線段的垂直平分線的性質(zhì) 課件 人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第十三章軸對(duì)稱13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握線段的垂直平分線的概念及性質(zhì)。2、會(huì)利用線段垂直平分線的性質(zhì)及判定解決有關(guān)問題。3、能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．【課前預(yù)習(xí)】1．已知下列說法，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①等腰三角形一邊上的高就是這條邊上的中線；②等腰三角形的對(duì)稱軸就是底邊上的中線；③若一條直線上的一點(diǎn)P到線段兩端的距離相等，則這條直線是這條線段的垂直平分線；④若兩個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．三角形的三條高的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部B．三角形的三條中線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部C．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部D．三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部3．直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)M，N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，若∠NBA=15°，∠MBA=45°，則∠MAN等于（）A．15° B．30° C．60° D．30°或60°4．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）①有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；②三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)；③有兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線有可能相交于三角形的外部．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5．已知△ABC，找一個(gè)點(diǎn)P使PA=PB=PC，則這個(gè)點(diǎn)應(yīng)該是這個(gè)三角形（）A．三邊中線的交點(diǎn)B．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)C．三條高線的交點(diǎn)D．三邊中垂線的交點(diǎn)【課前預(yù)習(xí)】答案1．A2．A3．D4．C5．D

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線

，直線兩旁的部分能夠

，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.

折痕所在的這條直線叫做_________.對(duì)稱軸折疊互相重合

復(fù)習(xí)回顧

把一個(gè)圖形沿著某一條直線

,如果它能夠

,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸,折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做

.A′ABCB′C′折疊與另一個(gè)圖形重合對(duì)稱點(diǎn)你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3

請(qǐng)?jiān)趫D中的直線l上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等嗎？線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．ABlP1P2P3已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．證明：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．”ABPCl證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．用幾何語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB

或∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上∴PA=PB．∴PA=PB．

ABPCl解：AB=AC=CE

,AB+BD=DE

.

∵AD⊥BC，BD=DC∴AB=AC∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=CE．∴AB=AC=CE例題例1如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC∴AB+BD=CD+CE

即AB+BD=DE．例2如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于50，求BC的長(zhǎng).ABCED探索并證明線段垂直平分線的判定反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PABC證明：過點(diǎn)P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．線段垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．PABC這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．ABPCl解：直線AM

是線段BC

的垂直平分線.∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上．∵M(jìn)B=MC，∴

點(diǎn)M在BC的垂直平分線上∴直線AM是線段BC的垂直平分線．例3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C（如圖）.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.探索經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線ABC作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.（4）作直線CF.

直線CF就是所求作的垂線.CABDEFK如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，怎樣作出圖形的對(duì)稱軸？如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸是任何一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸．如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站，使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB線段垂直平分線的畫法不折疊圖形，你能準(zhǔn)確地作出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸嗎？有時(shí)我們感覺兩個(gè)平面圖形是軸對(duì)稱的，如何驗(yàn)證呢？ABCA′B′C′尺規(guī)作圖

如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A,B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？ABCD作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于

AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點(diǎn).（2）作直線CD.CD即為所求.特別說明：這個(gè)作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn).例如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站.使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長(zhǎng)，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點(diǎn)便是.公共汽車站課堂小結(jié)線段的垂直平分的性質(zhì)和判定性質(zhì)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上內(nèi)容判定內(nèi)容作用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上線段的垂直平分線的有關(guān)作圖尺規(guī)作圖作對(duì)稱軸的常見方法屬于基本作圖之一，必須熟熟練掌握(1)將圖形對(duì)折；(2)用尺規(guī)作圖；(3)用刻度尺先取一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)，然后作垂線【課后練習(xí)】1．下列定理中，沒有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形兩個(gè)底角相等C．線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)2．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．E,D是線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，則AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，則直線DE是線段AB的垂直平分線C．若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上D．若PA=PB，則過點(diǎn)P的直線是線段AB的垂直平分線3．下列說法中，不正確的有（）①不在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離不相等；②三角形兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)到各邊的距離相等；③到三角形三邊距離相等的點(diǎn)有1個(gè)④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，⑤到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有1個(gè)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．下列命題是假命題的是（）A．三角形的外角和是360°B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等C．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形D．有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5．在下列命題中，真命題是（）A．同位角相等B．到線段距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上\C．三角形的外角和是360°D．角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊相等6．∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=5，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為M，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為N，若∠AOB=45°，則△MON的面積為_______．