函數(shù)概念的演變及其對中學函數(shù)教學的啟示（初中版）

函數(shù)概念的演變及其對中學函數(shù)教學的啟示

賈隨軍西北師范大學教育學院jiasuijun@163.com函數(shù)概念的演變及其對

中學函數(shù)教學的啟示引言對函數(shù)概念演變的分析對中學函數(shù)教學的啟示3中學數(shù)學的中心數(shù)學的核心重要的模型函數(shù)引言

引言

函數(shù)為數(shù)學的靈魂，數(shù)學中的許多概念由函數(shù)派生，由函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)。（F．klein，1849-1925）函數(shù)是描述運動變化的重要模型引言

20世紀以來，世界各國的中學數(shù)學教學內(nèi)容從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心，1908年，克萊茵首次提出中學數(shù)學應(yīng)當“以函數(shù)為綱”，到了20世紀50年代，函數(shù)在我國中學數(shù)學課程中取得核心地位。

引言

函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學課程的始終……

引言

引言

本研究依據(jù)歷史發(fā)生原理（即個體對數(shù)學概念的認知發(fā)展過程與該概念的歷史發(fā)展過程相似）通過對函數(shù)概念演變歷史的分析獲取函數(shù)概念的教學啟示。對函數(shù)概念演變的分析

◆函數(shù)的早期形態(tài)

◆函數(shù)是曲線

◆函數(shù)是解析式

◆函數(shù)是對應(yīng)

函數(shù)的早期形態(tài)

古希臘根據(jù)弧的度數(shù)確定弦長的正弦表蘇格蘭JohnNapier對數(shù)巴比倫60進制的平方表、立方表、平方根表、普林頓322數(shù)表等各種數(shù)表奧雷斯姆(N．Oresme)運用圖線表示的速率與時間之間的關(guān)系

公元前1700年左右，現(xiàn)藏于哥倫比亞大學稀有圖書和手稿圖書館。函數(shù)的早期形態(tài)

函數(shù)是曲線

行星的運動月球的運動地球的運動拋射體的運動單擺的運動

數(shù)學從運動的研究中引出了一個基本概念——函數(shù)萊布尼茲（Leibniz)的函數(shù)概念：任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量——例如切線、法線、次切線的長度以及縱坐標等。

函數(shù)與曲線緊密相關(guān)。函數(shù)是曲線評價伽利略證明：把物體斜拋向空中時，它的路徑是一個拋物線。梅森（Mersenne)把旋輪線（cycloid）定義為當車輪沿地面滾動時輪上一個頂點的軌跡。羅伯瓦(Roberval)把正弦曲線定義為旋輪線的伴侶曲線。函數(shù)是曲線在17世紀，函數(shù)是常常被當做曲線來研究的。(曲線是動點的軌跡。)函數(shù)是解析式萊布尼茲（G.W.Leibniz）于1714年用“函數(shù)”一詞表示依賴于一個變量的量。這個函數(shù)“定義”實質(zhì)上指出了函數(shù)就是兩個變量之間的依賴關(guān)系。但在17世紀依賴關(guān)系的表達常常要借助曲線。把函數(shù)看成曲線不利于函數(shù)參與運算，函數(shù)概念必須由幾何形態(tài)走向代數(shù)形態(tài)。函數(shù)是解析式從17世紀末到18世紀，由于分析學的發(fā)展，數(shù)學家對超越函數(shù)有了更為深刻的認識。牛頓、萊布尼茲、歐拉（L.Euler）等數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等超越函數(shù)的冪級數(shù)展式。

數(shù)學家為超越函數(shù)找到了代數(shù)表達函數(shù)是解析式歐拉在1748年出版的《無窮分析引論》（第一卷）中就把函數(shù)定義為由一個變量與一些常量以任何方式形成的解析表達式。他認為一個函數(shù)就是一個解析表達式。雖然18世紀對函數(shù)概念還有一些其他認識，但占統(tǒng)治地位的函數(shù)概念仍然是：函數(shù)是由一個解析式（有限的或無限的）所給出的。函數(shù)是對應(yīng)一個函數(shù)就是一個解析表達式一個函數(shù)對應(yīng)一條連續(xù)曲線后來數(shù)學家發(fā)現(xiàn)即便是簡單函數(shù)也存在著表達式不唯一的情形,如和18世紀后半葉對弦振動問題的討論使部分數(shù)學家接受了函數(shù)在不同的區(qū)域上有不同的表達式的觀點。JeanBaptisteJosephFourier（1768－1830）熱傳導方程求解的需要促使傅立葉建立了其級數(shù)理論函數(shù)是對應(yīng)傅立葉（J.Fourier）把一個“不連續(xù)”的曲線（由不同連續(xù)曲線拼接起來的曲線）用一個表達式表示。函數(shù)是對應(yīng)一個函數(shù)就是一個解析式?一個函數(shù)對應(yīng)一條連續(xù)曲線?函數(shù)概念必須突破解析式的制約。函數(shù)是對應(yīng)函數(shù)代表一系列的值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的，對于無限多個給定的橫坐標x值，有同樣多個的值，所有值要么為正數(shù)，要么為負數(shù)，要么是零，無需假設(shè)這些縱坐標滿足同一法則，它們以任何方式接續(xù)，每一個都好象是單個的量。函數(shù)是對應(yīng)1837年狄里克雷(P.G.Dirichlet)給函數(shù)下了一個定義:如果對于給定區(qū)間上的每一個x的值有唯一的y值同它對應(yīng),那么y就是x的一個函數(shù),至于在整個區(qū)間上y是否按照一種規(guī)律依賴于x,或者y依賴于x是否可用數(shù)學運算來表達,那都是無關(guān)緊要的。函數(shù)是一個解析式函數(shù)是變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)是一條連續(xù)曲線函數(shù)是對應(yīng)函數(shù)是關(guān)系函數(shù)概念演變的主要動力●天文學、物理學的需要促進了具體函數(shù)的產(chǎn)生?！駥\動與變化的研究是函數(shù)一般概念產(chǎn)生的直接原因。函數(shù)是描述運動與變化的重要的數(shù)學模型對中學數(shù)學教學的啟示●挖掘小學教材中的函數(shù)思想●注重從不同角度認識函數(shù)概念●注重對運動、變化的體現(xiàn)與分析●注重函數(shù)與曲線、方程等概念的聯(lián)系與區(qū)別挖掘小學教材中的函數(shù)思想圖、表正比例函數(shù)反比例函數(shù)路程=速度時間總價=單價商品數(shù)量注重從不同角度認識函數(shù)概念變量說幾何觀念圖像表示解析說代數(shù)觀念解析式表示對應(yīng)說