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導(dǎo)數(shù)專題:隱點(diǎn)問題專訓(xùn)練一、解答題(本大題共7小題共84.0)1.已知函數(shù)f()=e-ln(+)(Ι)設(shè)x=0是f()的極值點(diǎn),求,并討論)的單調(diào)性;(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí),證明()>0.2.已知函數(shù)f()=.證明:∈,線=()都不是曲線=()的切線;若∈[,],使得()≤()+成立求實(shí)數(shù)的值范圍.3.設(shè)函數(shù)f()=+ax+b在點(diǎn)(,(0)處的切線方程為++1=0(Ⅰ)求ab值,并求()的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:當(dāng)≥0時(shí)(x)>-4.4.已知函數(shù)f()=a-e;(1)討論fx的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若=2,求證:f()<0.第1頁(yè),共8頁(yè)5.已知函數(shù)f()=+ln有值點(diǎn),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求a的值范圍;(2)若a(0,],求證:∈(0,2]都有f()<.6.設(shè)函數(shù)f()=

-ln+1(∈)求函數(shù)f()的單調(diào)區(qū)間;若函數(shù)g()=axe+3,求證f()>x)在(,+)上恒成立.7.已知函數(shù)f()=x+在(,(1))處的切線為3--2=0.(1)求函數(shù)()的解析式;(2)若kZ,且對(duì)任意>1都有<

成立,求k的大值.答

案導(dǎo)數(shù)專題:隱零點(diǎn)問題(高中數(shù)學(xué))一、解答題(本大題共7小題共84.0)第2頁(yè),共8頁(yè)8.已知函數(shù)f()=e-ln(+)(Ι)設(shè)x=0是f()的極值點(diǎn),求,并討論)的單調(diào)性;(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí),證明()>0.【答案】(Ⅰ)解:∵,=0是()的極值點(diǎn),∴,解得m=1.所以函數(shù)f()=-lnx+1),其定義域?yàn)椋?1,+).∵

.設(shè)()=(+1)-1則′()=(+1)+>0所以g()(-1,+∞)上為增函數(shù),又∵g(0)=0,所以當(dāng)>0,()>0即′()>0;當(dāng)1<<0,()<0,′)<0.所以f()(-1)上為減函數(shù);在(0,+∞上為增函數(shù)(Ⅱ)證明:當(dāng)≤2∈(-∞)時(shí)ln+)≤lnx)故只需證明m時(shí)()>0當(dāng)=2時(shí),數(shù)

在-2∞)上為增函數(shù),且′(-1)<0,′)>0.故′()=0在,+)上有唯一實(shí)數(shù)根x,x(-1,0.當(dāng)∈(-2,)f′()<0當(dāng)x∈(,+)時(shí),f′()>0從而當(dāng)xx時(shí),()取得最小值.由′(x)=0,得故()≥

,ln(x+2)=-=>0.綜上,當(dāng)m≤2時(shí),f()>0【解析】(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),因?yàn)?0是函數(shù)f()極值點(diǎn),由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求m的入數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明當(dāng)≤2f()>0轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)=2時(shí)f().求出當(dāng)m時(shí)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可知導(dǎo)函數(shù)在(-2,+)上為增函數(shù),并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在-1,0)上有唯一零點(diǎn),當(dāng)=x時(shí)數(shù)取得最小值,借助于x是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出()>0,從而結(jié)論得證.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值考查了不等式的證明,考查了函數(shù)與方程思想,分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵,是難題.9.已知函數(shù)f()=.證明:∈,線=()都不是曲線=()的切線;若∈[,],使得()≤()+成立求實(shí)數(shù)的值范圍.【答案】解:)明fx)的定義域?yàn)椋ǎ?∪(1,+),f()的導(dǎo)數(shù)為f′()=,直線y=()過定點(diǎn)(,0,第3頁(yè),共8頁(yè)若直線yg()=)相切于點(diǎn),

),則==,為ln+-1=0設(shè)()=ln+-1,′()=+1>0,則()在(,+)遞增,(1,當(dāng)且僅當(dāng)=1①立.與定義域矛盾,k∈,線=()不是曲線y=f()切線;(2)()g()+?k(-1)≤,令()=-k(-1),∈[,

