高三數(shù)學(xué)第五章-平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量考試內(nèi)容：段的定比分點(diǎn)．平面向量的數(shù)量積．平面兩點(diǎn)間的距離、平移．考試要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．（2）掌握向量的加法和減法．（3）掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．（5）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．（6）掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用掌握平移公式．§05.

平面向量 知識(shí)要點(diǎn)1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向

. (2)向量的表示：幾何表示法單位向量

a

為單位向量｜a

｜＝1.

；字母表示：單位向量

a

為單位向量｜a

｜＝1.坐標(biāo)表示法

a＝＋＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a(4)特殊的向量：零向量a｜a｜＝O. (5)相等的向量：大小相等，方向相同

(ｘ

，ｙ

)＝（

ｘ

，ｙ

）

(6)

相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量

.記作

a∥b.平行向量也稱為共線向量.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算類b(

,

)

型向量的 1.平行四邊形法則加法 2.三角形法則

r

r

坐標(biāo)方法

運(yùn)算性質(zhì)r

r

r

rb

bb

b

,

減法

三角形法則

r

rb(

,

)

b

buuur

uuur足:

足:

,

乘向

r1.

是一個(gè)向量

,

滿

r

r2.

>0

時(shí),

與

同

b

b量 向;r

r

<0

時(shí), 與

異向;

r

r

r

r//b

b

|=

量的數(shù)量積

r

r=0

.r

r?

b是一個(gè)數(shù)r

r

r

r1.

或b

時(shí)，r

r?b

.

2.

b

b,

b

r

r?

b

r

r

r

r?

bb?

?b

?

b

?b

b?

?b?

ur

?bba∥ba∥ba＝()xy－xy

a⊥ba·b＝Oxx＋yy

＝O.＝

＋

(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)

(1)平面向量基本定理e

，e

是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi) 任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，λ，使

a＝λe＋λe. (2)兩個(gè)向量平行的充要條件 (3)兩個(gè)向量垂直的充要條件 (4)線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)

P分有向線段PP

所成的比為λ，即PP＝λ

PP

，則

,

(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)

.當(dāng)λ＝1

時(shí)，得中點(diǎn)公式：

.

（

＋

）或

,則則

＝+a

或y y設(shè)點(diǎn)

P(x，

)按向量a＝（ｈ，ｋP′（x′，y y

,

.曲線

y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：y－ｋ＝f（x－ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理： b

.

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，b＝c＋acacosB，c＝a＋babcosC.（7）三角形面積計(jì)算公式：設(shè)△ABC的三邊為

其高分別為h，半周長為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為.①S=1/2ah=1/2bh=1/2ch ②S=Pr ③S

=abc/4R④ =1/2sinsinsinA ⑤ =eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S)

b

⑥eq

\o\ac(△,S)

=1/2（b+c-a）r（b+a-c）r=1/2（a+c-b）r[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4

個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3

個(gè)是旁心.如圖：

b

E

FcD

I

F

b

Er

C

bF

C

N

aE

C

r

rI圖 圖

1

中的

I為eq

\o\ac(△,S)

的內(nèi)心，

=Preq

\o\ac(△,S)圖

2

中的

I為eq

\o\ac(△,S)

的一個(gè)旁心，eq

\o\ac(△,S)

=1/2（b+c-a）r重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).⑸已知⊙O是△ABC

的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長,即

b

]則：①AE=

=1/2（b+c-a）②BN=

b=1/2（a+c-b）③FC=

=1/2（a+b-c）綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對(duì)邊（如圖

4）.

eq

\o\ac(△,Rt)

r=

b

（如b圖

3）.⑹在△ABC

中，有下列等式成立

.

,所以

C

結(jié)論！

，⑺在△ABC中，D

是

BC上任意一點(diǎn)，則

.證明：在△ABCD中，由余弦定理，有

①在△ABC

中，由余弦定理有

②，②代入①，化簡可得，

可得，

（斯德瓦定理）

①若

AD是

BC上的中線，m

b

；②若

AD是∠A的平分線，

b

pp

，其中

p

C③若

AD是

BC上的高，⑻△ABC

的判定：

pppbp，其中

p為半周長.附

：

證

明

：

，

得

在

鈍

角

△

ABC

中

，b△ABC為直角△∠A

+附

：

證

明

：

，

得

在

鈍

角

△

ABC

中

，＜b△ABC為鈍角△∠A

+

∠B＜＞b△ABC為銳角△∠A

+

∠B＞

b

b

b

b

b

()運(yùn)算律：⑴加法交換律：b

b

1．空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量⑵向量一般用有向線段表示

同向等長的有向線段表示同一或相等的向量⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2．空間向量的運(yùn)算如下

b

b

⑵加法結(jié)合律：

b

⑵加法結(jié)合律：

b

b

⑶數(shù)乘分配律：

(b)

b

．量叫做共線向量或平行向量．平行于b

記作//b當(dāng)我們說向量、b

共線（或//b

）時(shí)，表示、b

的有向線段所共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、b

（b

≠），//b

的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ

b

. 3

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向 在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．4．共線向量定理及其推論： 推論：如果

l為經(jīng)過已知點(diǎn)

A且平行于已知非零向量

的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)

O，點(diǎn)

P

在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)

t

滿足等式．

．

r已知平面

和向量

r已知平面

和向量

r

平行于

或在

內(nèi)，數(shù),使

p

位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)

對(duì)

,

，

使

或

對(duì)

空

間

任

一

點(diǎn)

，

有

OM

①5．向量與平面平行：uuurr r那么我們說向量平行于平面

，記作：//r r通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6．共面向量定理：r

r r

rr如果兩個(gè)向量,

b

不共線，p與向量r

r r

rr uuur uuur uuuur uuur ①式叫做平面的向量表達(dá)式一的有序?qū)崝?shù)組,,，使

一的有序?qū)崝?shù)組,,，使

p

有序?qū)崝?shù),,，使

已知兩非零向量r,

b

，作

,

b

，則r

r如果三個(gè)向量

,b,

r推論：設(shè),,,

C

是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)

，都存在唯一的三個(gè)uuur uuur uuur uuur8

空間向量的夾角及其表示：r uuur uuur r叫做向量

與b

的夾角，記作

,

b

；且規(guī)定

,

b

，顯然有

,

b

b,

,

b

b,

；若

,

b

，則稱與b

互相垂直，記作：

b

.

r

r

r

rr

uuur設(shè)r

uuur設(shè)

的長度叫做向量r

r.10．向量的數(shù)量積：

r

b

b

,b

．已知向量

r

和軸l，er

是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)

在l上的射影

，作點(diǎn)在l上的射影

，則

叫做向量

在軸l上或uuuur可以證明

的長度

,e

e．r

r

r

r

r

．（2）

r（1）

,

b

b

．（3）

．uuurr uuuruuure在r

上的正射影.euuuur uuuur uuur11．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：r r

r r r

r12．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

b

b

b

r

r

r

b

b

b

r

r

r

r．（

2

）

b

b

（

交

換

律

）（

3

）

b

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一．知識(shí)回顧：（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的

x

軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），yz

①令=(a,a,a),b

b

,b

,b

，則

b

b

,

b

,

b

,

,

b

b

b

b

∥b

b

,

b

,

b

b

b

b

b

b

b

b

(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：

)

b

,b

b

b

b

b

b

b

b

②空間兩點(diǎn)的距離公式：d

(

)

(

)

(

)

.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面

，記作

，如果

那么向量叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n

是平面

的法向量，AB

是平面

的一條射線，其中

，則點(diǎn)B

到平面

的距離為

n.n②利用法向量求二面角的平面