結構力學 第5章 靜定結構位移計算課件

第五章靜定結構位移計算

Chapter5DisplacementCalculation1、概述2、支座移動產生的位移計算3、力的虛設方法4、制造誤差產生的位移計算第六章靜定結構位移計算

Chapter6DisplacementCalculation

5、溫度作用時的計算

6、荷載作用下的位移計算

7、圖乘法

8、線性變形體系的互等定理

1、概述結構位移——結構上的任意點由于各種原因產生的移動。例如：工程結構在荷載作用下就會產生變形，由于變形，結構上各點的位置就會發(fā)生移動。BCAq——線位移——角位移A點位移：AB相對水平位移：CD相對轉角：A,CDBAq

1、概述除了荷載以外，溫度改變、支座移動、制造誤差和材料收縮等因素，都能使結構產生位移。

計算結構位移的目的：●為了校核結構的剛度，保證它在使用過程中不致于發(fā)生過大的變形?！裨谟嬎愠o定結構時，除利用靜力平衡條件外，還必須考慮結構的位移條件，也就是說位移計算是超靜定結構計算的基礎?！?/p>

結構在制作、施工、架設和養(yǎng)護等過程中采取技術措施時，也需要知道結構的位移。

計算所采用的理論——虛功原理

1）復習一下相關概念

●

虛功——力在由其它原因產生的位移上所做的功。其中：——虛功●

虛功原理剛體虛功原理變形體虛功原理

1、概述△11△22△12Fp1AB12Fp2

剛體虛功原理：所有外力所做的虛功等于零，即：虛功原理：虛力原理虛位移原理虛力原理——位移是真的，力是虛設的。用虛設力的辦法來求真實的位移。虛位移原理——力是真的，位移是虛設的。用虛設位移的辦法來求真實的力。變形體虛功原理：所有外力做的虛功=所有內力做的虛功，即：顯然求位移用的是虛功原理中的虛力原理。

顯然支座移動產生的位移、制造誤差產生的位移應該用剛體的虛力原理計算。荷載作用產生的位移、溫度改變產生的位移應該用變形體的虛力原理計算?！裰ё苿赢a生的位移——剛體位移●制造誤差產生的位移——剛體位移●荷載作用產生的位移——變形體位移●溫度改變產生的位移——變形體位移2）靜定結構位移的類型支座移動產生的位移應采用剛體的虛力原理來計算。虛設一個力狀態(tài)，即在結構的A點作用一單位力矩。運用剛體的虛功原理：虛設力狀態(tài)上的所有外力在真實的位移狀態(tài)上所做的虛功應該等于零，有：

得：

2、支座移動產生的位移計算虛設的力狀態(tài)1/L1/LM=1圖示簡支梁B支座往下位移了，求由此產生的A點轉角。真實的位移狀態(tài)

ABLΔ可以得出由支座移動引起的位移計算公式如下：其中：—由虛設力產生的在有支座位移處的支座反力c

—真實的支座位移解：（1）求C點的豎向位移真實的位移狀態(tài)

LABCL/2L/2ab【例題1】圖示三鉸剛架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a，求C點的豎向位移，

和C點的相對轉角。

在C點作用一個豎向單位力，求出FYA和FXB。

2、支座移動產生的位移計算虛設的力狀態(tài)ABCFP=11/21/4真實的位移狀態(tài)

LABCL/2L/2ab虛設的力狀態(tài)ABCM

=101/L（2）求C點的相對轉角真實的位移狀態(tài)

LABCL/2L/2ab

2、支座移動產生的位移計算【例題2】圖示結構發(fā)生了支座移動，求鉸C的豎向位移及其兩側截面的相對轉角。4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真實的位移狀態(tài)

解：（1）求C的豎向位移在C點加豎向單位荷載，求出虛設力狀態(tài)的支座反力，如圖所示。則：BADCFP=102虛設的力狀態(tài)虛設的力狀態(tài)M

=1BADC1/22在C點的兩側截面上加一對單位力矩，求出虛設力狀態(tài)的支座反力，如圖所示，則：（2）求鉸C兩側截面的相對轉角4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真實的位移狀態(tài)

