2022年湖北省孝感市文昌中學(xué)高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.32.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.3.已知底面為邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為的直四棱柱中,是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是()①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線,則該曲線的長(zhǎng)度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為.A. B. C. D.4.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.5.已知,則“直線與直線垂直”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知定義在R上的函數(shù)(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.9.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.2510.拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn),使得是的中點(diǎn),則直線的斜率為()A. B. C.1 D.11.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為_(kāi)_____.14.設(shè)滿足約束條件且的最小值為7,則=_________.15.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.16.四面體中,底面,,,則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知圓的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實(shí)數(shù)的值.18.(12分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,過(guò)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過(guò)分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.20.(12分)如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.(1)證明:平面;(2)設(shè)為棱的中點(diǎn),當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí),求二面角的余弦值.21.(12分)已知,均為正項(xiàng)數(shù)列,其前項(xiàng)和分別為,,且,,,當(dāng),時(shí),,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明:對(duì);(2)若函數(shù)在上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳?yàn)椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡(jiǎn)得,即令,所以,故選C?!军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。2.D【解析】

討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.3.C【解析】

①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長(zhǎng)公式,可得結(jié)論;②當(dāng)在(或時(shí),與面所成角(或的正切值為最小,當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng),即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和.【詳解】如圖:①錯(cuò)誤,因?yàn)?,與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,長(zhǎng)度為;②正確,因?yàn)槊婷妫渣c(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)在(或)時(shí),與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸?duì)角線的交點(diǎn)),當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為,,,所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之,當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),屬于難題.4.B【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)?,正確;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域?yàn)?,錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

由兩直線垂直求得則或,再根據(jù)充要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,“直線與直線垂直”則,解得或,所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系,及必要不充分條件的判定,其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值,同時(shí)熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大?。?.B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值,顯然時(shí),,時(shí),,因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.8.B【解析】

由可得,所以,故選B.9.C【解析】

通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時(shí),,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)和系數(shù)問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10.B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,由題意得出,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合可求得的值,由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn),設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,由于點(diǎn)是的中點(diǎn),則,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得,整理得,由韋達(dá)定理得,得,,解得,因此,直線的斜率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求解,考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.11.C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.12.D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問(wèn)題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路,有著非凡的功效.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出雙曲線的漸近線方程,求出準(zhǔn)線方程,求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo),然后求解面積.【詳解】解:雙曲線:雙曲線中,,,則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為,雙曲線的漸近線方程為:,可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo),,,,則三角形的面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14.3【解析】

根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為,對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)時(shí),的截距沒(méi)有最小值,即z沒(méi)有最小值;當(dāng)時(shí),的截距沒(méi)有最大值,即z沒(méi)有最小值,綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域如下:由,可得出交點(diǎn),由可得,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)即時(shí),由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);當(dāng)即時(shí),由可行域可知的截距沒(méi)有最小值,即z沒(méi)有最小值;當(dāng)即時(shí),根據(jù)可行域可知的截距沒(méi)有最大值,即z沒(méi)有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題,約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.15.2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,即,又?所以,即,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.16.【解析】

由題意畫(huà)出圖形,補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,求其對(duì)角線長(zhǎng),可得四面體外接球的半徑,則表面積可求.【詳解】解:如圖,在四面體中,底面,,,可得,補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,則過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1,1,,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為,則三棱錐的外接球的半徑為1.其表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,補(bǔ)形是關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.【解析】

將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,直線的參數(shù)方程化為普通方程,再根據(jù)直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由,得,,即圓的方程為,又由消,得,直線與圓相切,,.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.18.(1)見(jiàn)解析(2)最小值為1.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義,判斷出的軌跡為拋物線,并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo).寫(xiě)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo),并由此判斷出始終在直線上,且.(2)設(shè)直線的傾斜角為,求得的表達(dá)式,求得的表達(dá)式,由此求得四邊形的面積的表達(dá)式進(jìn)而求得四邊形的面積的最小值.【詳解】(1)∵動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,∴動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)和定直線的距離相等,∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,∴軌跡的方程為:,設(shè),∴直線的方程為:,即:①,同理,直線的方程為:②,由①②可得:,直線方程為:,聯(lián)立可得:,,∴點(diǎn)始終在直線上且;(2)設(shè)直線的傾斜角為,由(1)可得:,,∴四邊形的面積為:,當(dāng)且僅當(dāng)或,即時(shí)取等號(hào),∴四邊形的面積的最小值為1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線中四邊形面積的最值的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19.(1)直線l的普通方程為x+y-4=0.曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】

(1)將直線l參數(shù)方程中的消去,即可得直線l的普通方程,對(duì)曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以,利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的距離,再求出的弦長(zhǎng),從而得出△MON的面積.【詳解】解:(1)由題意有,得,x+y=4,直線l的普通方程為x+y-4=0.因?yàn)棣眩?sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,兩邊同時(shí)乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因?yàn)?,所以x2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原點(diǎn)O到直線l的距離直線l過(guò)圓C的圓心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面積S=|MN|×d=4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式,還考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí).20.(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面,從而得到,利用勾股定理得到,利用線面垂直的判定定理證得平面;(2)設(shè),利用椎體的體積公式求得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得時(shí),四面體的體積取得最大值,之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)椋矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)椋云矫?(2)解:設(shè),則,四面體的體積.,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),四面體的體積取得最大值.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,同理可得平面的一個(gè)法向量為,則.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定,椎體的體積,二面角的求法,在解題的過(guò)程中,注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.21.(1),(2)【解析】

(1),所,兩式相減,即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式,由,整理得,得到,即可求解通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知,,即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)因?yàn)?,所,兩式相減,整理得,當(dāng)時(shí),,解得,所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列,即,因?yàn)椋淼?,又因?yàn)椋?,所以,即,因?yàn)?,所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,所以;(2)由(1)可知,,,

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