《新高考全案》高考數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù)與基本的初等函數(shù) 第9講 函數(shù)與方程課件 人教

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的

．2．函數(shù)y＝f(x)的

就是方程f(x)＝0的

，亦即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的

．即：方程f(x)＝0有

?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有

?函數(shù)y＝f(x)有

．零點(diǎn)零點(diǎn)實(shí)數(shù)根橫坐標(biāo)實(shí)數(shù)根零點(diǎn)交點(diǎn)3．求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)(1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的

．(2)(幾何法)結(jié)合函數(shù)y＝f(x)的圖象，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出

．4．零點(diǎn)存在性定理函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是

的，且

，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少

．實(shí)數(shù)根零點(diǎn)連續(xù)f(a)f(b)<0有一個(gè)零點(diǎn)5．一元二次方程根的分布設(shè)x1、x2是實(shí)系數(shù)二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩實(shí)根，則x1、x2的分布范圍與二次方程系數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：二、用二分法求方程的近似解對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且滿足

的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)

，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做 ．給定

，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：f(a)·f(b)<0一分為二逐步逼近零點(diǎn)二分法精度ξ1．確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0，給定精度ξ.2．求區(qū)間(a，b)的

x1.3．計(jì)算f(x1)：(1)若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)．(2)若

，則令

(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，x1)．(3)若

，則令

(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1，b)．4．判斷是否達(dá)到精度ξ即若

，則得到零點(diǎn)的

；否則重復(fù)步驟2～4.中點(diǎn)f(a)·f(x)<0b＝x1f(x1)·f(b)<0a＝x1|a－b|<ξ零點(diǎn)值a(或b)1．(2010·天津，4)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]

f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0，∵y＝ex是單調(diào)增函數(shù)，y＝x－2是增函數(shù)，∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函數(shù)，∴在(0,1)區(qū)間上f(x)存在一個(gè)零點(diǎn)．故選C.[答案]

