2015年海南大學數(shù)學競賽輔導

2015年海南大學數(shù)學競賽輔導

數(shù)列極限的定義例證例證函數(shù)極限定義：另兩種情形:1、定義：左極限右極限例證1.夾逼準則極限存在準則和兩個重要極限2.單調有界準則單調增加單調減少單調數(shù)列幾何解釋:(1)(2)兩個重要極限不能濫用等價無窮小代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.注意例解例解解錯例1例2證(舍去)例3、求極限

【解】上連續(xù)，故因在存在，且，所以，二、請問何值時下式成立

【解】因此要想極限存在，分子必時使用洛必達法則得到cba,,注意到左邊得極限中，無論為何值總有分母趨于零，，當須為無窮小量，于是可知必有由上式可知：當時，若，則此極限，則存在，且其值為0；若綜上所述，得到如下結論：或。定義:最大最小值定理定理(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內有間斷點,定理不一定成立.定義:介值定理推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點定理,例2證由零點定理,定義導數(shù)定義其它形式即★2.右導數(shù):單側導數(shù)1.左導數(shù):★例解四、求數(shù)列中的最小項?！窘狻恳驗樗o數(shù)列是函數(shù)當x分別取時的數(shù)列。又且令，容易看出：當時，當時，。所以，有唯一極小值。而，因此數(shù)列的最小項。。例解例解定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則:用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.隱函數(shù)求導例解解得例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導?參數(shù)方程所確定的函數(shù)導數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得例如,羅爾定理例1證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,拉格朗日中值定理柯西中值定理例4證分析:結論可變形為泰勒(Taylor)中值定理麥克勞林(Maclaurin)公式常用函數(shù)的麥克勞林公式定義定積分的定義被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和證明利用對數(shù)的性質得極限運算與對數(shù)運算換序得故例將和式極限：表示成定積分.原式定積分中值定理積分中值公式解由積分中值定理知有使證可變上下限積分證證令例6求

解由圖形可知三、計算定積分?！窘狻孔髯儞Q，則

，

所以，。例4設求解例8計算廣義積分解瑕點不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法.由定理1，對于非負函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理．廣義積分的審斂法例２解所給廣義積分收斂．

旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺旋轉體體積xyo旋轉體的體積為二、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積功水壓力引力解設木板對鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時所作的功為例3用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第次錘擊時又將鐵釘擊入多少？設

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為一階線性微分方程上方程稱為齊次的．上方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為（使用分離變量法）解法非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為特征方程為特征方程的根通解中的對應項５、高階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結構常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.一、型利用歐拉公式注意上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.五、求【解】當時，收斂；?？紤]冪級數(shù),其收斂半徑為1，收斂區(qū)間為時，當發(fā)散，因此其收斂域為。設其和函數(shù)為,則，于是，故，。六、設，其中【解】上式兩端對求導得（*）為連續(xù)函數(shù)，求。原方程可寫為，

求導得兩端再對即這是一個二階線性常系數(shù)非齊次方程，，由（*）式知特征方程為，齊次通解為由原方程知設非齊次方程特解為，代入得則非齊次方程通解為由初始條件和可知，七、在過點和的曲線族中，求一條曲線L，使沿該曲線從o到A的積分的值最小。【解】；令，得;且是在(0,+∞)內的唯一極值點，故又，則在處取極小值，時,取最小值，則所求曲線為八、設f(x)在[?1,1]上有二階導數(shù)，且，證明：，x∈[?1,1]。。1．2.f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個實根?！咀C明】1.由泰勒公式，兩式相減并整理得于是,由于，因此，。2.令。則，。但F(x)在[?1,1]上連續(xù),由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一個零點。又由1可知，故這樣F(x)在[?1,1]上有且只有一個零點，即在[?1,1]上嚴格單調，從而至多有一個零點。f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個實根。九、設在為連續(xù)函數(shù),則【解】令則，則所以。即

c為常數(shù)。而，特別地,