人教版九年級數(shù)學(xué)上冊思維特訓(xùn)(十六)三角形的邊長、面積與其內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系

第第頁/共5頁匚AO匚AO是必BC的，內(nèi)切圓,D,自下商點(diǎn)2sr=T思維特訓(xùn)（十六）三角形的邊長、面積與其內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系方法點(diǎn)津?基本圖形與結(jié)論:設(shè)S為"BC的面積，l為AABC的周長，r為AABC內(nèi)切圓4O的半徑.1八AF=]l—BC1DB='l—AC1CD=,l—AB解題原理：切線長定理，內(nèi)心到各邊的距離相等.解題策略：連接圓心與三角形各頂點(diǎn)或連接圓心與切點(diǎn)， 利用相關(guān)性質(zhì)及等面積法建立等量關(guān)系求解.典題精練?.閱讀材料：如圖16—1△,在面積為S的4ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)切圓AO的半徑為r,連接OA,OB,OC,△ABC被劃分為三個小三角形.S=Saobc+Saoac+Saoab1 1=2BCr+2ACr+2ABr111=2ar+gbr+2cr1=2（a+b+c）r,

.?」=2sa+b+c(1)理解與應(yīng)用：利用公式計算邊長分別為 5,12,13的三角形內(nèi)切圓半徑；(2)類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)如圖△,且面積為S,各邊長分別為a,b,c,d,試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；(3)拓展與延伸：若一個n邊形(n為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為S,各邊長分別為ai,a2,a3,…，an,合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式 (不需說明理由).圖16—1.如圖16—2,AABC的內(nèi)切圓△。與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,且AB=11cm,BC=16cm,CA=15cm,求AF,BD,CE的長.圖16-2.如圖16—3,在ABC中，/C=90°,它的內(nèi)切圓△。分別與邊AB,BC,CA相切于點(diǎn)D,E,F,且BD=12,AD=8,求AO的半徑r.圖16-3.如圖16—4,4ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,。。是那BC的內(nèi)切圓，求△O的半徑.圖16-4.如圖16—54,在Rt^ABC中，/C=90°,AB,BC,AC的長分別是c,a,b.根據(jù)a+b—c切線長定理”，我們易得AABC的內(nèi)切圓半徑r=一2一；如圖△，當(dāng)圓心O在Rt^ABC外，且△。與RtAABC三邊均相切時，求半徑r.圖16-5.“三角形的三條角平分線交于一點(diǎn) "，這點(diǎn)I叫做3BC的內(nèi)心，顯然內(nèi)心I到三角形三邊的距離相等，這個距離叫做三角形的 內(nèi)切圓半徑”，記作r,下面我們來討論r的求法.圖16-6(1)如圖16—64,已知ABC的三邊長AB=c,AC=b,BC=a,面積為S,則S=Saiab+Saibc+Saiac=,r=(用含a,b,c,S的代數(shù)式表示)；ab(2)特別地，在RtAABC中，ZACB=90,如圖△,(1)中的結(jié)論仍然成立，而S="2,

故「=（用含a,b,c的代數(shù)式表示），記作△式；另外，容易證明四邊形IPCQ為正方形，即CP=CQ=r,所以可以得到r的另一種表達(dá)方式r=（用含a,b,c的代數(shù)式表示），記作△式.由上述△式、△式相等，請繼續(xù)推導(dǎo)直角三角形中 a,b,c的關(guān)系.典題講評與答案詳析“ , 2X30.解：（1）以5,12,13為邊長的三角形為直角三角形，易求得 r=————-=2.5+12+13（2）如圖，連接OA,OB,OC,OD,并設(shè)內(nèi)切圓半徑為r.可得11111可得S四邊形abcd=Saoab+Saobc+Saocd+SAODAM^ar+ibr+gcr+]dr=g(a+b+c+d)r.2Sra+b+c+d2Sra+b+c+d.2S(3)猜想：r=工工]上.a1+a2+a3+?..+an.解：BC的內(nèi)切圓AO與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,，AF=AE,BF=BD,CD=CE..?AF+AE+BF+BD+CD+CE=AB+BC+CA,??-2AF+2BD+2CD=AB+BC+CA,1AF=1AB+BC+CA)-BC=2X(1116+15)-16=5(cm).BD=BF=AB-AF=11-5=6(cm),CE=CD=CA-AE=15-5=10(cm).綜上可得，AF=5cm,BD=6cm,CE=10cm..解：如圖，連接OE,OF.??。0分別與邊AB,BC,CA相切于點(diǎn)D,E,F,z.OE±BC,OFXAC,AF=AD=8,BE=BD=12, OEC=AOFC=90°.又△3=90。，.?.四邊形OECF是矩形.又△OEnOF,???四邊形OECF是正方形，.-，CE=CF=r, AC=AF+CF=8+r,BC=BE+CE=12+r,AB=AD+BD=8+12=20.在RtAABC中，AB2=BC2+AC2,即202=(12+r)2+(8+r)2,整理，得r2+20r-96=0,解得n=4,r2=—24(舍去)..'.OO的半徑r為4..解：如圖，設(shè)△。與4ABC各邊的切點(diǎn)分別是D,E,F,連接OA,OB,OC,OD,OE,OF.O是4ABC的內(nèi)切圓，???ODXBC,OEXAB,OFXAC.XAOE=OF,AOWABAC.而AB=AC,AOXBC,.1.AO,OD互相重合，即ADABC.???AB=AC,C1?.BD=CD=~BC=5.由勾股定理，得AD2=^AB2-BD2=^132-52=12.1 1設(shè)△。的半徑為r,則Saabc=-(AB+AC+BC)r,又Saabc=-BCAD,1 1 10.S(13+13+10)r=jx10X 得r=~,10即△。的半徑為Ycm.o5.解：如圖，設(shè)AO與&\BC的邊或邊的延長線的三個切點(diǎn)分別是 D,E,F,連接OE,

OF,則OEABC,OFLAC,即^OEC=△OFC=90?./ECF=AACB=90°,???四邊形CFOE是矩形.又△OF=OE,.??四邊形CFOE是正方形,.?.OF=OE=CE=CF=r,BD=BE=BC—CE=a—r.由切線長定理，得AD=AF,c+a—b即c+(a—r)=b+r,解得r= 2—〃 16.〃 16.解：(1)2(a+b+c)r2s

abcaba+b—c(2)a