力的大小——一般虛設單位力。力的位置——作用在需要求位移的點及方向上。力的方向——隨意假設，若求出的位移是正的，說明位移與假設的方向一致。若是負的，說明與假設的方向相反。力的性質——求線位移加單位集中力；求轉角加單位力矩；求二點的相對水平或豎向位移加一對相反的單位集中力；求二點相對轉角加一對單位力矩。

3、力的虛設法FP=1CAB求C點豎向位移FP=1CAB求B點水平位移M=1CAB求C點轉角位移AB求A、B兩點相對豎向位移FP=1FP=1AB求A、B兩點相對水平位移FP=1FP=1M

=1C求C點相對轉角位移

3、力的虛設法FP=1/LFP=1/LCD求C、D桿轉角位移制造誤差產生的位移采用虛力原理計算?！纠}3】圖示桁架AC桿比要求的短了2cm，求由此產生的C點水平位移。解：在C點作用一水平單位力，方向朝左，求出AC桿的內力，令虛設的力到真實的位移上去做功，由虛力方程有：

4、制造誤差產生的位移計算FP=1-2cmBCA虛設的力狀態(tài)-2cmbBCbA真實的位移狀態(tài)

利用虛功方程有：abaBCαA啊得：【例題4】圖示懸臂梁C點由于制造誤差有一轉角，求由此引起的B點豎向位移。

abaBCA啊MC=bFP=1解：虛設一力狀態(tài)：在B點加一豎向單位力，求出C點的彎矩，并把C點的抗彎連系去掉，用彎矩MC表示。利用虛功方程有：得：由制造誤差引起的位移計算公式如下：其中：——虛設單位力作用下產生的軸力、剪力和彎矩。正負號規(guī)定：虛內力與變形方向一致為正，方向相反為負?！芍圃飚a生的軸向變形、彎曲變形和剪切變形。【例題5】圖示桁架DC桿短了2cm,FE桿長了3cm,求C點的豎向位移。解：在C點作用一豎向單位力，求出DC桿、FE桿的軸力：運用位移計算公式得：-2+33×4=12m4mBFECDABFECDAFP=12023/2/221BABA1AB虛功方程：BABA1A

例、懸臂梁在截面B處由于某種原因產生相對轉角d，試求A點在i－i方向的位移。

例、懸臂梁在截面B處由于某種原因產生相對剪位移d，試求A點在i－i方向的位移。2023/2/222

例、懸臂梁在截面B處由于某種原因產生軸向位移d試求A點在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：

當截面B同時產生三種相對位移時，在i－i方向所產生的位移，即是三者的疊加，有：2023/2/2235、結構位移計算的一般公式——變形體的位移計算一、局部變形時的位移計算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds設為變形體，分析局部變形所引起的位移。2023/2/224dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對位移：續(xù)基本思路：設

微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應用剛體虛功原理求位移d－即前例的結論?；?023/2/225二、結構位移計算的一般公式一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結構由多個桿件組成，則整個結構變形引起某點的位移為：若結構的支座還有位移，則總的位移為：2023/2/226適用范圍與特點：2）形式上是虛功方程，實質是幾何方程。關于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結構類型：各種桿件結構。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。2023/2/227位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內虛功：變形體虛功原理：各微段內力在應變上所作的內虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We。即：2023/2/228重點在于解決荷載作用下應變的表達式。（1）在荷載作用下建立

的方程，可經由荷載內力應力應變

過程推導應變表達式。（2）由上面的內力計算應變，其表達式由材料力學知k--為截面形狀系數1.2(3)荷載作用下的位移計算公式【例題7】求圖示簡支梁中點C的豎向位移。解：（1）取虛力狀態(tài)如圖所示：（2）寫出彎矩、剪力方程：當時：（3）計算FP=1C虛設的力狀態(tài)

CL/2L/2ABq真實的位移狀態(tài)

（4）比較彎曲變形與剪切變形的影響彎曲變形：剪切變形：兩者的比值：若高跨比為：則：（3）計算

結論：在計算受彎構件時，若截面的高度遠小于桿件的長度，一般可以不考慮剪切變形及軸向變形的影響?！纠}8】計算圖示剛架C點的水平位移和轉角，各桿的EI為常數。解：（1）求取虛力狀態(tài)如圖所示：FP=1ACBEIEI虛設的力狀態(tài)1

