統(tǒng)計(jì)學(xué)課件 ch6 參數(shù)估計(jì)課件

第6章參數(shù)估計(jì)教學(xué)內(nèi)容6.1抽樣與抽樣分布6.2參數(shù)估計(jì)的基本方法6.3總體均值的區(qū)間估計(jì)6.4總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)6.5樣本容量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握樣本平均數(shù)和樣本成數(shù)的抽樣分布理解總體參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的基本方法及其優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)；掌握總體均值和成數(shù)指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)方法；會(huì)做題目6.1抽樣與抽樣分布6.1.1什么是抽樣推斷抽樣推斷是按隨機(jī)性原則，從研究對(duì)象中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀察，并根據(jù)所得到的觀察數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的數(shù)量特征作出具有一定可靠程度的估計(jì)和推斷，以達(dá)到認(rèn)識(shí)總體的目的的一種統(tǒng)計(jì)方法。統(tǒng)計(jì)推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差6.1抽樣與抽樣分布6.1.2抽樣推斷中的基本概念總體與樣本(見第一章)樣本量與樣本個(gè)數(shù)總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣這些概念是統(tǒng)計(jì)學(xué)特有的，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想與方法。4-6（一）總體和樣本（參見第1章）1.總體：又稱全及總體、母體，指所要研究對(duì)象的全體，由許多客觀存在的具有某種共同性質(zhì)的單位構(gòu)成?？傮w單位數(shù)用N

表示。2.樣本：又稱子樣，來自總體，是從總體中按隨機(jī)原則抽選出來的部分，由抽選的單位構(gòu)成。樣本單位數(shù)用

n

表示。3.總體是唯一的、確定的，而樣本是不確定的、可變的、隨機(jī)的。4-7（二）樣本容量與樣本個(gè)數(shù)樣本容量：一個(gè)樣本中所包含的單位數(shù)，用n表示。樣本個(gè)數(shù)：又稱樣本可能數(shù)目，指從一個(gè)總體中所可能抽取的樣本的個(gè)數(shù)。對(duì)于有限總體，樣本個(gè)數(shù)可以計(jì)算出來。樣本個(gè)數(shù)的多少與抽樣方法有關(guān)。(這個(gè)概念只是對(duì)有限總體有意義，對(duì)無限總體沒有意義！)8（三）總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計(jì)量總體參數(shù)：反映總體數(shù)量特征的指標(biāo)。其數(shù)值是唯一的、確定的。樣本統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本分布計(jì)算的指標(biāo)。是隨機(jī)變量。平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、方差成數(shù)參數(shù)、2P統(tǒng)計(jì)量s、s2p總體樣本9（四）重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣重置抽樣與不重置抽樣例如從A、B、C、D、E五個(gè)字母中隨機(jī)抽取兩個(gè)作為樣本。N=5，n=2重復(fù)抽樣：樣本總個(gè)數(shù)=不重復(fù)抽樣：不考慮順序：樣本總個(gè)數(shù)注：不重復(fù)抽樣的樣本量受總體大小限制，即n不能超過N，最多等于N；但重復(fù)抽樣的樣本量不受總體大小的影響。106.1.3抽樣分布抽樣分布：主要求出樣本平均數(shù)的期望與方差包括以下內(nèi)容樣本平均數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布抽樣分布

