結(jié)構(gòu)力學(xué) 第5章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算課件

第五章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

Chapter5DisplacementCalculation1、概述2、支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算3、力的虛設(shè)方法4、制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算第六章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

Chapter6DisplacementCalculation

5、溫度作用時(shí)的計(jì)算

6、荷載作用下的位移計(jì)算

7、圖乘法

8、線性變形體系的互等定理

1、概述結(jié)構(gòu)位移——結(jié)構(gòu)上的任意點(diǎn)由于各種原因產(chǎn)生的移動(dòng)。例如：工程結(jié)構(gòu)在荷載作用下就會(huì)產(chǎn)生變形，由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置就會(huì)發(fā)生移動(dòng)。BCAq——線位移——角位移A點(diǎn)位移：AB相對(duì)水平位移：CD相對(duì)轉(zhuǎn)角：A,CDBAq

1、概述除了荷載以外，溫度改變、支座移動(dòng)、制造誤差和材料收縮等因素，都能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。

計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的：●為了校核結(jié)構(gòu)的剛度，保證它在使用過(guò)程中不致于發(fā)生過(guò)大的變形?！裨谟?jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還必須考慮結(jié)構(gòu)的位移條件，也就是說(shuō)位移計(jì)算是超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的基礎(chǔ)?！?/p>

結(jié)構(gòu)在制作、施工、架設(shè)和養(yǎng)護(hù)等過(guò)程中采取技術(shù)措施時(shí)，也需要知道結(jié)構(gòu)的位移。

計(jì)算所采用的理論——虛功原理

1）復(fù)習(xí)一下相關(guān)概念

●

虛功——力在由其它原因產(chǎn)生的位移上所做的功。其中：——虛功●

虛功原理剛體虛功原理變形體虛功原理

1、概述△11△22△12Fp1AB12Fp2

剛體虛功原理：所有外力所做的虛功等于零，即：虛功原理：虛力原理虛位移原理虛力原理——位移是真的，力是虛設(shè)的。用虛設(shè)力的辦法來(lái)求真實(shí)的位移。虛位移原理——力是真的，位移是虛設(shè)的。用虛設(shè)位移的辦法來(lái)求真實(shí)的力。變形體虛功原理：所有外力做的虛功=所有內(nèi)力做的虛功，即：顯然求位移用的是虛功原理中的虛力原理。

顯然支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移、制造誤差產(chǎn)生的位移應(yīng)該用剛體的虛力原理計(jì)算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫度改變產(chǎn)生的位移應(yīng)該用變形體的虛力原理計(jì)算?！裰ё苿?dòng)產(chǎn)生的位移——?jiǎng)傮w位移●制造誤差產(chǎn)生的位移——?jiǎng)傮w位移●荷載作用產(chǎn)生的位移——變形體位移●溫度改變產(chǎn)生的位移——變形體位移2）靜定結(jié)構(gòu)位移的類(lèi)型支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移應(yīng)采用剛體的虛力原理來(lái)計(jì)算。虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，即在結(jié)構(gòu)的A點(diǎn)作用一單位力矩。運(yùn)用剛體的虛功原理：虛設(shè)力狀態(tài)上的所有外力在真實(shí)的位移狀態(tài)上所做的虛功應(yīng)該等于零，有：

得：

2、支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算虛設(shè)的力狀態(tài)1/L1/LM=1圖示簡(jiǎn)支梁B支座往下位移了，求由此產(chǎn)生的A點(diǎn)轉(zhuǎn)角。真實(shí)的位移狀態(tài)

ABLΔ可以得出由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算公式如下：其中：—由虛設(shè)力產(chǎn)生的在有支座位移處的支座反力c

—真實(shí)的支座位移解：（1）求C點(diǎn)的豎向位移真實(shí)的位移狀態(tài)

LABCL/2L/2ab【例題1】圖示三鉸剛架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a，求C點(diǎn)的豎向位移，

和C點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角。

在C點(diǎn)作用一個(gè)豎向單位力，求出FYA和FXB。

2、支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算虛設(shè)的力狀態(tài)ABCFP=11/21/4真實(shí)的位移狀態(tài)

LABCL/2L/2ab虛設(shè)的力狀態(tài)ABCM

=101/L（2）求C點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角真實(shí)的位移狀態(tài)

LABCL/2L/2ab

2、支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算【例題2】圖示結(jié)構(gòu)發(fā)生了支座移動(dòng)，求鉸C的豎向位移及其兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真實(shí)的位移狀態(tài)

解：（1）求C的豎向位移在C點(diǎn)加豎向單位荷載，求出虛設(shè)力狀態(tài)的支座反力，如圖所示。則：BADCFP=102虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)M

=1BADC1/22在C點(diǎn)的兩側(cè)截面上加一對(duì)單位力矩，求出虛設(shè)力狀態(tài)的支座反力，如圖所示，則：（2）求鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真實(shí)的位移狀態(tài)