LLqACBEIEI真實的位移狀態(tài)

BC桿：BA桿：（2）求FP=1ACBEIEI虛設的力狀態(tài)1

ACBEIEIM=1虛設的力狀態(tài)2

取虛力狀態(tài)如圖所示：BC桿：BA桿：各種靜定結構位移的計算公式如下:（1）梁、剛架——只考慮彎曲變形（2）桁架——只有軸向變形（3）組合結構——受彎構件只考慮彎曲變形

6、荷載作用下的位移計算（4）三鉸拱—曲桿要考慮彎曲變形和軸向變形,

拉桿只有軸向變形。曲桿的積分計算可用數值計算代替:其中:都應取段上中點的值。FPFPdddddDECAB【例題9】計算圖示桁架結C的豎向位移，各桿EA相等。解：（1）求出桁架在荷載作用下各桿的內力。（2）求出桁架在單位力作用下各桿的內力。DECABFPFPFP00FP-FPFP圖DECAB1/2-11/2FP=1FＮ圖

6、荷載作用下的位移計算（3）計算C點的豎向位移2023/2/237PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2計算屋架頂點的豎向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2023/2/2381111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEGABCDEFG【例題10】求圖示半徑為R的圓弧形曲梁B點的豎向位移，已知EI為常數。為求取kB隔離體如下：θACRFPROBABAFP=1BA虛設力狀態(tài)

FPFQPFNPMPOB由：解：取虛力狀態(tài)如圖所示。受彎構件位移計算公式：

若EI為常數，上式變?yōu)椋?/p>

若MP

、M中有一個是直線圖，如右圖所示，有：是常數可提到積分號外面。

7、圖乘法1）計算公式推導

yxABABMP圖M

圖將代入式中：x——是圖的形心到y(tǒng)軸的距離——是圖的面積有：

令：——是圖形心位置所對圖中的豎標

應的得：是圖對y軸的面積矩，可寫成：其中：

dxyxABABMP圖M

圖xy0x0形心

2）圖乘法應用的前提（1）桿件的EI是常數；（2）桿件是直桿；（3）兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。——圖乘公式按圖乘公式計算結構位移的步驟如下：（1）畫出結構在荷載及虛設力作用下的彎矩圖；

（2）逐桿計算出荷載作用下的彎矩圖面積，以及與該彎矩圖形心所對應的虛設力彎矩圖的豎標，然后把兩者相乘；（3）把所有桿的累加起來，并除以EI，即為所求位移。

acdy1y2ω1ω2bABL

3）兩個直線圖形的圖乘公式

正負號確定：同邊為正，異邊為負。

上述圖乘公式適用所有直線圖形相乘的情況：×××××S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）

=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369h5L/8(L+b)/3(L+a)/3bLahL/43L/4h三角形A=hL/2二次拋物線A=hL/3L/2L/2L/54L/5h3L/8h二次拋物線A=2hL/3三次拋物線A=hL/4二次拋物線A=2hL/3

4）幾種圖形的面積及形心頂點

頂點

頂點

頂點

●如果圖形比較復雜，則可將其分解為幾個簡單圖形，分項

計算后再進行疊加。

5）復雜圖形的處理方法●一個圖形是曲線，另一個圖形是折線，則應分段后加輔助線再進行圖乘。MP圖M

圖BMAABMBMAABMBABABMBMAABMBA作MP圖如圖（b）所示。在A端作用一單位力矩，其M圖如圖（c）所示。

【例題11】計算圖（a）所示梁A端的轉角和。解：（1）求6m6mB10kN/m20kNAC（a）AMA=1BC1（c）M

圖AB300kN.m45kN.mC（b）MP圖

（2）計算C端的豎向位移作MP圖如圖（b）所示。在C端作用一單位豎向力，其M圖如圖（d）所示。6m6mB10kN/m20kNAC（a）AB300kN.m45kN.mC（b）MP圖ACB6（d）M

圖1P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B點的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0CABF=1L2L（c）M

圖MC=qL2/2EIBqCFQC=qL（d）【例題12】求圖示變截面梁B點的豎向位移。2EIEILLCqAB（a）解：（1）做出MP圖見圖（b）。（2）在B端加單位荷載后

