第一章 中線模型的構造

60060600600中線模型構造當已知條件中出現一個中點時先想到的作輔助線解題方法是什么？如果已知兩個中點呢？名師講堂知識點睛1、線段的中點如圖1-1a將段AB分相等的兩條線段AM與BM。點M叫線段AB的點。類似地，還有線段的三等分點，四等分點，如1-1（c）2、等腰三角形（）義：如圖1-2，△中，如果，eq\o\ac(△,則)是腰角形。（）質：等三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”等三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（“簡寫成三線合一”判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”3、等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。性質：等邊三角形三個角都相等并且每一個角都等于，“三線合一”。（）定：三角都相的三角形是等邊三角形；有個角是的等腰三角形是等邊三角形；三相等的三角形是等邊三角形。、直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。性質：直角三角形中兩銳角互余；直三角形斜邊中線等于斜邊一半；直三角形中，如果一個銳角等于，么它所對的直角邊等于斜邊的一半；④直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

勾股定理。即如果直角三角形中兩直角邊是a、

，斜邊為c

，則

。（）定：有個角是角的三角形是直角三角形；如三角形的三邊長ac直接三角形。、全等三角形

滿足

，那么這個三角形就是定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。判定：三邊對應相等的兩個三角形全等SSS兩和它們的夾角對應相等的兩個三角形全SAS兩和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全ASA兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等HL☆小提示S-Side（邊A-Angle角（邊（角邊）、三角形的中位線（）義：我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，如1-3在ABC中D分是、AC中，則

叫做ABC的位線。（）理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。如圖1-3，在

中，DE

是

ABC

的中位線，則

DE∥

且

DE

。技巧提煉很多幾何題會給出“點×是線段××的中點”這樣的條件看到“中點”我們應該想到什么呢？“中點”有哪些作用呢？已知任意三角形一邊上的中點，可以考慮：倍長中線或類中線（與中點有關線段）構造全等三角形。如圖1-4（1-4（）示三角形中位線定理已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線。已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”。有些題目的中點不直接給出，此時需要我們挖掘題目中的隱含中點，例如直角三角形中斜邊中點，等腰三角形底邊上中點，當沒有這些條件的時候，可以用輔助線添加。例題精講例1

如圖1-5a

ABC

中，

,

AC20

求

邊上中點

的范圍。解析：如圖1-5（長AD

到點

，使得DE

,連接

AD,ADBEDCECDBA在ACE中，＜＜,20＜AE20＜AE1ADAE,24＜16.綜上所述AD例2如圖（在ABC中邊上的中線，E并延長，交AC于，AFEF，證AC.解析

是AD

上一點連接BE證法一：如圖1-6b長AD

到點

G

，使

DGAD

，連接

.DB,BDGCDA,ADGDADC.AC.又AF,EAFAEF.BED,G,AC.解法二：如圖1-6(c)，延長

到點

G

，使得

DG

,連接

CG

.D是B點，CD.CDGGBED,.AFEF,BEGG即EAF..變式如圖1-7，已知在

ABC

中，

是

邊上的中線E

是AD

上一點，且

,延長

,交AC于F

，

與EF

相等嗎？為什么？變式如圖1-8在

中，

交

于點

，點

是

中點，

交

的延長線于點F

，交AB

于點G若

為ABC角平分線，求證：

BGCF例3

如圖1-9（

Rt

中，

,點D為

的中點，點

、F

分別為、

上的點且EDFD

以段

、、FC

為邊能否構成一個三角形？若能三角形是銳角三角形，還是直角三角形，或者是鈍角三角形？解析：以線段

、、FC

為邊能構成一個直角三角形證明：如圖1-9（長FD到使GDFD，接

EG、BDBDGFD≌(CF,FCDGBD∥BG90

0

，EBG

0FDFD,EG.EBG中，

2

2

，

2

2

EF

2

線段BE、EF、為邊能構成個直角三形變式CFEF如圖1-10，已知M為邊的中點，、于、，接EF。證：

、

的平分線分別交ABAB變式如圖1-11所，在中是的點，DMDN，果

CN

DM

2

DN

2

，求證：

AD

124.點評例－例3是用作倍長中線或倍長類中線的方法想求證的線段或角全等轉化到另一個圖形中，從而得到所求。例4已知：如圖1-12（中，、CF分為邊AC上的高D為

的中點，EF

于點，證：FM

.解析證明：如圖1-12接DF、.BECF分別為邊、上的高，BECBFC90

.在Rt和RtD是BC中點，DE

11,DF22DE又DM,DM是的垂直平分.EM.例5

已知：ABD和都是直角三角形，且

.如圖1-13a連接DE解析

，設M為DE

的中點，連接MBMC.求證：MC.如圖（長

交

于點

N

,

0

，∥，MENMDBMDMBD≌MB即M是BN中.MCMB

0

，點評例4、5是利用角三角形斜邊中線的性質來證明線段相等，特別是例5隱中點的發(fā)現。例6問題一：如圖1-14a四形

ABCD

中，

CD

，

、

分別是

、

的中點，連接

并延長，分別與BACD的長線交于點M，求證

.問題二：如圖1-14（四形ADBC中與CD相于O，，、分別是

AD

的中點，連EF

，分別交

、AB

于點

MN

，判斷

的形狀，請直接寫出結.問題三：如1-14cABC中ABD在AC上，、分是BC、的中點接EF判斷的形狀并證.