C2．函函數(shù)圖圖象與與x軸均有有公共共點(diǎn)，，但不不能用用二分分法求求公共共點(diǎn)橫橫坐標(biāo)標(biāo)的是是()[答案案]B3．(2010·廣廣東六六校聯(lián)聯(lián)考)方程x2＋2x－a＝0在在[－－1,1]上有有解，，則a的取值值范圍圍是________．．[答案案][－1,3]已知函函數(shù)f(x)＝3x－x2.問(wèn)：：方程程f(x)＝0在區(qū)區(qū)間[－1,0]內(nèi)內(nèi)有沒(méi)沒(méi)有實(shí)實(shí)數(shù)解解？為為什么么？[分析析]要判斷斷f(x)在某某個(gè)區(qū)區(qū)間上上是否否有解解，可可先確確定f(x)在這這個(gè)區(qū)區(qū)間上上是否否有零零點(diǎn)．．[點(diǎn)評(píng)評(píng)與警警示]函數(shù)零零點(diǎn)的的存在在性常常用方方法，，一是是用零零點(diǎn)定定理，，二是是解方方程，，三是是用圖圖象；；而求求函數(shù)數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)就是是求相相應(yīng)方方程的的實(shí)數(shù)數(shù)根；；確定定零點(diǎn)點(diǎn)個(gè)數(shù)數(shù)時(shí)，，要注注意重重根時(shí)時(shí)的表表述．．[解析析]當(dāng)x≤0時(shí)，，由x2＋2x－3＝＝0解解得x＝1或或－3，則則f(x)在(－∞，0]上有有1個(gè)個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)x＞0時(shí)時(shí)，由由－2＋lnx＝0解解得x＝e2，則f(x)在(0，＋∞)上有1個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)，所以以f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)，故選選B.[答案]B若關(guān)于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有兩兩個(gè)不相相等的實(shí)實(shí)根，分分別滿足足下列條條件，求求a的取值范范圍．(1)方方程的兩兩根都大大于1；；(2)方方程一根根大于1，另一一根小于于1.[點(diǎn)評(píng)與與警示]二次方程程根的分分布問(wèn)題題，常借借助二次次函數(shù)的的圖示進(jìn)進(jìn)行等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)化，，先作出出二次函函數(shù)的大大致圖象象，然后后列出相相應(yīng)滿足足條件的的不等式式組，使使問(wèn)題得得到解決決．已知一元元二次方方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有且且僅有一一實(shí)根在在(0,1)內(nèi)內(nèi)，求m的范圍．．[解]設(shè)f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m由f(0)··f(1)<0?m<0.(北師大大版高中中數(shù)學(xué)必必修1改改編)求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)區(qū)間[1,1.5]內(nèi)內(nèi)的一個(gè)個(gè)零點(diǎn)，，(精確確到0.01)．[解]∵f(1)<0f(1.5)>0∴f(x)在區(qū)間間[1,1.5]存在在零點(diǎn)用二分法法逐次計(jì)計(jì)算列表表如下：：端(中點(diǎn))坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值取區(qū)間an－bn[1,1.5]0.51.25f(1.25)<0[1.25,1.5]0.251.375f(1.375)>0[1.25,1.375]0.1251.3125f(1.3125)<0[1.3125,1.375]0.06251.34375f(1.34375)>0[1.3125,1.34375]0.031251.328125f(1.325125)>0[1.3125,1.328125]0.0156251.3203125f(1.3203125)>0[1.3203125,1.328125]0.005∵|1.3203125－1.328125|＝0.005<0.01至此可以以看出，，函數(shù)的的零點(diǎn)落落在區(qū)間間長(zhǎng)度小小于0.01的的區(qū)間[1.3203125,1.328125]內(nèi)，，因?yàn)樵撛搮^(qū)間的的所有值值精確到到此為0.01都是1.32，因此此1.32是函函數(shù)f(x)＝x3－x－1精確確到0.01的的一個(gè)近近似零點(diǎn)點(diǎn)．[點(diǎn)評(píng)與與警示]用二分法法求函數(shù)數(shù)零點(diǎn)近近似值的的步驟，，借助于于計(jì)算器器一步步步求解即即可，我我們可以以借助于于表格和和數(shù)軸，，清楚地地描寫(xiě)逐逐步縮小小零點(diǎn)所所在區(qū)間間的過(guò)程程，而運(yùn)運(yùn)算終止止的時(shí)候候就在區(qū)區(qū)間長(zhǎng)度度小于精精確度ε的時(shí)候．．求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)的近似似解(結(jié)結(jié)果精確確到0.1)[解]令f(x)＝lnx＋x－3，即即求函數(shù)數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)的零零點(diǎn)，用用二分法法逐步計(jì)計(jì)算，列列表如下下：由于區(qū)間間[2.1875,2.25]的的長(zhǎng)度2.25－2.1875＝＝0.0625＜0.1，，所以其其兩個(gè)端端點(diǎn)的近近似值2.2就就是方程程的根．．區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值[2,3]2.50.4164[2,2.5]2.250.0609[2,2.25]2.125－0.1212[2.125,2.25]2.1875－0.0297[2.1875,2.25]設(shè)x0是方程程lnx＋x＝4的的解，，則屬屬于區(qū)區(qū)間()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析析]轉(zhuǎn)化為為函數(shù)數(shù)的零零點(diǎn)去去考慮慮，令令f(x)＝lnx＋x－4，，在A中，，當(dāng)x→0時(shí)，，f(x)＝lnx＋x－4<0，，f(1)＝ln1＋1－4＝－－3<0，，故不不能確確定是是否有有根；；在B中，，f(1)＝ln1＋1－4＝－－3<0，，f(2)＝ln2＋2－4＝－－2＋＋ln2<0，，故不不能確確定是是否有有根；；在C中，，f(2)＝ln2＋2－4＝－－2＋＋ln2<0，，f(3)＝ln3＋3－4＝－－1＋＋ln3>0，，f(x)＝0有根根，故故x0屬于區(qū)區(qū)間(2,3)；在在D中中，f(3)＝ln3＋3－4＝－－1＋＋ln3>0，，f(4)＝ln4＋4－4＝ln4>0，故故不能能確定定是否否有根根．故故選C.[答案案]C設(shè)函數(shù)數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的的零點(diǎn)點(diǎn)為m，則m所在的的區(qū)間間為()A．(1,2)B．．(2,3)C．(3,4)D．．(4,5)[解析析]由f(3)＞0，f(2)＜0.故故選B.[答案案]B1．函函數(shù)y＝f(x)的零零點(diǎn)就就是方方程f(x)＝0的實(shí)實(shí)數(shù)根根，也也是y＝f(x)的圖圖象與與x軸的交交點(diǎn)的的橫坐坐標(biāo)．．所以以：f(x)＝0有實(shí)實(shí)根?y＝f(x)與x軸有交點(diǎn)?y＝f(x)有零點(diǎn)．．2．二次方方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的的分布、存存在問(wèn)題，，既可以用用判別式、、求根公式式、韋達(dá)定定理等代數(shù)數(shù)方法，也也可以借助助方程對(duì)應(yīng)應(yīng)的二次函函數(shù)的圖象象特征列出出等價(jià)條件件組，解題題時(shí)應(yīng)選擇擇計(jì)算量小小的方法．．