設(shè)從總體中抽出的樣本為X1，X2，…,Xn，由于是重復(fù)抽樣，每個(gè)Xi，(i=1,2,…,n)都是從總體中隨機(jī)抽出的，都是與總體同分布的隨機(jī)變量，并且是相互獨(dú)立的。我們?cè)O(shè)總體的平均數(shù)為，方差為2，則樣本平均數(shù)的期望值與方差分別是：一、重置抽樣條件下樣本平均數(shù)的抽樣分布12（一）樣本平均數(shù)的分布（P108-109）某班組5個(gè)工人的日工資為34、38、42、46、50元。=422=32現(xiàn)用重置抽樣的方法從5人中隨機(jī)抽2個(gè)構(gòu)成樣本。共有52=25個(gè)樣本。如右圖。13驗(yàn)證了以下兩個(gè)結(jié)論：抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差反映所有的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差，稱為抽樣平均誤差，用表示。（一）樣本平均數(shù)的分布14（一）樣本平均數(shù)的分布由概率論知，如果總體是正態(tài)分布的，則樣本平均數(shù)的抽樣分布是如下正態(tài)分布這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，有廣泛的應(yīng)用。15（二）樣本成數(shù)的分布（P111-112）總體成數(shù)P是指具有某種特征的單位在總體中的比重。成數(shù)是一個(gè)特殊平均數(shù)，設(shè)總體單位總數(shù)目是N，總體中有該特征的單位數(shù)是N1。設(shè)x是0、1變量（總體單位有該特征，則x取1，否則取0），則有：現(xiàn)從總體中抽出n個(gè)單位，如果其中有相應(yīng)特征的單位數(shù)是n1，則樣本成數(shù)是：p也是一個(gè)隨機(jī)變量，利用樣本平均數(shù)的分布性質(zhì)結(jié)論，即有：16二、不重置抽樣條件下樣本均值和成數(shù)的抽樣分布樣本均值的分布性質(zhì)：樣本成數(shù)的分布性質(zhì)17抽樣分布總結(jié)樣本平均數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣（三）抽樣分布定理1.正態(tài)分布再生定理113總體是正態(tài)分布，抽取容量n的樣本，樣本平均數(shù)也服從正態(tài)分布。樣本平均數(shù)是更加集中的分布在總體平均數(shù)的周圍。2.中心極限定理114大樣本的平均數(shù)近似服從正態(tài)分布。6.2參數(shù)估計(jì)6.2.1估計(jì)量與估計(jì)值用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)，用來估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量叫做估計(jì)量，估計(jì)量的取值稱為估計(jì)值。參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)二、點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)的定義

點(diǎn)估計(jì)就是根據(jù)總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)量。在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常使用的點(diǎn)估計(jì)量有：【例6-1】對(duì)某企業(yè)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，設(shè)抽出100件產(chǎn)品，其中不合格產(chǎn)品5件，試估計(jì)該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是多少？

我們可以通過樣本的合格率來估計(jì)企業(yè)產(chǎn)品的合格率。樣本合格率p=95/100=95%，我們估計(jì)該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是95%。二、點(diǎn)估計(jì)所謂區(qū)間估計(jì)，就是估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。設(shè)和是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量(<)，分別作為總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的下限與上限，則要求：

P()=1-α式中α(0<α<1)是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平，其取值大小由實(shí)際問題確定，經(jīng)常取1%、5%和10%；1-α稱為置信度。（二）區(qū)間估計(jì)1、總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率2、表示為(1-為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率3、常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平(置信度)區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含1-aa/2a/2（二）區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：一是估計(jì)的精確度要求，二是可靠性要求。所謂精確度就是估計(jì)誤差的最大范圍，即誤差的最大值，可通過極限誤差來反映；所謂可靠性是指估計(jì)結(jié)果正確的概率大小。置信區(qū)間越小，精確性越高，但是可靠性下降;置信區(qū)間越大，可靠性越大，但是精確性降低。因此，精確性和可靠性是一對(duì)矛盾。

無偏性用表示總體的待估計(jì)參數(shù)，是估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量，我們說是的無偏估計(jì)，指的是滿足：6.2.3評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

無偏性無偏性要求用來估計(jì)總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量，其分布是以總體參數(shù)真值為中心的。在一次具體的抽樣估計(jì)中，估計(jì)量或者大于總體參數(shù)，或者小于總體參數(shù)；但是，在進(jìn)行重復(fù)抽樣估計(jì)的過程中，所有估計(jì)量的平均數(shù)應(yīng)該等于待估的總體參數(shù)。這說明，無偏估計(jì)要求估計(jì)量沒有系統(tǒng)偏差。估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則——（無偏性）P(X)XCA無偏有偏無偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)這就是為什么樣本方差用n-1的原因！

