第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第九節(jié)習(xí)題8-f(x,y)(6xx2)(4yy2) f(x,y)e2x(xy22y)解 fx(62x)(4yy2)解方fy(6xx2)(42y)

x0,x x x x y0,y

y

y

y 于是得駐點(diǎn)(0,0),(0,4),(32),(6,0),(6,4)因 fxx(x,y)2(4yy2) fxy(x,y)4(3x)(2y)fyy(x,y)2(6xx2)由判定極值的充分條件知在點(diǎn)(0,0)處,Afxx(0,0)0Bfxy(0,0)24Cfyy(0,0)0ACB22420,f(0,0)不是極值在點(diǎn)(0,4)處,Afxx(0,4)0Bfxy(0,4)24Cfyy(0,4)0ACB22420,f(0,4)不是極值在點(diǎn)(3,2)處Afxx(3,2)8,Bfxy(32)0Cfyy(3,2)18ACB21440,故函數(shù)在點(diǎn)(3,2)處取得極大值,f(32)36在點(diǎn)(6,0)Afxx(6,0)0,Bfxy(6,0)24Cfyy(6,0)0ACB22420,f(6,0)不是極值在點(diǎn)(6,4)處,Afxx(6,4)0Bfxy(6,4)24Cfyy(6,4)0ACB22420,f(6,4)不是極值f(xy僅有一個(gè)極大值點(diǎn)(3,2),f(3,2)36注意本題常見錯(cuò)誤之一是:將多元函數(shù)取得極值的必要條件誤認(rèn)為充分條件即認(rèn)為函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn).事實(shí)上,ACB20時(shí),才能肯定駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn).錯(cuò)誤之二是:(3,2).錯(cuò)誤之三是:同一個(gè)方程的根湊成駐點(diǎn),例如,由式(62x)(4yy20x3,y0y4于是函數(shù)有駐點(diǎn)(30)及(3,4)fxe2x(2x2y24y1) 解方fye2x(2y2)

求得駐點(diǎn)(,1)2因 fxx(x,y)4e2x(xy22y1),fxy(x,y)4e2x(yfyy(x,y)2e2x

A fxx(2,1)2e0,Bfxy(2,1)0,Cfyy(2,1)2eACB24e20f(由判定極值的充分條件知,在點(diǎn)(1,1)處函數(shù)取得極小 11)ef(

zx2y2,xy1 ux2y2z,x2y2z21 ux2y2z2,xyz1,xyz0解 法 條件xy1可表示成ybbx,代入zx2y2,則問題 zx2bbx)2的極值a 2x2(b

x)a

)2(1a

)x

x a20,

d2d2

2(1a2)0根據(jù)一元函數(shù)取得極值的充分條件知xa2b2為極小值點(diǎn), a2b2,a2b2zxyab1下的極小值點(diǎn), 2

2 z(a2b2法 作日函

(baa2b2

a2L(x,y)x2y2(xy1) 令L2x L2y bbxy 由式(1)得2x,由式(2)得2y,a將式(4)代入式(3),

yax b

x a2 由此得到點(diǎn)a2b2a2b2zxyab1下唯一可能的極值點(diǎn).xy1zx2y2x的一元函數(shù),再應(yīng)用一 元函數(shù)極值的充分條件可知,a2b2a2b2)是函數(shù)zxy在條件xy

1下的極小值點(diǎn),a2b2 作日函L(x,y,z)x2y2z(x2y2z21)令Lx12x L22y x2y2z2 由式(5),(6),7)x1y1z1,代入式(8) 3或3 當(dāng)3時(shí),x1y2z2 當(dāng)3時(shí),x1y2z2 x2y2z21zz(xy),將目標(biāo)函ux2y2z(xyF(xy應(yīng)用二元函數(shù)極值的充分條件判斷可知,(1 ,,是函數(shù)ux2y2zxyz1下的極小值點(diǎn),3 3;點(diǎn)122是函數(shù)ux2y2zx2y2z21下的極大值點(diǎn),( , 3

xyz由條件

代入uxyz,則問題化為xyz z 一元函數(shù)ux 的極值 du2x12(12x2)4x10,x1, 444x1為極小值點(diǎn).由此得到點(diǎn)111 4 ux2y2z2在條件xyz1,xyz0下的極小值點(diǎn),極小值為z(1)2(1)2(1)23

f(xyx22xy3y2,DA(1,1B(2,1C(1,2)f(xyx2y2Dx24y24所圍區(qū)域解 由

fx(x,y)2x2yf(x,y)2x6y求得駐點(diǎn)(00),顯然(0,0D的內(nèi)部,f(xyD上的最值只在D的邊界上取得.AB:y11x2)上,y1f(xyf(x,y)x22x3(1x2)f(xy2x20,x1f(xyx22x3x1x2處的值分別為2,11.BC:y1x

(1x2)上,y1x5f(xy f(x,y)2x2

(1x2)f(xy4x0,x0.f(xy2x225x1,x0,x2 別為9,25,113AC:x11y2)上,x1f(xyf(x,y)12y3y2(1y2)f(xy26y0,y3