力的大小——一般虛設(shè)單位力。力的位置——作用在需要求位移的點(diǎn)及方向上。力的方向——隨意假設(shè)，若求出的位移是正的，說(shuō)明位移與假設(shè)的方向一致。若是負(fù)的，說(shuō)明與假設(shè)的方向相反。力的性質(zhì)——求線位移加單位集中力；求轉(zhuǎn)角加單位力矩；求二點(diǎn)的相對(duì)水平或豎向位移加一對(duì)相反的單位集中力；求二點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)角加一對(duì)單位力矩。

3、力的虛設(shè)法FP=1CAB求C點(diǎn)豎向位移FP=1CAB求B點(diǎn)水平位移M=1CAB求C點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移AB求A、B兩點(diǎn)相對(duì)豎向位移FP=1FP=1AB求A、B兩點(diǎn)相對(duì)水平位移FP=1FP=1M

=1C求C點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移

3、力的虛設(shè)法FP=1/LFP=1/LCD求C、D桿轉(zhuǎn)角位移制造誤差產(chǎn)生的位移采用虛力原理計(jì)算?！纠}3】圖示桁架AC桿比要求的短了2cm，求由此產(chǎn)生的C點(diǎn)水平位移。解：在C點(diǎn)作用一水平單位力，方向朝左，求出AC桿的內(nèi)力，令虛設(shè)的力到真實(shí)的位移上去做功，由虛力方程有：

4、制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算FP=1-2cmBCA虛設(shè)的力狀態(tài)-2cmbBCbA真實(shí)的位移狀態(tài)

利用虛功方程有：abaBCαA啊得：【例題4】圖示懸臂梁C點(diǎn)由于制造誤差有一轉(zhuǎn)角，求由此引起的B點(diǎn)豎向位移。

abaBCA啊MC=bFP=1解：虛設(shè)一力狀態(tài)：在B點(diǎn)加一豎向單位力，求出C點(diǎn)的彎矩，并把C點(diǎn)的抗彎連系去掉，用彎矩MC表示。利用虛功方程有：得：由制造誤差引起的位移計(jì)算公式如下：其中：——虛設(shè)單位力作用下產(chǎn)生的軸力、剪力和彎矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：虛內(nèi)力與變形方向一致為正，方向相反為負(fù)?！芍圃飚a(chǎn)生的軸向變形、彎曲變形和剪切變形?！纠}5】圖示桁架DC桿短了2cm,FE桿長(zhǎng)了3cm,求C點(diǎn)的豎向位移。解：在C點(diǎn)作用一豎向單位力，求出DC桿、FE桿的軸力：運(yùn)用位移計(jì)算公式得：-2+33×4=12m4mBFECDABFECDAFP=12023/2/221BABA1AB虛功方程：BABA1A

例、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。

例、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)剪位移d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。2023/2/222

例、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d試求A點(diǎn)在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：

當(dāng)截面B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí)，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：2023/2/2235、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式——變形體的位移計(jì)算一、局部變形時(shí)的位移計(jì)算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。2023/2/224dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對(duì)位移：續(xù)基本思路：設(shè)

微段的變形以截面B左右兩端的相對(duì)位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移d－即前例的結(jié)論。或2023/2/225二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：2023/2/226適用范圍與特點(diǎn)：2）形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類(lèi)型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類(lèi)型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類(lèi)：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。2023/2/227位移計(jì)算公式也是變形體虛功原理的一種表達(dá)式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內(nèi)虛功：變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We。即：2023/2/228重點(diǎn)在于解決荷載作用下應(yīng)變的表達(dá)式。（1）在荷載作用下建立

的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變

過(guò)程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。（2）由上面的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變，其表達(dá)式由材料力學(xué)知k--為截面形狀系數(shù)1.2(3)荷載作用下的位移計(jì)算公式【例題7】求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)C的豎向位移。解：（1）取虛力狀態(tài)如圖所示：（2）寫(xiě)出彎矩、剪力方程：當(dāng)時(shí)：（3）計(jì)算FP=1C虛設(shè)的力狀態(tài)

CL/2L/2ABq真實(shí)的位移狀態(tài)

（4）比較彎曲變形與剪切變形的影響彎曲變形：剪切變形：兩者的比值：若高跨比為：則：（3）計(jì)算

結(jié)論：在計(jì)算受彎構(gòu)件時(shí)，若截面的高度遠(yuǎn)小于桿件的長(zhǎng)度，一般可以不考慮剪切變形及軸向變形的影響?！纠}8】計(jì)算圖示剛架C點(diǎn)的水平位移和轉(zhuǎn)角，各桿的EI為常數(shù)。解：（1）求取虛力狀態(tài)如圖所示：FP=1ACBEIEI虛設(shè)的力狀態(tài)1