并延長

的延長線交于點EFC

接GD，解析證明）圖1-14（接BD

，取BD

的中點，連接

HE、.，、F分別是CAD的中點，1FHABFH∥21HEDC∥2HEHF,HFEFH∥MBHEBME,CNEBMECNE.等腰三角形（提示：取

AC

中點H

，連接

FHEH

）AGD是直角三角形證明：如圖1-14e接BD

，取

的中點H

，連接

HE.0000F是的中點，，HF

AB.HFEBGE.1同理，HE∥CDHE2HEFEFCABCDHEHFEHEF.，BGEAFG.AGF等邊三角形.AFFG,GFFDFGDFDG30

0

，90

0

，即AGD是角三角形點評例是用三角形中位線的性，將相等的線段縮小一半放在了新的圖形中，減半的線段仍然相等。例7如圖1-15知ABC中ABACCE是AB

邊上的中線，延長AB到，使BDAB，證：解析

CD.證法一：如圖1-15（長CE到點FEF,連BF.

，使得點是A的中點，BE.AE,FE,EBF,EBFABACABCACBACBDBC.DBCFBCDBCCDCFCE.0000證法二：如圖1-15（長EHCE,連接.

CE

到點，得EA中點BE.EHECAEHCEBBEBEC.CBEHAE又ABBCACABBCACAHCAB,CBDBD,AC.ACBD,DBCBC,DBC。DC證法三：如圖1-15（長

BC

到點F

，使得，接AF.BEAF.ABAC,ACB.180CBDFCACBDACAB,ACCB,FCACBDAC,≌CBDAF1CEAF,21CD,即CD2證法四：如圖1-15（

CD

中點

，連接

BF點為D中點，1FBAC,FB.2ACFB.ACABC又BF∥,ACBFBC.EBCEBCFBCCEBCFBCE.1CFCD21CE即CDCE.2證法五：如圖1-15（長AC到，得

，連接

BF.AFACAFABF≌ACDBFE是B中點，ABF的中位11BF22CDCE證法六：如圖1-15（

AC

中點

，連接

BF與D與D點為AD中,CD，FB.,ACB,即EBC點為A中點點為AC中點FCEBEBFC,EBC,EBCFCBCEBFFBCD,CECD,即CD.點評例是道多解題，思路很寬利用中點作中線、倍長中線、中位線等輔助線是常用的解題方法。例8問題1：圖（角ABC中，點D是AB邊中點，

AEBC,BFAC

，垂足分別為點E、F、BF交于點接、DE

的為.問題：圖1-16（角ABC中

CB

，點D是AB邊的中點點M三角形ABC的部，且

MACMBC

過點M分別作

MEMFAC

,足分別為點EF，接DE、，證：DE.問題3如圖1-16（c將上面問題2中的條CB，其他條件不變，試探究之的量關系，并證明你的結.解析問題

k

的值為1.問題證明：如圖1-16（）CBCACAB.MACMBCCABCBA即MBA.MEBC,MFAC垂分別點、F，AFMBEM./AFMBEM,BEMAF.點D是邊的點，.DAF,BEAF,問題

DEDF證明：如圖1-16e）示，分別取AMBM的點G、，連接DGFG、、點D、、H分別是AB、、的中點，DG∥BM,DH∥,DG

1BM,DHAM.2四邊形DHMG是平行四DGM.MEBCMF垂分別為點、F.FG

11AMBH.22FGEHGAFGFA.FGM,EHMFAMEBM,EHM,即DGFDHEEHDGEHDDGFHD≌DEDF小試牛刀小試如圖在等腰直角三角形ABC中

，為AC上中點，過D點作DEDF,交AB點，交BC于F若AE=4FC=3，求EF的。小試如圖1-18，在正方形ABCD中F是AB點，連接，作DE交BC于，，點E交CF于，求證：AM=AD。小試如圖1-19所，AM證：。

DAE

M是BE的點AB=AC，AD=AE，求小試如圖所，等腰梯形ABCD中

AB∥CD

，

ADBC

，

AC

與BD

交于點，

AOB60

，

P、R

分別是

OA

的中點，求證：是正三角形。小試如圖1-21所

ABC

中

EBC邊中點證：M、Q、M、Q、MNQABD