均值不等式及其應用設計

均值不等式及其應用教學設計【教學目標】1、學會推導并掌握均值不等式定理.2、能夠簡單應用定理求最值.【教學重點】1、均值不等式定理的證明和應用.2、會用均值不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}.【教學難點】注意運用定理求最大（?。┲档臈l件【教學過程】給定兩個正數a，b，數稱為a，b的算術平均值；數稱為a，b的幾何平均值①.兩個數的算術平均值，實質上是這兩個數在數軸上對應的點的中點坐標，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？兩個數的算術平均值和幾何平均值之間有什么相對大小關系呢？①多個正數的算術平均值和幾何平均值可以類似地定義.例如，a，b，c的算術平均值為，幾何平均值為（1）假設一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大小；（1）假設一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數，算出它們的算術平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數的算術平均值與幾何平均值的相對大小，并根據（1）說出結論的幾何意義.a12b14131從具體實例中可以看出，兩個正數的算術平均值大于或等于它們的幾何平均值.一般地，我們有如下結論.均值不等式如果a，b都是正數，那么，當且僅當a=b時，等號成立.證明因為a，b都是正數，所以即而且，等號成立時，當且僅當，即a=b.值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實數，因此我們可以代入任意滿足條件的數或式子，比如①一定是正確的.均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質是：兩個正實數的算術平均值不小于它們的幾何平均值.那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大.【想一想】你能推廣這個結論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？你能推廣這個結論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？【探索與研究】如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心.已知AC=a，BC=b，D為半圓上一點，且DC如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心.已知AC=a，BC=b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，給出均值不等式的另一個幾何意義?！镜湫屠}】例1已知x>0，求的最小值，并說明x為何值時y取得最小值解因為x>0，所以根據均值不等式有其中等號成立當且僅當x=，即x2=1，解得x=1或x=-1（舍）.因此x=1時，y取得最小值2.例2已知ab>0，求證：，并推導出等號成立的條件.證明因為ab>0，所以，.根據均值不等式，得即當且僅當，即a2=b2時，等號成立。因為ab>0，所以等號成立的條件是a=b.例3（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？分析在（1）中，矩形的長與寬的積是一個常數，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數，要求長與寬的積的最大值.解（1）設矩形的長與寬分別為x與y，依題意得xy=100.因為x>0，y>0，所以所以2（x+y）≥40.當且僅當x=y時，等號成立，由x=y可知此時x=y=10.xy=100因此，當矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40.（2）設矩形的長與寬分別為x與y，依題意得2（x+y）=36，即x+y=18.因為x>0，y>0，所以因此，即xy≤81.當且僅當x=y時，等號成立，由x=yx+y=18,可知此時x=y=9因此，當矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81.例3的結論可以表述為：兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值.例4已知x∈（-1，3），求y=（1+x）（3-x）的最大值，以及y取得最大值時x的值.解當x∈（-1，3）時，一1<x<3，因此1+x>0，3一x>0.由均值不等式可得，從而（1+x）（3-x）≤4，即y≤4.當且僅當1+x=3-x，即x=1時，等號成立.從而x=1時，y取得最大值4.例5已知a，b是實數，求證：a2+b2≥2ab.并說明等號成立的條件.證明因為a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，所以a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab.等號成立時，當且僅當(a-b)2=0，即a=b.例5的結論也是經常要用的.不難看出，均值不等式與例5的結論既有聯(lián)系，又有區(qū)別.區(qū)別在于例5中去掉了a，b是正數的條件，聯(lián)系在于均值不等式可以看成例5結論的一種特殊情況。例6已知a，b∈R，求證：（1）(a+b)2≥4ab；（2）2(a2+b2)≥(a+