LLqACBEIEI真實(shí)的位移狀態(tài)

BC桿：BA桿：（2）求FP=1ACBEIEI虛設(shè)的力狀態(tài)1

ACBEIEIM=1虛設(shè)的力狀態(tài)2

取虛力狀態(tài)如圖所示：BC桿：BA桿：各種靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式如下:（1）梁、剛架——只考慮彎曲變形（2）桁架——只有軸向變形（3）組合結(jié)構(gòu)——受彎構(gòu)件只考慮彎曲變形

6、荷載作用下的位移計(jì)算（4）三鉸拱—曲桿要考慮彎曲變形和軸向變形,

拉桿只有軸向變形。曲桿的積分計(jì)算可用數(shù)值計(jì)算代替:其中:都應(yīng)取段上中點(diǎn)的值。FPFPdddddDECAB【例題9】計(jì)算圖示桁架結(jié)C的豎向位移，各桿EA相等。解：（1）求出桁架在荷載作用下各桿的內(nèi)力。（2）求出桁架在單位力作用下各桿的內(nèi)力。DECABFPFPFP00FP-FPFP圖DECAB1/2-11/2FP=1FＮ圖

6、荷載作用下的位移計(jì)算（3）計(jì)算C點(diǎn)的豎向位移2023/2/237PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2計(jì)算屋架頂點(diǎn)的豎向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2023/2/2381111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEGABCDEFG【例題10】求圖示半徑為R的圓弧形曲梁B點(diǎn)的豎向位移，已知EI為常數(shù)。為求取kB隔離體如下：θACRFPROBABAFP=1BA虛設(shè)力狀態(tài)

FPFQPFNPMPOB由：解：取虛力狀態(tài)如圖所示。受彎構(gòu)件位移計(jì)算公式：

若EI為常數(shù)，上式變?yōu)椋?/p>

若MP

、M中有一個(gè)是直線圖，如右圖所示，有：是常數(shù)可提到積分號(hào)外面。

7、圖乘法1）計(jì)算公式推導(dǎo)

yxABABMP圖M

圖將代入式中：x——是圖的形心到y(tǒng)軸的距離——是圖的面積有：

令：——是圖形心位置所對(duì)圖中的豎標(biāo)

應(yīng)的得：是圖對(duì)y軸的面積矩，可寫(xiě)成：其中：

dxyxABABMP圖M

圖xy0x0形心

2）圖乘法應(yīng)用的前提（1）桿件的EI是常數(shù)；（2）桿件是直桿；（3）兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形?！獔D乘公式按圖乘公式計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的步驟如下：（1）畫(huà)出結(jié)構(gòu)在荷載及虛設(shè)力作用下的彎矩圖；

（2）逐桿計(jì)算出荷載作用下的彎矩圖面積，以及與該彎矩圖形心所對(duì)應(yīng)的虛設(shè)力彎矩圖的豎標(biāo)，然后把兩者相乘；（3）把所有桿的累加起來(lái)，并除以EI，即為所求位移。

acdy1y2ω1ω2bABL

3）兩個(gè)直線圖形的圖乘公式

正負(fù)號(hào)確定：同邊為正，異邊為負(fù)。

上述圖乘公式適用所有直線圖形相乘的情況：×××××S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）

=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369h5L/8(L+b)/3(L+a)/3bLahL/43L/4h三角形A=hL/2二次拋物線A=hL/3L/2L/2L/54L/5h3L/8h二次拋物線A=2hL/3三次拋物線A=hL/4二次拋物線A=2hL/3

4）幾種圖形的面積及形心頂點(diǎn)

頂點(diǎn)

頂點(diǎn)

頂點(diǎn)

●如果圖形比較復(fù)雜，則可將其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，分項(xiàng)

計(jì)算后再進(jìn)行疊加。

5）復(fù)雜圖形的處理方法●一個(gè)圖形是曲線，另一個(gè)圖形是折線，則應(yīng)分段后加輔助線再進(jìn)行圖乘。MP圖M

圖BMAABMBMAABMBABABMBMAABMBA作MP圖如圖（b）所示。在A端作用一單位力矩，其M圖如圖（c）所示。

【例題11】計(jì)算圖（a）所示梁A端的轉(zhuǎn)角和。解：（1）求6m6mB10kN/m20kNAC（a）AMA=1BC1（c）M

圖AB300kN.m45kN.mC（b）MP圖

（2）計(jì)算C端的豎向位移作MP圖如圖（b）所示。在C端作用一單位豎向力，其M圖如圖（d）所示。6m6mB10kN/m20kNAC（a）AB300kN.m45kN.mC（b）MP圖ACB6（d）M

圖1P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B點(diǎn)的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0CABF=1L2L（c）M

