方程組的解集同步設計

方程組的解集教學設計【教學目標】1、掌握解方程組的方法.2、判斷方程組解集是有限集還是無限集.3、解讀古代數學語境，能正確列出方程組.【教學重點】1、用消元法解方程組.2、判斷方程組是有限集還是無限集.3、在古代語境中能正確列出方程組.【教學難點】在應用題中正確解讀語境，能夠列出題目要求的方程組.【教學過程】一、方程組的解集將x-y=1將x-y=1看成含有兩個未知數x，y的方程：x=3（1）判斷（x，y）=（3，2）（指的是y=2下同）是否是這個方程的解；（2）判斷這個方程的解集是有限集還是無限集。因為3-2=1，所以（x，y）=（3，2）是方程x-y=1的解，而且方程x-y=1的解集是無限集。我們知道，x-y=1,①x+y=3,②是一個方程組，而且通過①+②可以消去y，得到x=2；②一①可以消去x，得到y(tǒng)=1，從而得出這個方程組的解為（x，y）=（2，1）.一般地，將多個方程聯(lián)立，就能得到方程組.方程組中，由每個方程的解集得到的交集稱為這個方程組的解集。因此，方程組x-y=1,x+y=3,的解集是{（x，y）|x-y=1}∩{（x，y）|x+y=3}={（2，1）}.由上可以看出，求方程組解集的過程要不斷應用等式的性質，常用的方法是以前學過的消元法?！厩榫撑c問題】《九章算術》第八章“方程”問題《九章算術》第八章“方程”問題一：今有上禾田三來⑧，中禾二秉，下禾一來，實三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三來，下禾一乘，實三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，實二十六斗。問上、中、下禾實一乘各幾何。請列方程組求解這個問題.設上禾實一秉x斗，中禾實一秉y斗，下禾實一秉z斗，根據題意，可列方程組3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26.由此可解得這個方程組的解集【拓展閱讀】《九章算術》中的代數成就簡介《九章算術》中的代數成就簡介《九章算術》是中國古典數學最重要的著作，全書分為九章，共246個問題，包含了算術、代數、幾何等多方面的成就，代數方面，《九章算術》的第八章為“方程”，但指的是一次方程組，情境與問題中的題是其中的第一個問題。《九章算術》給出了解這個問題的“方程術”，其實質是將方程中未知數的系數與最后的常數項排成長方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法來解，過程可表示如下。321393213932139400372313405124051240401712326048390041100411其中第一步是將第二行的數乘以3，然后不斷地減去第一行，直到第一個數變?yōu)?為止，然后對第三行做同樣的操作，其余的步驟都類似。不難看出，“遍乘直除”的目的在于消元.按照我國著名數學史學家李文林先生的說法，《九章算術》的方程術，是世界數學史上的一顆明珠，《九章算術》在代數方面的另一項成就是引進了負數，在用“方程術”解方程組時，可能出現(xiàn)減數大于被減數的情形，為此，《九章算術》給出了“正負術”，即正負數的加減運算法則。另外，“開方術”也是《九章算術》的代數成就之一，其實質是給出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的數值求解步驟。而且，“開方術”中還提到：若開之不盡者，為不可開。這是意識到了無理數的存在。你知道其他地區(qū)類似的代數成就出現(xiàn)的時間嗎？感興趣的同學請查閱有關書籍或網絡進行了解吧！【嘗試與發(fā)現(xiàn)】【嘗試與發(fā)現(xiàn)】x-y+x-y+z=1設方程組x+y-3z=5的解集為A.判斷（x，y，x）=（3，2，0）和（x，y，z）=（4，4，1）是否是集合A中的元素；判斷A是一個有限集還是一個無限集.（x，y，z）=（3，2，0）和（x，y，x）=（4，4，1）均為上述方程組的解，而且，如果我們將z看成已知數，就可以解得x=x+3，y=2x+2，這樣一來，方程組的解集可以寫成A={（x，y，z）|x=x+3，y=2x+2，z∈R）.不難看出，這個集合含有無限多個元素，是一個無限集，這說明，當方程組中未知數的個數大于方程的個數時，方程組的解集可能含有無窮多個元素，此時，如果將其中一些未知數看成常數，那么其他未知數往往能用這些未知數表示出來.【典型例題】例1求方程組的解集.解將②代入①，整理得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.利用②可知，x=1時，y=2；x=-2時，y=-1.所以原方程組的解集為{（1，2），（-2，-1）}.例2求方程組x2+y2=2,①(x-1)2+(y-2)2=1②的解集.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】觀察方程組中兩個方程之間的聯(lián)系，觀察方程組中兩個方程之間的聯(lián)系，給出消元的方案.解由①-②，整理得x+2y-3=0.③由③解得x=3-2y.代人①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得y=1或y=利用③可知，y=1時，x=1；y=時，x=因此，原方程組的解集為{（1，1），（，）}二、用信息技術求方程和方程組的解集利用計算機軟件可以迅速求出方程和方程組的解集。在動態(tài)數學軟件GeoGebra①中的“運算區(qū)”用solve命令，就可以得到方程和方程組的解集信息。如下圖所示是求解示例，其中第2個示例中的“{}”表示解集為空集，即不存在實數解；第5個示例表示將x，y看成未知數，求解方程組x-y+z=1，x+y-3z=5.其他結果請讀者自行嘗試與解讀.一般