【課件】第四章數(shù)列求和微專題課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第四章

數(shù)列求和微專題2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(錯(cuò)位相減法)1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(倒序相加法)一、公式法3.兩類特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和(二次冪和、三次冪和)例1

數(shù)列{an}滿足an=3n-20，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值.典例分析通項(xiàng)公式為分式，可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式拆項(xiàng).二、裂項(xiàng)相消法??典例分析例2

已知數(shù)列

是公比為4的等比數(shù)列，且滿足a2,a4,a7成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.(1)使用條件:

①通項(xiàng)公式是形如an·bn的形式,

②數(shù)列{an}和{bn}中一個(gè)是等差數(shù)列,一個(gè)是等比數(shù)列;(2)所乘系數(shù):在等式兩邊同乘的是等比數(shù)列的公比;(3)書(shū)寫格式:兩個(gè)等式中次數(shù)一樣的項(xiàng)對(duì)齊;(4)差的特點(diǎn):相減后的差共有n+1項(xiàng),去掉前后兩項(xiàng),

中間的n-1項(xiàng)一定是等比數(shù)列.三、錯(cuò)位相減法典例分析例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，Sn=an+1-2，求數(shù)列{(2n+1)an}的前n項(xiàng)和Tn.(1)一般情況下形如cn＝an±bn；(2)數(shù)列{an}與{bn}是等差數(shù)列,或等比數(shù)列,或是其他已知求和方法的數(shù)列；(3)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，分別利用已知的求和方法；

如等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.四、分組求和法典例分析例4已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+2(n≥2)，a1=1，若bn=3an+2n-1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.(1)倒序相加法是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1＋an).(2)如果一個(gè)數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求其和可以用倒序相加法.五、倒序相加法典例分析例5已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(1-x)=1，若數(shù)列{an}滿足

，求數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和.六、絕對(duì)值型求和實(shí)際就是一個(gè)去絕對(duì)值的過(guò)程,絕對(duì)值的臨界值就是分類討論的點(diǎn).已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.思路：由an≥0,得n≤n0(不妨設(shè)為n0整數(shù))當(dāng)1≤n≤n0時(shí),an≥0；而當(dāng)n≥n0+1時(shí),an≤0.當(dāng)1≤n≤n0時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn當(dāng)n≥n0+1時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an0|+|an0+1|+…+|an|=(a1+a2+…+an0)-(an0+1+…+an)=Sn0-(Sn-Sn0)=2Sn0-Sn綜上，典例分析例6已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=14n-n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.2.適用于通項(xiàng)中含有(－1)n的數(shù)列[擺動(dòng)數(shù)列]

，形如an=(-1)nf(n)，可采用兩項(xiàng)合并求解．3.涉及奇偶問(wèn)題，則需要討論n的奇偶性，分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行求和，最后綜合.七、并項(xiàng)求和法1.求

一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．典例分析例7求12-22+32-42+…+(-1)n-1n2.1.求數(shù)列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n項(xiàng)和.這些奇數(shù)組成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，故該數(shù)列的前n項(xiàng)和鞏固練習(xí)

解:(1)當(dāng)x＝±1時(shí)，Sn＝4n.綜上可知，(2)當(dāng)x≠±1時(shí)，鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)4.求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(-1＋3)＋(-5＋7)＋(-9＋11)＋…＋[(-2n＋5)＋(2n-3)]＋(-2n＋1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∴Sn＝(－1)n·n(n∈N*).鞏固練習(xí)5.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋…(n－1)xn-1＋

nxn，xSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋……＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

……………＋

xn－nxn＋1鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)7.已知等差數(shù)列{an}中,公差d=2,a2是a1和a4的等比中項(xiàng).設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.1.公式法(2)四類特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和4.分組求和法(1)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；(2)數(shù)列{an}與{bn}是已知求和方法的數(shù)列；(1)一般情況下形如cn＝an±bn；課堂小結(jié)求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法3.錯(cuò)位相減法2.裂項(xiàng)相消法(1)形如cn＝an·bn,

一個(gè)是等差數(shù)列,一個(gè)是等比數(shù)列;

(2)步驟：乘公比，錯(cuò)位減(1)通項(xiàng)公式為分式，可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式拆項(xiàng)；(2)記住常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式(2)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)和相等,則用倒序相加法求和.5.倒序相加法(1)適用于通項(xiàng)中含有(－1