一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題設(shè)計(jì)

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)】1.理解一元二次方程的定義，并會(huì)求一元二次方程的解集．2．掌握一元二次方程的根的判別式，并會(huì)用其判斷根的個(gè)數(shù)．3．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值．【核心素養(yǎng)】1.通過(guò)對(duì)一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過(guò)求一元二次方程的解集，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【教學(xué)重點(diǎn)】1.理解一元二次方程的定義，并會(huì)求一元二次方程的解集．(重點(diǎn))2．掌握一元二次方程的根的判別式，并會(huì)用其判斷根的個(gè)數(shù)．(重點(diǎn))【教學(xué)難點(diǎn)】掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值．【教學(xué)過(guò)程】【新知探究】1．一元二次方程的定義形如ax2＋bx＋c＝0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0.2．一元二次方程的解法(1)直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法．(2)配方法：通過(guò)方程的簡(jiǎn)單變形，將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，則可以運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．(3)公式法：將一元二次方程中的系數(shù)a，b,c的值代入式子x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)中，就求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法．3．一元二次方程根的判別式式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)，即兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．【初試身手】1．一元二次方程x2－16＝0的解集是()A．{－8,8} B．{－4}C．{4} D．{－4,4}D[利用直接開(kāi)平方法解方程，即x2－16＝0，∴x2＝16，解得x1＝4，x2＝－4，故選D.]2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，將其化為(x＋a)2＝b的形式，正確的是()A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11D[x2－8x＋5＝0，x2－8x＝－5，x2－8x＋16＝－5＋16，(x－4)2＝11，故選D.]3．用公式法解方程6x－8＝5x2時(shí)，a，b，c的值分別是()A．5、6、－8 B．5、－6、－8C．5、－6、8 D．6、5、－8C[原方程可化為5x2－6x＋8＝0，∴a＝5,b＝－6，c＝8，故選C.]4．已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，且x1＜x2，下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝1 B．x1·x2＝－1C．|x1|＜|x2| D．xeq\o\al(2,1)＋x1＝eq\f(1,2)D[根據(jù)題意，得x1＋x2＝－eq\f(2,2)＝－1，x1x2＝－eq\f(1,2)，所以A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．∵x1＋x2＜0，x1x2＜0，∴x1，x2異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．∵x1為一元二次方程2x2＋2x－1＝0的根，∴2xeq\o\al(2,1)＋2x1－1＝0，∴xeq\o\al(2,1)＋x1＝eq\f(1,2)，D選項(xiàng)正確．故選D.]【知識(shí)提高】一元二次方程的解法角度一直接開(kāi)平方法【例1】用直接開(kāi)平方法求下列一元二次方程的解集：(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.[思路點(diǎn)撥]可將方程轉(zhuǎn)化為x2＝p(p≥0)的形式．再兩邊開(kāi)平方進(jìn)行降次，化為一元一次方程．[解](1)移項(xiàng)，得4y2＝25.兩邊都除以4，得y2＝eq\f(25,4).解得y1＝eq\f(5,2)，y2＝－eq\f(5,2).所以原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5,2))).(2)移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得3x2＝15.兩邊都除以3，得x2＝5.解得x1＝eq\r(5)，x2＝－eq\r(5).所以原一元二次方程的解集是{eq\r(5)，－eq\r(5)}．規(guī)律方法：應(yīng)用直接開(kāi)平方法求一元二次方程解集的主要步驟1化為x2＝pp≥0的形式；2直接開(kāi)平方；3解兩個(gè)一元一次方程，寫(xiě)出方程的兩個(gè)根；4總結(jié)寫(xiě)成解集的形式.跟蹤訓(xùn)練1．用直接開(kāi)平方法求下列一元二次方程的解集．(1)(x＋1)2＝12；(2)(6x－1)2－25＝0.[解](1)直接開(kāi)平方，得x＋1＝±2eq\r(3)，∴x1＝2eq\r(3)－1，x2＝－2eq\r(3)－1.∴原一元二次方程的解集是{2eq\r(3)－1，－2eq\r(3)－1}．(2)移項(xiàng)，得(6x－1)2＝25.開(kāi)平方，得6x－1＝±5.∴x1＝1，x2＝－eq\f(2,3).∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2,3))).角度二配方法【例2】用配方法求下列方程的解集．(1)x2＋4x－1＝0；(2)4x2＋8x＋1＝0.[解](1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2±eq\r(5)，∴x1＝－2＋eq\r(5)，x2＝－2－eq\r(5).∴原一元二次方程的解集是{－2＋eq\r(5)，－2－eq\r(5)}．(2)移項(xiàng)，得4x2＋8x＝－1.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋2x＝－eq\f(1,4)，配方，得x2＋2x＋12＝12－eq\f(1,4)，即(x＋1)2＝eq\f(3,4).∴x＋1＝±eq\f(\r(3),2).∴x1＝－1＋eq\f(\r(3),2)，x2＝－1－eq\f(\r(3),2)，∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(\r(3),2)，－1－\f(\r(3),2))).規(guī)律方法利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0，先把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?，即方程兩邊都除以a，然后把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程的一邊配方化為一個(gè)完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后用直接開(kāi)平方法求解若另一邊為負(fù)數(shù)，則此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.跟蹤訓(xùn)練2．用配方法求下列方程的解集．(1)x2＋3＝2eq\r(3)x；(2)2x2－5＋eq\r(2)x＝0.[解](1)移項(xiàng)，得x2－2eq\r(3)x＝－3.