一致性一致性是指隨著樣本容量不斷增大，樣本統(tǒng)計(jì)量接近總體參數(shù)的可能性就越來越大，或者，對(duì)于任意給定的偏差控制水平，兩者間偏差高于此控制水平的可能性越來越小，接近于0。

一致性用公式表示就是：

公式中，ε為一任意小的數(shù)。上式說明，當(dāng)n充分大時(shí)，與之間的偏差，可以有很大的把握被控制在任意給定的范圍之內(nèi)。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂于。估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則——（一致性）一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X

有效性

和都是總體參數(shù)的無偏估計(jì)量，如果，則說明估計(jì)量比更有效。

有效性設(shè)總體的方差是，我們有：顯然，樣本平均數(shù)的方差比樣本中某個(gè)單位的標(biāo)志值的方差要小，只是其方差的1/n，所以作為估計(jì)量，樣本平均數(shù)更加有效。6.3.1區(qū)間估計(jì)基本原理6.3總體均值的區(qū)間估計(jì)所謂抽樣極限誤差范圍是指變動(dòng)的樣本估計(jì)值與確定的總體參數(shù)之間離差的可能范圍，它可以用樣本估計(jì)值與總體參數(shù)的最大絕對(duì)誤差限來表示。6.3.2正態(tài)分布且總體方差已知；或非正態(tài)分布方差未知，且大樣本2

已知2未知均值方差成數(shù)區(qū)間

估計(jì)平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)對(duì)總體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)時(shí)，使用下面的式子

(式中Δ是極限誤差)有兩種模式：1、根據(jù)置信度1-α，求出極限誤差Δ，并指出總體平均數(shù)的估計(jì)區(qū)間。2、給定極限誤差，求置信度(略)。當(dāng)σ已知時(shí)，根據(jù)相關(guān)的抽樣分布定理，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。查正態(tài)分布概率表，

可得（一般記為），則，根據(jù)重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣的求法的不同，進(jìn)一步可得總體平均數(shù)的估計(jì)區(qū)間：重復(fù)抽樣時(shí)，區(qū)間的上下限為：不重復(fù)抽樣時(shí)，區(qū)間的上下限為：均值區(qū)間估計(jì)—第1種模式(求置信區(qū)間)正態(tài)分布且總體方差已知P.119【例6.3】這一類計(jì)算題的基本做法：先計(jì)算出樣本指標(biāo)，然后根據(jù)所給條件（重復(fù)抽樣或不重復(fù)抽樣）進(jìn)行抽樣平均誤差的計(jì)算，抽樣極限誤差的計(jì)算，最后根據(jù)樣本指標(biāo)和極限誤差進(jìn)行期間估計(jì)。大樣本，一般總體在大樣本條件下，根據(jù)中心極限定理，樣本平均數(shù)近似服從正態(tài)分布，仍可按上述方法進(jìn)行估計(jì)。如果總體方差已知用總體方差，如果總體方差未知用樣本方差代替總體方差，樣本平均數(shù)仍然近似服從正態(tài)分布。

大樣本，一般總體（方差已知）【例】某地區(qū)的電視臺(tái)委托調(diào)查公司估計(jì)地區(qū)內(nèi)居民平均每日的看電視時(shí)間。調(diào)查公司隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行調(diào)查，樣本數(shù)據(jù)顯示平均每人每天看電視時(shí)間是4個(gè)小時(shí)。如果已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.5小時(shí)。試求：(1)該地區(qū)內(nèi)居民每天看電視的平均時(shí)間的置信區(qū)間(置信度是95%)；大樣本，一般總體（方差未知）總體分布未知且總體方差未知，大樣本條件下，由中心極限定理知，近似服從正態(tài)分布，此處用樣本方差s代替總體方差。P120，例6.4總體方差未知(2未知)，小樣本