],則∈[,

],使得f()≤()+成立m()≤.m′()=-k=-(-)-,當(dāng)≥時(shí),m()≤0m(x在,e]減,于是)=()=-k(-1)≤,解得k≥,足k≥,≥立;當(dāng)<時(shí)由y=-(-)+-,及=得m′)=-()+-k在,e]遞增,m′()m′()≤′e)即-≤′)≤-k,①若-≥0即≤0m(≥0則(在e]增()()=e(-1)≥>,成立;②若-<0,即0<<時(shí),′()=-<0,′()=-k>0,由′()調(diào)性可x∈[,<0,()減;

],由′x)=0,且當(dāng)x∈,),′(x)當(dāng)∈(x,e),′(),m()增,可得m()最小值為

+(-1),由k(-1)≤,可得≥(-)>(

)=>,0<<矛盾.綜上可得k范圍是k≥.【解析出x導(dǎo)數(shù)得切線的斜率出切點(diǎn)造數(shù)xx-1,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,即可得證;(2)()g()+?k(-1)≤,令()=-k(-1),∈[,],則∈[,

],使得f()≤()+成立m()≤.對(duì)討,當(dāng)k≥時(shí)當(dāng)<時(shí)運(yùn)用單調(diào)性,求出最值,解不等式即可得到所求范圍.本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查分類討論的思想方第4頁(yè),共8頁(yè)法,以及構(gòu)造函數(shù)法,轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.10.設(shè)函f()=+ax+b在點(diǎn)(,(0)處的切線方程為++1=0(Ⅰ)求ab值,并求()的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:當(dāng)≥0時(shí)(x)>-4.【答案】解:(Ⅰ)′x)=+,由已知,′(0)=-1f(0)=-1,故=-2,=-2,f′()=-2當(dāng)∈(-∞),′)<0,當(dāng)∈(ln2∞)時(shí)f′()>0,故()在(∞,ln2單調(diào)遞減,在(ln2,+∞單調(diào)遞增;(6)(Ⅱ)設(shè)g()=((x

-4)=-

-2x+2,g′()=-2-2=()在ln2,+∞)單調(diào)遞減,在-∞)調(diào)遞增,因?yàn)間′)=-1,′)=-6>0,0<ln2<2,所以g′()在0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)x,且x∈(0,2)當(dāng)∈[0,x)時(shí)′(x),當(dāng)∈(x,+)時(shí),′x)>0,即()在,)調(diào)遞減,在(∞)時(shí),單調(diào)遞增,

=2+2,當(dāng)≥0時(shí),()g()=

=4->0,即()>

-4,…(12分)【解析(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程建立方程關(guān)系即可求a,值及f()的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值關(guān)系即可證明不等式.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用算量較大,綜合性較強(qiáng).11.已知數(shù)f()=a-e;討論f()的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);若=2,求證:()<0【答案】解:)據(jù)題意可得′()=e=(>0,當(dāng)≤0時(shí),′()<0,函數(shù)=()減函數(shù),無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)>0時(shí),令f()=0得-,即xe=,又=x在0,+∞)上存在一,不妨設(shè)為x,所以函數(shù)y=fx)在(,)是單調(diào)遞增的,在∞)上是單調(diào)遞減的;所以函數(shù)y=fx)有一個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn);總之:當(dāng)a≤0時(shí),f()極值點(diǎn);當(dāng)>0時(shí),函數(shù)y=(x)有一個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)小值點(diǎn);(2)證明:a=2時(shí),)=2lnx-,′()=由(1)可知f()有極大值f()且滿x

(>0,=2…①,又=x

在(0,+∞)上是增函數(shù),且0<,以x∈,1,又知:()=(x)=2lnx…;第5頁(yè),共8頁(yè)由①可得=,入②得(x)=()=2ln-,令()=2ln-,g′()==