(舍去f(xy12y3y2y1y2注意如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),D內(nèi)可微分,且只有有限個(gè)駐點(diǎn),D上的最值的一般方法是,D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值,再考慮函數(shù)在D的邊界上的最大值和最小值,把它們加以比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值. 由 f(x,y)2yy求得駐點(diǎn)(0,0),顯然(0,0)D的內(nèi)部在點(diǎn)(0,0)處,f(00)0x24y24上x244y2f(xyf(xy45f(xy10y0,y0

(1y1)f(xy45y2y1,y0,y1處的值分別為1,4,1,f(xy在邊界上的最大值為4,最小值為1.將邊界上最大值和最小值與駐點(diǎn)(0,0處的值比較,f(xyD上最大值為4,最小值為1.從斜邊之長為l的一切直角三角形中,求有最大周長的直角三角形解xy,Sxy (0xl,0yl)x2y2l2條件下的條件極值問題作日函

L(x,y)xyl(x2y2l2)令Lx12x

12y 由式(9),(10)xy

1,代入式(11),解得 ,12xyl222(l,l是唯一的駐點(diǎn),根據(jù)問題本身可知,222定存在,因此在斜邊之長為l的一切直角三角形中,周長最大的是等腰直角三角形,其直角邊為l.2x2y24

,

y4的距離最短和最長xy解p(xy為橢圓上任一點(diǎn)xy

,1條件下的條件極值問題2x24作日函令

L(x,y)(xy4)2( y21)xx Lx2(xy4)

x Ly2(xy4)2y y2x2y2

由式(12),(13)可得x4y,代入式(14),解得y 或y 545于是x4或x ,得兩駐點(diǎn) )和545455455

, )55由點(diǎn) )4141 41545由點(diǎn) , )154545154 45154d 22245154515所以距離最短的點(diǎn)為 ),距離最長的點(diǎn)為 ,45154515將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)得一圓柱體,問矩形的邊長各為多少時(shí),解x,px,px旋轉(zhuǎn),Vπx2(px)由dV2πx(px)πx2πx(2p3x)0,求得駐點(diǎn)為x2p. 由于駐點(diǎn)唯一,由題意又可知這種圓柱體一定有最大值,pp時(shí),繞短邊旋轉(zhuǎn)所得圓柱體體積最大 zx2y2xyz1之間的最短距離解p(xyz是旋轉(zhuǎn)拋物面上任一點(diǎn),p到平面的距離xyxyzzx2y2條件下的條件極值問題作日函令

(xyz L(x,y,z) (x3

z)L2(xyz1)2x 3322LL

(xyz1)2y L2(xyz1) zx2由式(15),16)xy,由式(15),17)x1,代入式(18),z1

于是11(,,)是唯一的駐點(diǎn),根據(jù)問題本身可知,旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的223離一定存在,且在駐點(diǎn)處取得,最短距離為d(1,1,1) 322 解設(shè)球面方程為x2y2z2a2 (x,y,z)是它的內(nèi)接長方體在第一卦限的一個(gè)頂點(diǎn),2x2y2z,V2x2y2z (x0,y0,z0)作日函L(x,y,z)8xyz(x2y2z2a2)令Lx8yz2x L8xz2y Ly8xy2z x2y2z2 由式(19),(20),(21可看出xyz具有輪換對(duì)稱性,可知xyz并解得43xyz,代入式(22),得 ,故(a43

a,a為唯一駐點(diǎn)3 33由題意可知,滿足題意的長方體必有最大體積,所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為時(shí),3注意用日乘數(shù)法求解條件極值問題時(shí),方法是固定的,難點(diǎn)常在于解聯(lián)立方以求得駐點(diǎn)的坐標(biāo),這時(shí)我們常從以下兩方面入手:①從方中最簡的方程出發(fā),逐步采用代入法或消去法求解②注意方變量之間是否具有輪換對(duì)稱性,如果有,則可由此設(shè)法尋找解方的捷徑,所謂輪換對(duì)稱性,即函數(shù)f(x,y,z)滿足f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)z2xyxy4的最短距離 設(shè)p(x,y,z)是曲面z2xyxy4上任一點(diǎn),則原點(diǎn)到p的距離x2y2d ,為簡化計(jì)算,dd2xx2y2z2xyxy4下的最小值問題,所得解與原問題同解.作日函數(shù)L(x,y,z)x2y2z2(xyxy4z2)令Lx2xy L2yx Ly2z2z z2xyxy 由式(25)1,代入式(23),(24)x1y1,代入式(26)z1z1故(1,1,1)和(1,1,1)為駐點(diǎn),由題意可知,所求最短距離存在,且在駐點(diǎn)處取得,d(1,1,1)d(1,1,1)3.注 在解此類問題時(shí)一定要注意簡化目標(biāo)函數(shù).例如本例應(yīng)x2y2d 在條件z2xyxy4下的最小值,若直接x2y224cm的長方形鐵板,把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽.問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解xcm,傾角（即腰與底邊所夾銳角）為,則梯形斷面242x,上底長為242x2xcos,xsin,所以斷面面積為A1(242x2xcos242x