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廈門大學(xué)《高等代數(shù)》課程試卷數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院全部系2004年級各專業(yè)主考教師:林鷺、杜妮試卷種類:(A卷)注意:全部答案請寫在答題紙上一選擇題(7題×4分)1.設(shè)n階實(shí)對稱矩陣A是正交矩陣,則___。A。A=I;B。A與I相似;C.A2I;D。A與I合同.2.以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是___。A。A、B為n階實(shí)對稱矩陣,若存在n階可逆方陣C,使得CACB,則A與B合同;B.A為n階實(shí)對稱矩陣,且對任意n維向量x,都有xAx0,則A=0;兩個(gè)n階實(shí)對稱矩陣合同的充分必需條件是它們有同樣的秩;實(shí)對稱矩陣的秩r和符號差s擁有同樣的奇偶性.3.設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣,則以下條件中有___個(gè)必保證A為負(fù)定。①A的正慣性指數(shù)=0;②A的全部序次主子式〈0;③A的全部特點(diǎn)值〈0;④對任意非零向量x,都有xAx0.A。1B。2C。3D.44.以下表達(dá)中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是___。A.A為可逆矩陣,則A2必是正定矩陣;B。A為正定矩陣,則存在可逆矩陣Q,使AQQ;C.A為正定矩陣,則A的全部對角元必大于零;D.A為正定矩陣,則A必正交相似于對角矩陣。5.設(shè)n階實(shí)對稱矩陣A的特點(diǎn)值為1,2,,n,則當(dāng)t___時(shí),AtI為正定矩陣。A。min{1,2,,n}B.min{1,2,,n};C.max{1,2,,n};D.max{1,2,,n}。16.設(shè)是歐氏空間V的線性變換,則以下命題中___不能夠作為是正交變換的等價(jià)命題.A.在某一組基下表示矩陣是正交陣;B。1*;C.保積同構(gòu);D.保持距離不變。7.設(shè)是歐氏空間V的自陪同算子,則以下命題中正確的有___個(gè).①在V的某組基下表示矩陣是對角陣;②的特點(diǎn)值模為1;③的屬于不同樣特點(diǎn)值的特點(diǎn)向量必正交;④x,yV,((x),y)((y),x)。A.1;B.2;C。3;D。4。二填空題(7題×4分)1.n階實(shí)對稱矩陣按合同分類,共有___類;而n階對稱正交矩陣按相似分類,共有___類。1111012.設(shè)A1,B1,C11,D10是R上3階方陣。則在B,C,2222D中,___與A正交相似,___與A合同。103.設(shè)Aaijnn為n階正交矩陣,且a111,則矩陣方程Ax0
的解x=___。4.R13中,定義內(nèi)積為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積,則向量(1,2,2),(1,0,1)的夾角是___,距離是___。5.設(shè)1,2,3,4是歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,V1L(1,2),此中123,2124,則___是V1的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.12346.在R14中,與矩陣A2345的每個(gè)行向量都正交的全體向量所組成的子空間W的維數(shù)為___.34567.設(shè)1,2,,n是n維歐氏空間V的一組基,關(guān)于這組基的胸襟矩陣G,V上線性變換在這組基下的矩陣為A,則的陪同算子*在這組基下的矩陣是___,進(jìn)而為自陪同算子的充分必需條件是___。2三(12分)已知二次型f(x,y,z)(x2y2z2)2xy2xz2yz。1.請寫出該二次型的相伴矩陣;2.取什么值時(shí),f是正定的?3.當(dāng)=1時(shí),將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)型并求出相應(yīng)的非退化線性替代。四(12分)設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,證明:存在正交矩陣T,使得T1ATB的充分必需條件是A,B有同樣的特征值。(10分)設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,且B是正定的。若BA的特點(diǎn)值都大于0,證明A是正定矩陣。(10分)設(shè)是n維歐氏空間V上的正交變換,令V1
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