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文檔簡介
第2講直接證明與間接證明
1.直接證明
(1)______是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法,它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法.
(2)______是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個明顯成立的條件(已知條件、定義、公理、定理等)為止的證明方法.分析法綜合法
2.間接證明
______是假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立的證明方法,它是一種間接的證明方法,用這種方法證明一個命題的一般步驟:反證法①假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止;③斷言假設(shè)不成立;④肯定原命題的結(jié)論成立.1.下列說法不正確的是()DA.綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法B.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法C.綜合法與分析法都是直接證法D.綜合法與分析法在同一題中不可能同時采用2.用反證法證明一個命題時,下列說法正確的是()A.將結(jié)論與條件同時否定,推出矛盾C
B.肯定條件,否定結(jié)論,推出矛盾
C.將被否定的結(jié)論當(dāng)條件,經(jīng)過推理得出的結(jié)論與原條件或與公理、定理矛盾,是反證法的正確運(yùn)用
D.將被否定的結(jié)論當(dāng)條件,原題的條件不能當(dāng)條件3.用反證法證明命題:“三角形的外角至少有兩個鈍角”時,應(yīng)假設(shè)()C
A.三個內(nèi)角都是鈍角
B.三個內(nèi)角都不是鈍角
C.三個內(nèi)角至多有一個鈍角
D.三個內(nèi)角至多有兩個鈍角
解析:命題:“三角形的外角至少有兩個鈍角”等價于“三角形的外角有兩個鈍角或三個鈍角”,應(yīng)假設(shè)“三角形的三個內(nèi)角至多有一個鈍角”.4.若三角形能被分為兩個與自己相似的三角形,那么這個三角形一定是()BA.銳角三角形C.鈍角三角形B.直角三角形D.不能確定
解析:過直角三角形的直角頂點(diǎn)作斜邊的高,所得的三角形與原三角形相似.解析:利用分析法.考點(diǎn)1綜合法例1:已知a、b、c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1.
(1)綜合法證不等式時,以基本不等式為基礎(chǔ),以不等式的性質(zhì)為依據(jù),進(jìn)行推理論證.因此,關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的基本不等式及其不等式的性質(zhì).
(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法,這就要保證前提正確,推理合乎規(guī)律,才能保證結(jié)論的正確性.綜合法的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?,本題就是根據(jù)函數(shù)的解析式(條件),推出該函數(shù)滿足“理想函數(shù)的所有條件”.【互動探究】1.在銳角ABC中,求證::sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.考點(diǎn)2分析法(1)注意分析法法的“格式式”是“要要證…,只需證…,”而不是是“因?yàn)椤?,所以…”?2)注意分析法法的適用范圍,如含含根式、分分式的不等等式的證明明,常常用用分析法;;(3)綜合法與分析析法相結(jié)合合,對證明明較復(fù)雜的的命題有很很好的效果果.先用分析法尋尋找命題成成立的一個個充分條件件,再用綜綜合法從條條件出發(fā),推出一一些間接結(jié)結(jié)論,兩者者接軌時,,命題就得得以證明..【互動探究】考點(diǎn)3反證法解題思路::本小題考查查等差數(shù)列列的概念、、通項(xiàng)公式與與前n項(xiàng)和公式式,考查查等比數(shù)數(shù)列的概概念與性質(zhì),考考查化歸歸的數(shù)學(xué)學(xué)思想方法以及及推理和和運(yùn)算能能力.“正難則則反”,,選擇反反證法,,因涉及及方程的根,可可從范圍圍方面尋尋找矛盾盾.錯源:犯犯循環(huán)論論證的邏邏輯性錯錯誤糾錯反思思:(1)正確理解解概念““命題的的反面””,如命命題“a>0”的反面是是“a≤0”;(2)注意反證證法的解解題步驟驟,特別別要指明矛盾所在;;(3)一個命題題直接證證明有困困難時,,就可以以考慮用用反證法法的思想..D例5:對于定義義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x),如果同同時滿足足以下三三條:①對對任意的的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則則稱函數(shù)數(shù)f(x)為理想函函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函函數(shù),求求f(0)的值;(2)判斷函數(shù)數(shù)g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否為理理想函數(shù)數(shù),并予予以證明.解析:(1)取x1=x2=0,可得f(0)≥≥f(0)+f(0)??f(0)≤≤0.又由條件件①f(0)≥≥0,故f(0)=0.(2)顯然g(x)=2x-1在[0,1]滿足條件①g(x)≥0,也滿足條件②②g(1)=1.若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x2-1)(2x1-1)≥0,即滿足條件③③,故g(x)理想函數(shù).1.綜合法是一一種由因索果果的證明方法法,又叫順推推法.它常見的書面表達(dá)達(dá)形式是“∵∵…,∴…”或“…?…”.利用綜合法證明“若A則B”命題的綜合合法思考過過程可用框框圖表示為為:圖10-2-1綜合法的思思維過程是是由因?qū)Ч捻樞?,,是從A推演到B的途徑徑,,但但由由A推演演出出的的中中間間結(jié)結(jié)論論未未必必唯唯一一,,如如B、B1、B2等,,可由由B、B1、B2能推推演演出出的的進(jìn)進(jìn)一一步步的的中中間間結(jié)結(jié)論論更更多多,,如如C1、C2、C3、C4等等等,,最最終終能能有有一一個個(或多多個個)可推演出出結(jié)論B即可.2.分析法法是一種種執(zhí)果索索因的證證明方法法,又叫叫逆推法法或執(zhí)果果索因法..它常見見的書面面表達(dá)形形式是::“要證證…,只需證證…”或“…?…””.利用分分析法證證明“若若A則B”命題的分分析法思思考過程可用框框圖表示示為:圖10-2-2分析法的的思考順順序執(zhí)果果索因的的順序,,是從B上溯尋其其論據(jù),,如C、C1、C2等,再尋尋求C、C1、C2的論據(jù),,如B、B1、B2、B
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