配方，得x2－2eq\r(3)x＋(eq\r(3))2＝－3＋(eq\r(3))2，即(x－eq\r(3))2＝0.∴x1＝x2＝eq\r(3).∴原一元二次方程的解集是{eq\r(3)}．(2)移項(xiàng)，得2x2＋eq\r(2)x＝5.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋eq\f(\r(2),2)x＝eq\f(5,2).配方，得x2＋eq\f(\r(2),2)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up20(2)＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up20(2).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),4)))eq\s\up20(2)＝eq\f(21,8).∴x＋eq\f(\r(2),4)＝±eq\f(\r(42),4).∴x1＝eq\f(－\r(2)＋\r(42),4)，x2＝eq\f(－\r(2)－\r(42),4)，∴原一元二次方程的解集是eq\f(－\r(2)＋\r(42),4)，eq\f(－\r(2)－\r(42),4).角度三公式法【例3】用公式法求下列方程的解集．(1)x2－4eq\r(3)x＋10＝0；(2)eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,8)＝0.[思路點(diǎn)撥]先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根據(jù)求根公式求解．[解](1)∵a＝1，b＝－4eq\r(3)，c＝10，Δ＝b2－4ac＝(－4eq\r(3))2－4×1×10＝8＞0，∴x＝eq\f(－－4\r(3)±\r(8),2×1)＝eq\f(4\r(3)±2\r(2),2)＝2eq\r(3)±eq\r(2)，∴x1＝2eq\r(3)＋eq\r(2)，x2＝2eq\r(3)－eq\r(2).∴原一元二次方程的解集是{2eq\r(3)＋eq\r(2)，2eq\r(3)－eq\r(2)}．(2)方程兩邊都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.∵a＝4，b＝4，c＝1，Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，∴x＝eq\f(－4±\r(0),2×4)＝－eq\f(1,2)，∴x1＝x2＝－eq\f(1,2).∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).規(guī)律方法利用公式法解一元二次方程時(shí)，首先將方程化為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，計(jì)算b2－4ac的值；當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，把a(bǔ)，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后總結(jié)寫(xiě)出解集.跟蹤訓(xùn)練3．用公式法求下列方程的解集．(1)x2＋3＝2eq\r(2)x；(2)3x2＝－6x－1.[解](1)將方程化為一般形式為x2－2eq\r(2)x＋3＝0.∵a＝1，b＝－2eq\r(2)，c＝3，Δ＝b2－4ac＝(－2eq\r(2))2－4×1×3＝－4＜0，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴原一元二次方程的解集是?.(2)將方程化為一般形式為3x2＋6x＋1＝0，∵a＝3，b＝6，c＝1，Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，∴x＝eq\f(－6±\r(24),2×3)＝eq\f(－3±\r(6),3).∴x1＝eq\f(－3＋\r(6),3)，x2＝eq\f(－3－\r(6),3).∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋\r(6),3)，\f(－3－\r(6),3))).一元二次方程的根的判別式【例4】不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況．(1)3x2－2x－1＝0；(2)2x2－x＋1＝0；(3)4x－x2＝x2＋2.[解](1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴方程的解集中有兩個(gè)元素．(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴方程的解集為空集．(3)方程整理為x2－2x＋1＝0,∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0,∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴方程的解集中有一個(gè)元素．規(guī)律方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判別式Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.跟蹤訓(xùn)練4．下列一元二次方程中，解集為空集的是()A．x2－2x＝0B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2C[利用根的判別式Δ＝b2－4ac分別進(jìn)行判定即可．A．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意；B．Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意；C．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)符合題意；D．Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意．故選C.]一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【例5】設(shè)x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的兩個(gè)根，求下列各式的值．(1)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(2)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.[解]由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(9,2)，x1x2＝3.(1)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(9,2)÷3＝eq\f(3,2)；(2)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up20(2)－2×3＝eq\f(57,4)；(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝3－3×eq\f(9,2)＋9＝－eq\f(3,2)；(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up20(2)－4×3＝eq\f(33,4)，∴x1－x2＝±eq\f(\r(33),2).規(guī)律方法利用根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)代數(shù)式的值的一般方法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1x2的值；(2)將所求的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為含x1＋x2，x1x2的代數(shù)式的形式；(3)將x1＋x2，x1x2的值整體代入，求出待求代數(shù)式的值．跟蹤訓(xùn)練5．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α＋β－αβ的值是()A．3