>0恒成,所以g()(,1上是增函數(shù),所以g()g(1)=-2<0即(),所以f()<0【解析】)f()求導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)f()=0討論a的值,判斷f()單調(diào)性和最值,從而求出函數(shù)=()值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)求出a時(shí)()的導(dǎo)數(shù)′(),判斷()的極值情況,利用極值構(gòu)造函數(shù),從而證明()<0.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值問題考查了不等式恒成立問題難題.12.已知數(shù)f()=+ln有值點(diǎn),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求a的值范圍;(2)若a(0,],求證:∈(0,2]都有f()<

.【答案】解:)(

+ln,′(,若函數(shù)f()=

+lnx有值點(diǎn),則-

=0有解顯然a>0,令()=-,a>0),則′()=-2,″x)=-2,令″(),解得:>ln,m″()<0解得x<ln,∴′()(∞,ln)減,在ln,+)遞增,∴′()=′)=2-2ln<0解得:<,故0<<;(2)()=+ln,′()=,令()=-,′()=-2x,0<≤1時(shí),′x)≤ae-2<0,由于h()=(-),(1)=ae-1,∴()在(,1)內(nèi)有唯一極大值點(diǎn)x,當(dāng)=時(shí)f()極大值點(diǎn)x=1,∴∈(0,2]時(shí),()≤max{f(1),)}f()=(<)第6頁(yè),共8頁(yè)令ω()=,a<<1,則ω′((-2lnx<0,∴ω()<ω)=

<,又(1,∴max{(1),(x)}.【解析】)出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到-=0有,顯然>0令()=-

,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令()=ae-

,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到())內(nèi)有唯一極大值點(diǎn)x,而()≤max{(1(x)},結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,證出結(jié)論即可.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.13.設(shè)函f()=

-ln+1(∈)求函數(shù)f()的單調(diào)區(qū)間;若函數(shù)g()=axe+3,求證f()>)在(,+)上恒成立.【答案】解:)數(shù)()=x+1的數(shù)為′()=2-=,>0當(dāng)≤0時(shí),′()<0,()減;當(dāng)>0時(shí),由f′()>0可得>

;由′(),可得x<.則當(dāng)a≤0時(shí),f()減區(qū)間為0∞),無(wú)增區(qū)間;當(dāng)>0時(shí),()的增區(qū)間為(,+∞),減區(qū)間為(,);(2)證明:h()=(x)-()=-ln(ax-+3=-ln-2,h()的導(dǎo)數(shù)為h′()=-=

,由=-1的數(shù)為′=x)>0對(duì)x>0恒成立,即有函數(shù)y=xe-1在上遞增,且y>-1設(shè)的為x,有xe=1,(0<x<1,則當(dāng)x>時(shí)′(),()遞增;當(dāng)0<<時(shí)h′()<0()減.故當(dāng)x=x時(shí)()得最小值,且為-lnx-2即有+-2>2-2=0,則()>0恒成立,即有f()()(0,+)上恒成立.另解:當(dāng)x>0時(shí),由>x+1,lnx-1這個(gè)等式知,第7頁(yè),共8頁(yè)f()-()=-lnx-2>x+1-+1-2=0即為f()()(0,+)上恒成立.【解析】)出f()的導(dǎo)數(shù),對(duì)a討論,分≤0時(shí)>0時(shí),判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào),可得單調(diào)性;(2)設(shè)()=()-(-lnax-+3)=-ln-2,出()的導(dǎo)數(shù)為′()=-

,判斷xe-1在x>0上增,且>-1設(shè)-1=0的為,即有x=1(0<1,求出h()最小值,判斷大于0,即可得證.本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,同時(shí)考查不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.14.已知數(shù)f()=x+在(,(1))處的切線為3--2=0.(1)求函數(shù)()的解析式;(2)若kZ,且對(duì)任意>1都有<

成立,求k的大值.【答案】解:)()定域?yàn)椋?),'(x)=ln+1+,∴

∴()=lnx+2.(2)令

可化為,,則g(x),

,∈(1,+).令()=-2-ln,則,∴()在(,+∞)上為增函數(shù).又(3<0,(4)=2-ln4>0,故存在唯一的

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