圖MC=qL2/2EIBqCFQC=qL（d）【例題12】求圖示變截面梁B點(diǎn)的豎向位移。2EIEILLCqAB（a）解：（1）做出MP圖見(jiàn)圖（b）。（2）在B端加單位荷載后

求出M圖見(jiàn)圖（c）。（3）先將梁AB分成AC和

CB兩段，再將AC段按圖（b）化分。求C點(diǎn)的彎矩，取隔離體見(jiàn)（d）圖。qL2/22qL2ω3ω1ω2ω4qL2/8CAB（b）MP圖（5）B點(diǎn)的豎向位移（4）各部分的面積及形心位置對(duì)應(yīng)的M圖豎坐標(biāo)分別為:

E=3.3×1010N/m2

I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4

折減抗彎剛度

0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土墻板單點(diǎn)起吊過(guò)程中的計(jì)算簡(jiǎn)圖。已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點(diǎn)的撓度?！齫=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2【例題13】求圖示結(jié)構(gòu)D點(diǎn)的豎向位移。（1）求支座反力見(jiàn)圖（b）。（2）荷載作用下各桿的軸力及

彎矩見(jiàn)圖（c）。qFYA=6qFXA=6qFXB=6q（b）荷載作用下支座反力解：1.5q7.5q2q2q（c）FNP及MP圖3mC2m4mEADBEAAEIq（a）原結(jié)構(gòu)（3）在D點(diǎn)加單位荷載，各桿的軸力

及彎矩圖如圖（d）所示（4）求D點(diǎn)的豎向位移（5）求均布荷載q令ΔDY≤0.01m，即可求得：q≤32.04kN/m。-1/25/22F=1（d）FN及MP圖1.5q7.5q2q2q（c）FNP及MP圖【例題14】求圖示三鉸剛架C點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角

，桿件的EI為常數(shù)。αABDEC8m2m6m20kN.m解：荷載作用下的彎矩圖如下所示。ABDEC1201204040Mp圖兩圖的圖乘結(jié)果即為

：荷載作用下的彎矩圖和虛設(shè)力作用下的彎矩圖如下所示。4040ABDEC120120MP圖B13/4M=1EA3/4DMC圖求AB兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m

6m3m3mABEI=常數(shù)99999998、溫度改變而產(chǎn)生的位移計(jì)算1）溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結(jié)果。2）假設(shè)：溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h23）微段的變形

dsdθat0ds

=

aΔt/hγ=0Δ±Δit=MNh

ttwawa0∫∫Δ±=Δitdsh

tMdstNaa0該公式僅適用于靜定結(jié)構(gòu)ε=at0at1dsat2ds正負(fù)號(hào)的規(guī)定：虛力狀態(tài)中的變形與溫度改變產(chǎn)生的變形方向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)?！纠}6】圖示三鉸剛架，室內(nèi)溫度比原來(lái)升高了300，室外溫度沒(méi)有變化，求C點(diǎn)的豎向位移，桿件的截面為矩形，高度h為常數(shù)，材料的膨脹系數(shù)為。6m5m5mBAC2m+3000000（2）運(yùn)用公式求BAC1.861.86FP=10.50.50.310.31M1圖解：（1）在C點(diǎn)作用一豎向單位力畫(huà)出M和FN圖。BAC0.470.47FP=10.500.50FN圖求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角.解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)Ni

9、線性變形體系的互等定理

在超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析中，常常用到彈性體系的四個(gè)互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理和反力與位移互等定理。其中最基本的是功的互等定理，另外三個(gè)定理則可由功的互等定理推導(dǎo)而得。設(shè)有兩組外力FP1和FP2分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，如圖所示，（a）、（b）分別稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。1）功的互等定理FP112Δ11（a）狀態(tài)ⅠΔ2112Δ12（b）狀態(tài)ⅡΔ22FP2這兩組力按不同次序先后作用于同一結(jié)構(gòu)上時(shí)所作的總功分別為：●在結(jié)構(gòu)上先加FP1后再加FP2，結(jié)構(gòu)變形情況如圖（c）所示，則外力所做總功為：●在結(jié)構(gòu)上先加FP2后再加FP1，結(jié)構(gòu)變形情況如圖（d）所示，則外力所做總功為：（d）先加FP2后加FP1Δ22Δ21Δ11FP1FP2Δ11Δ22Δ12FP1FP2（c）先加FP1后加FP2在上述兩種加載過(guò)程中，外力作用的先后次序雖然不同，但是最后的荷載和變形情況是一樣的。因此，兩種加載情況所做的總功應(yīng)該相等，即外力所做總功與加載次序無(wú)關(guān)，故：將兩式代入上式得：由此可得：功的互等定理：

第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。令功的互等定理中：FP1=FP2=12）位移互等定理則由功的互等定理可得：FP1=112（a）狀態(tài)Ⅰ12（b）狀