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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,有下列說(shuō)法:(1)四面體EBCD的體積有最大值和最小值;(2)存在某個(gè)位置,使得;(3)設(shè)二面角的平面角為,則;(4)AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓.其中,正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球,3個(gè)白球,且每種顏色的三個(gè)球均按,,編號(hào),現(xiàn)從中摸出3個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別),則恰好不同時(shí)包含字母,,的概率為()A. B. C. D.3.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.4.已知全集,集合,則()A. B. C. D.5.若點(diǎn)x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-36.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.7.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.158.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.79.圓錐底面半徑為,高為,是一條母線,點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是()A. B. C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.6311.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.12.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn),若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____14.已知為拋物線:的焦點(diǎn),過(guò)作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點(diǎn),直線與交于、兩點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_________.15.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)16.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.18.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的面積.19.(12分)語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)設(shè),求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求實(shí)數(shù)的值.21.(12分)設(shè)函數(shù),().(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求實(shí)數(shù)a、m的值;(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根?證明你的結(jié)論.22.(10分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
解:對(duì)于(1),當(dāng)CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方時(shí),E到平面BCD的距離最大,當(dāng)CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方時(shí),E到平面BCD的距離最小,∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值,故(1)正確;對(duì)于(2),連接DE,若存在某個(gè)位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,則AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,進(jìn)一步可得AE=DE,此時(shí)E﹣ABD為正三棱錐,故(2)正確;對(duì)于(3),取AB中點(diǎn)O,連接DO,EO,則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角,為θ,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正確;對(duì)于(4)AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,P到BC的距離為:dP﹣BC,因?yàn)椋?,所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓.(4)正確.故選:C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征,以幾何體為載體,考查相關(guān)的空間關(guān)系,在解題的過(guò)程中,需要認(rèn)真分析,得到結(jié)果,注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.2.B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個(gè)球中摸出3個(gè)球,則基本事件總數(shù)為(個(gè)),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識(shí),解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對(duì)稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過(guò)平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時(shí),.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.4.D【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問(wèn)題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
畫(huà)出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【詳解】畫(huà)出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問(wèn)題,即把y+1x-26.D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱,排除AB,計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.7.B【解析】,∴,選B.8.C【解析】
根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得:,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過(guò)程.9.C【解析】分析:作出圖形,判斷軸截面的三角形的形狀,然后轉(zhuǎn)化求解的位置,推出結(jié)果即可.詳解:圓錐底面半徑為,高為2,是一條母線,點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),在底面的射影為;,,過(guò)的軸截面如圖:,過(guò)作于,則,在底面圓周,選擇,使得,則到的距離的最大值為3,故選:C點(diǎn)睛:本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力,解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形,屬中檔題.10.B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.11.A【解析】
對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計(jì)算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)椋詚的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計(jì)算過(guò)程要注意.12.C【解析】
如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,計(jì)算,,,,根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將不等式去掉對(duì)數(shù)符號(hào),再依據(jù)分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問(wèn)題,進(jìn)而求得的取值范圍。【詳解】由得,兩邊同除以,得到,,,設(shè),,由函數(shù)在上遞減,所以,故實(shí)數(shù)的取值范圍是?!军c(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問(wèn)題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。14.16.【解析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點(diǎn)由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴,同理∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為16點(diǎn)睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,可以使運(yùn)算化繁為簡(jiǎn).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問(wèn)題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.15.y=2x【解析】試題分析:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=ex-1+x.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)y=f(x),則當(dāng)x<0時(shí),求函數(shù)的解析式”.有如下結(jié)論:若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)的解析式為y=-f(x);若f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)的解析式為y=-f(-x).16.【解析】
算法的功能是求的值,根據(jù)輸出的值,分別求出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的值即可得解.【詳解】解:由程序語(yǔ)句知:算法的功能是求的值,當(dāng)時(shí),,可得:,或(舍去);當(dāng)時(shí),,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語(yǔ)句,根據(jù)語(yǔ)句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析:(1)先由平面幾何知識(shí)證明,再由線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先由面面垂直性質(zhì)定理得平面,則,再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.試題解析:證明:(1)在平面內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,,所以.又因?yàn)槠矫鍭BC,平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面平面BCD=BD,平面BCD,,所以平面.因?yàn)槠矫?,所?又AB⊥AD,,平面ABC,平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因?yàn)锳C平面ABC,所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型:(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.18.(1)(2)【解析】
(1)先消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯(lián)立,得,求得弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)由,得,設(shè),兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極分別為,,則,,所以,又點(diǎn)到直線的距離所以【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19.(1)多2350人;(2)有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】
(1)根據(jù)題意,知100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,估計(jì)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有人.則,∴估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.(2)由題可知,,∴有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.20.(1)(2)【解析】
(1)把f(x)去絕對(duì)值寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,分類討論,分別求得解集,綜合可得結(jié)論.(2)把f(x)去絕對(duì)值寫(xiě)成分段函數(shù),畫(huà)出f(x)的圖像,找出利用條件求得a的值.【詳解】(1)時(shí),.當(dāng)時(shí),即為,解得.當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),,解得.綜上,的解集為.(2).,由的圖象知,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法及含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問(wèn)題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題21.(1),;(2);(3)不能,證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;(2)構(gòu)造,則原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立,即時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)求最值即可,值得注意的是,可以通過(guò)
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