信號進行濾波。理想模擬抗混疊濾波器應當滿足：這是一個理想低通濾波器，實際應用中是無法實現(xiàn)的。通常是設計一低通濾波器逼近這個理想濾波器，在270101(a)(b)圖2.13抗混疊濾波器的指標分配(a)過渡帶無混疊(b)過渡帶增加一倍28無論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過渡帶寬均與采樣頻率直接相關。采樣頻率越低，為了降低對模擬抗混疊濾波器的指標要求，便于設計和實現(xiàn)抗混疊濾波器，可以采取的方法之一是提高采樣頻率。由圖2.14可見，采樣頻率提高后抗混疊濾波器的過渡帶加寬。00圖2.14不同采樣率情況下的抗混疊濾波器帶寬變化情況29一個過渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可實現(xiàn)，通常設計時選擇采樣頻率遠大于信號最高頻率的兩倍。當然，采樣頻率選得越高，A/D轉換器的性能要求也越高，采樣數據量增加，系統(tǒng)的運算速率也必須提高，本書的第七章將討論解決這一問題的方案---過采樣技術。2.3.3平滑濾波器的指標特性由前面的討論可知，D/A轉換器包含一個零階保持器，等效于圖2.15(a)。D/A轉換器每得到一個數字就建立一個新的電平，并通過零階保持器在T時間段內保持此電平直至下一個數字到達，如此不斷重復，形成一個階梯狀的連續(xù)時間信號。該信號的頻譜是原模擬信號的頻譜的周期延拓，只有通過平滑濾波器濾除鏡像高頻分量，才能得到平滑的模擬信號。如圖2.3所示。平滑濾波器的指標要求直接和零階保持其相關。30(a)tT01(b)圖2.15離散時間系統(tǒng)模型(a)零階保持器模型(b)零階保持器的沖激響應理想零階保持器的沖激響應等效應一矩形脈沖，其寬度為T，高度為1，見圖2.15(b)。正如前面所討論的，D/A輸入的數字y(n)的頻譜是以采樣角頻率Ωs為周期的，在一個周期中是關于Ωs/2對稱的。通過D/A轉換后，我們只希望保留-Ωs/2至Ωs/2間的頻率分量，濾除其他所有頻率分量。零階保持器能否做到這一點呢？31零階保持器的頻率響應為具有按指數規(guī)律衰減的特性，并且在0圖2.16零階保持器的頻率響應盡管對于的頻率分量，有一定的衰減，但衰減遠不能滿足要求，以上的頻率分量仍需進一步濾除。4dB320圖2.16零階保持器的頻率響應T4dB在實際應用中只需保留()以下的頻率分量，濾除以上的頻率分量可加一模擬低通濾波器；注意到在處有4dB的衰減，平滑濾波器應當逼近33對于上述模擬濾波器實現(xiàn)起來有以下兩點困難，(1)帶內為單調上升的模擬濾波器，(2)相位超前的非因果濾波器。對于這種頻響特性濾波器采用數字濾波器實現(xiàn)會更加方便，這一實現(xiàn)方法在學習數字濾波器時再討論。實際上只要選擇的采樣頻率遠大于2，平滑濾波器的頻響特性便可寫成也就是說，遠小于時，零階保持器的頻率響應可近似地看作是平坦的，而相位超前半個采樣周期的非因果的模擬系統(tǒng)是無法實現(xiàn)的。342.4*連續(xù)時間帶通信號的采樣在2.2節(jié)中，給出了用等間隔采樣產生的離散時間信號表示模擬信號的基本條件，其條件是模擬信號的有效頻率分量帶限于直流和Ωs之間，采樣頻率，這樣的模擬信號通常稱為低通信號。然而，在很多應用中，模擬信號的有效頻率分量是帶現(xiàn)在一個更高的頻率范圍，其中。這樣的信號被稱為帶通信號，通常有低通信號調制而成。為防止混疊，當然可以用高于最高頻率的2倍的采樣信號對這樣的帶通模擬信號進行采樣，即。然而，這種情況下，由于模擬信號的頻譜是帶通的，大量的頻率分量是零，采樣所獲得的離散時間信號的頻譜同樣在很寬的頻帶上其頻率分量為零。此外，一般情況下的和均較高，采樣頻率就更高，甚至無法實現(xiàn)。35對于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶通信號的頻譜會混疊，但由于帶通信號的大量頻率分量為零，如果僅僅與零頻率分量的頻帶產生混疊，帶通信號依然可以恢復重建。36根據采樣定理可得欠采樣信號的頻譜為圖2.17帶通信號的欠采樣M=4(b)欠采樣信號的頻譜(a)帶通信號的頻譜37從圖中可以看出，經過一個理想的通帶為，增益為T的帶通濾波器，可恢復出。如果這個信號是低通信號調制而得，可以將經過一個通帶為的低通濾波器恢復出調制信號分量。這種方法常用于數字無線電接收機中。如果不是的整數倍，可以人為地向左或向右擴展帶寬，使得帶通信號的最高頻率是擴展帶寬的整數倍。例如，把帶寬向左擴展，并假設帶通信號的最低頻率為，選擇使其滿足是擴展帶寬的整數倍。圖2.18所示帶寬向左擴展，并取。在這種情況下，的采樣信號的頻譜會在頻段之間存在一定的間隙。同樣通過一個適當的帶通濾波器可以重建原模擬信號。38(a)擴展帶寬后帶通信號的頻譜(b)采樣信號的頻譜圖2.18擴展帶寬后按M=3采樣392.5離散信號的采樣與插值2.5.1離散信號的采樣——整數M抽?。―ecimation)離散時間信號的采樣實際上是一抽取過程，它使得采樣率降低。這里僅僅考慮x(n)

的采樣率降低整數M倍的抽取過程，即保留第M個樣本點，而去除M個樣本點中的M-1個樣本點，見圖2.19.x(n)0123415……n120345y(m)n圖2.19M=3的離散信號抽取40設原有的離散信號x(n)的采樣周期為T,經過M倍抽取后y(n)的采樣周期為T′，滿足4142式中，。是對信號x(n)抽取后DTFT的表達式，430(a)圖2.20離散時間信號抽取前后的頻譜特征0(b)0(c)0(d)44類似于模擬信號的采樣，為了防止混疊，在采樣之前必須采用抗混疊低通濾波器對信號x(n)進行濾波，濾波器的特性應當逼近

實際低通濾波器的頻響特性表示為

，其單位脈沖響應為h(n),稱為抽取濾波器。對濾波器輸出以整數M倍作抽取得到y(tǒng)(m),這一過程示于圖2.21(a)，圖中“

”

表示整數M倍抽取，抽取濾波器的特性見圖2.21(c),則可得圖2.21(d)的輸出結果。對濾波器輸出再作抽取將不產生混疊，見圖2.21(e)。45

h(n)x(n)

w(n)ff抽取濾波器抽取器y(m)(a)0(b)0(c)圖2.21具有抽取濾波器的離散信號抽取過程及各部分信號的頻譜0(e)0(d)462.5.2離散信號的插值——整數L倍內插對離散時間信號的最簡單的插值方法是插零，首先討論插零后信號頻譜的變化。所謂插零，即對信號x(n)的兩個采樣點之間插入L-1個零。此時采樣頻率提高L倍，得到新的采樣周期,即4