52-復數(shù)的四則運算-課件(北師大選修2-2)

其中a叫做復數(shù)的

、b叫做復數(shù)的

.全體復數(shù)集記為

.1.對虛數(shù)單位i

的規(guī)定

①i2=-1;②i可以與實數(shù)一起進行四則運算,并且加、減，乘、除法運算律不變.2.

我們把形如a+bi(其中

)的數(shù)

a、bR稱為復數(shù),

記作：z=a+bi實部虛部C復習引入3.

兩個復數(shù)相等設z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),則z1=z2

,即實部等于實部,虛部等于虛部.特別地，a+bi=0

.a=b=0注意:一般地,兩個復數(shù)只能說相等或不相等,而不能比較大小.4.復數(shù)的模已知復數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．問題1：多項式的加減實質(zhì)是合并同類項，類比想一想復數(shù)如何加減．提示：兩個復數(shù)相加(減)就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.問題2：類比向量的加法，復數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律嗎？提示：滿足．1．加(減)法法則設a＋bi與c＋di(a，b，c，d∈R)是任意復數(shù)，則：(a＋bi)±(c＋di)＝

.2．運算律對任意的z1，z2，z3∈C，有

z1＋z2＝

(交換律)；

(z1＋z2)＋z3＝

(結(jié)合律).(a±c)＋(b±d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)例1.計算解:計算：(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)練習問題1：復數(shù)的加減類似于多項式加減，試想：復數(shù)相乘是否類似兩多項式相乘？提示：是．問題2：復數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法的分配律？提示：滿足．問題3：試舉例驗證復數(shù)乘法的交換律．提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.復數(shù)的乘法(1)定義：(a＋bi)(c＋di)＝

.(2)運算律：①對任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i交換律z1·z2＝

結(jié)合律(z1·z2)·z3＝

乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝

z2·z1z1·(z2·z3)

z1z2＋z1z3②復數(shù)的乘方：任意復數(shù)z，z1，z2和正整數(shù)m，n，有zmzn＝

，(zm)n＝

，(z1z2)n＝

.zm＋nzmn例2.計算解:練習觀察下列三組復數(shù)(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i；(3)z1＝4i；z2＝－4i.問題1：每組復數(shù)中的z1與z2有什么關系？提示：實部相等，虛部互為相反數(shù)．問題2：試計算每組中的z1z2，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？提示：z1與z2的積等于z1的實部與虛部的平方和．實部虛部共軛復數(shù)a－bi|z|2問題1：根據(jù)乘法運算法則和復數(shù)相等的概念，請用a，b，c，d表示出x，y.問題2：運用上述方法求兩個復數(shù)的商非常繁瑣，有更簡便的方法求兩個復數(shù)的商嗎？提示：可以用分母的共軛復數(shù)同乘分子與分母后，再進行運算．例5.計算解:[一點通]

（1）復數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項式的乘法法則進行，注意把i2化成－1，進行最后結(jié)果的化簡；復數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)，并進行化簡．

（2）im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期為4，則：

①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；

②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．1．(2011·浙江高考)若復數(shù)z＝1＋i，i為虛數(shù)單位，則(1＋z)·z＝ (

)A．1＋3i

B．3＋3iC．3－i D．3解析：∵(1＋z)·z＝z＋z2＝1＋i＋(1＋i)2＝1＋i＋2i＝1＋3i.答案：A2．(2012·山東高考)若復數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為 (

)A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i答案：

A3.若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求實數(shù)x，y的值．解：(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝24－8i－6i－2＋28－