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2015年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解析01一、求極限
【解】上連續(xù),故因在存在,且所以,二、請問何值時(shí)下式成立
【解】因此要想極限存在,分子必時(shí)使用洛必達(dá)法則得到cba,,注意到左邊得極限中,無論為何值總有分母趨于零,,當(dāng)須為無窮小量,于是可知必有由上式可知:當(dāng)時(shí),若,則此極限,則存在,且其值為0;若綜上所述,得到如下結(jié)論:或。三、計(jì)算定積分。【解】作變換,則
,
所以,。練習(xí):計(jì)算二重積分四、求數(shù)列中的最小項(xiàng)?!窘狻恳?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)當(dāng)x分別取時(shí)的數(shù)列。又且令,容易看出:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),。所以,有唯一極小值。而,因此數(shù)列的最小項(xiàng)。五、求【解】當(dāng)時(shí),收斂;??紤]冪級數(shù),其收斂半徑為1,收斂區(qū)間為時(shí),當(dāng)發(fā)散,因此其收斂域?yàn)?。設(shè)其和函數(shù)為,則,于是,故,。六、設(shè),其中【解】上式兩端對求導(dǎo)得(*)為連續(xù)函數(shù),求。原方程可寫為,
求導(dǎo)得兩端再對即這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程,,由(*)式知特征方程為,齊次通解為由原方程知設(shè)非齊次方程特解為,代入得則非齊次方程通解為由初始條件和可知,七、在過點(diǎn)和的曲線族中,求一條曲線L,使沿該曲線從o到A的積分的值最小?!窘狻浚涣?,得;且是在(0,+∞)內(nèi)的唯一極值點(diǎn),故又,則在處取極小值,時(shí),取最小值,則所求曲線為八、設(shè)f(x)在[?1,1]上有二階導(dǎo)數(shù),且,證明:,x∈[?1,1]。。1.2.f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根?!咀C明】1.由泰勒公式,兩式相減并整理得于是,由于,因此,。2.令,則,。但F(x)在[?1,1]上連續(xù),由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。又由1可知,故這樣F(x)在[?1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn),即在[?1,1]上嚴(yán)格單調(diào),從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。九、設(shè)在為連續(xù)函數(shù),則【解】令則,則所以。即
c為常數(shù)。而,特別地,
即十、設(shè)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù),證明?!咀C法一】設(shè)。由于,所以【證法二】十一、求下列極限,1、2、3、4、提示:級數(shù)收斂域?yàn)閯t于是所以,原極限5
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