求出M圖見圖（c）。（3）先將梁AB分成AC和

CB兩段，再將AC段按圖（b）化分。求C點的彎矩，取隔離體見（d）圖。qL2/22qL2ω3ω1ω2ω4qL2/8CAB（b）MP圖（5）B點的豎向位移（4）各部分的面積及形心位置對應的M圖豎坐標分別為:

E=3.3×1010N/m2

I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4

折減抗彎剛度

0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：預應力鋼筋混凝土墻板單點起吊過程中的計算簡圖。已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點的撓度?！齫=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2【例題13】求圖示結構D點的豎向位移。（1）求支座反力見圖（b）。（2）荷載作用下各桿的軸力及

彎矩見圖（c）。qFYA=6qFXA=6qFXB=6q（b）荷載作用下支座反力解：1.5q7.5q2q2q（c）FNP及MP圖3mC2m4mEADBEAAEIq（a）原結構（3）在D點加單位荷載，各桿的軸力

及彎矩圖如圖（d）所示（4）求D點的豎向位移（5）求均布荷載q令ΔDY≤0.01m，即可求得：q≤32.04kN/m。-1/25/22F=1（d）FN及MP圖1.5q7.5q2q2q（c）FNP及MP圖【例題14】求圖示三鉸剛架C點的相對轉角

，桿件的EI為常數。αABDEC8m2m6m20kN.m解：荷載作用下的彎矩圖如下所示。ABDEC1201204040Mp圖兩圖的圖乘結果即為

：荷載作用下的彎矩圖和虛設力作用下的彎矩圖如下所示。4040ABDEC120120MP圖B13/4M=1EA3/4DMC圖求AB兩點的相對水平位移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m

6m3m3mABEI=常數99999998、溫度改變而產生的位移計算1）溫度改變對靜定結構不產生內力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結果。2）假設：溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h23）微段的變形

dsdθat0ds

=

aΔt/hγ=0Δ±Δit=MNh

ttwawa0∫∫Δ±=Δitdsh

tMdstNaa0該公式僅適用于靜定結構ε=at0at1dsat2ds正負號的規(guī)定：虛力狀態(tài)中的變形與溫度改變產生的變形方向一致時取正號，反之取負號?！纠}6】圖示三鉸剛架，室內溫度比原來升高了300，室外溫度沒有變化，求C點的豎向位移，桿件的截面為矩形，高度h為常數，材料的膨脹系數為。6m5m5mBAC2m+3000000（2）運用公式求BAC1.861.86FP=10.50.50.310.31M1圖解：（1）在C點作用一豎向單位力畫出M和FN圖。BAC0.470.47FP=10.500.50FN圖求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉角.解：構造虛擬狀態(tài)Ni

9、線性變形體系的互等定理

在超靜定結構的內力分析中，常常用到彈性體系的四個互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理和反力與位移互等定理。其中最基本的是功的互等定理，另外三個定理則可由功的互等定理推導而得。設有兩組外力FP1和FP2分別作用于同一線彈性結構上，如圖所示，（a）、（b）分別稱為結構的第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。1）功的互等定理FP112Δ11（a）狀態(tài)ⅠΔ2112Δ12（b）狀態(tài)ⅡΔ22FP2這兩組力按不同次序先后作用于同一結構上時所作的總功分別為：●在結構上先加FP1后再加FP2，結構變形情況如圖（c）所示，則外力所做總功為：●在結構上先加FP2后再加FP1，結構變形情況如圖（d）所示，則外力所做總功為：（d）先加FP2后加FP1Δ22Δ21Δ11FP1FP2Δ11Δ22Δ12FP1FP2（c）先加FP1后加FP2在上述兩種加載過程中，外力作用的先后次序雖然不同，但是最后的荷載和變形情況是一樣的。因此，兩種加載情況所做的總功應該相等，即外力所做總功與加載次序無關，故：將兩式代入上式得：由此可得：功的互等定理：

第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。令功的互等定理中：FP1=FP2=12）位移互等定理則由功的互等定理可得：FP1=112（a）狀態(tài)Ⅰ12（b）狀