：

當(dāng)總體服從正態(tài)分布但方差未知時(shí)，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差。這時(shí)統(tǒng)計(jì)量是：t服從的分布不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是自由度為n-1的t-分布(當(dāng)n很大時(shí)，近似正態(tài)分布)。因此，總體均值的區(qū)間估計(jì)是：總體方差未知(2未知)

：重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣

4-48總體均值區(qū)間估計(jì)總結(jié)總體平均數(shù)估計(jì)區(qū)間的上下限總體方差已知N(0,1)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣總體方差未知t(n-1)大樣本時(shí)近似服從N(0,1)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣

如果是正態(tài)總體4-49

如果不是正態(tài)總體，或分布未知總體方差已知且是大樣本總體方差未知且是大樣本

此時(shí)不考慮小樣本情況因此，大樣本情況下，直接用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求置信區(qū)間即可。成數(shù)指標(biāo)是一個(gè)特殊的平均數(shù)。所以，類似于總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)，總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)是：式中的成數(shù)抽樣平均誤差在重復(fù)抽樣條件下是：在不重復(fù)抽樣的條件下是：在實(shí)踐中，由于總體成數(shù)常常未知，這時(shí)，抽樣平均誤差公式中的總體成數(shù)用樣本成數(shù)代替。6.4總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)【例6-3】某工廠要估計(jì)一批總數(shù)5000件的產(chǎn)品的廢品率，于是采用不重復(fù)性抽樣方法，隨機(jī)抽出400件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)有32件廢品。試給出該批產(chǎn)品的廢品率的區(qū)間估計(jì)(置信度是90%)。

總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)第一，樣本抽取后，用簡單算術(shù)平均或加權(quán)平均的方法計(jì)算樣本平均數(shù)。第二，搜集總體數(shù)量標(biāo)志方差的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)或計(jì)算樣本數(shù)量標(biāo)志方差s2。第三，計(jì)算抽樣平均數(shù)的平均誤差：第四，根據(jù)概率F(Z)確定Z，計(jì)算平均數(shù)的極限誤差。第五，總體平均數(shù)的置信區(qū)間。區(qū)間估計(jì)小結(jié)(重置抽樣)(不重置抽樣)第一，樣本抽取后，計(jì)算樣本成數(shù)。第二，用樣本是非標(biāo)志方差p(1-p)或經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)代替總體是非標(biāo)志方差P(1-P)。第三，計(jì)算抽樣成數(shù)的平均誤差：第四，根據(jù)概率F(Z)確定Z，計(jì)算平均數(shù)的極限誤差：第五，總體平均數(shù)P的置信區(qū)間。

總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)(重置抽樣)(不重置抽樣)練習(xí)某地有八家銀行，從它們所有的全體職工中隨機(jī)抽取600人進(jìn)行調(diào)查，得知其中的486人在銀行里有個(gè)人儲(chǔ)蓄存款，存款金額平均每人3400元，標(biāo)準(zhǔn)差500元，試以95.45%的可靠性推斷：（1-α=95.45%，則z=2）1)全體職工中有儲(chǔ)蓄存款者所占比率的區(qū)間范圍2)平均每人存款金額的區(qū)間范圍（1）已知：n=600，p=81%，又1-α=95.45%，則z=2所以故全體職工中有儲(chǔ)蓄存款者所占比率的區(qū)間范圍為81%±0.032%（2）平均每人存款金額的區(qū)間范圍為6.5樣本容量的確定在前面我們已經(jīng)知道，極限誤差、概率度與抽樣平均誤差三者間的數(shù)量關(guān)系是：。當(dāng)抽樣平均誤差保持不變時(shí)，極限誤差與概率度兩者間關(guān)系是：Δ增大，z也增大了，Δ減小，z也減小了。樣本容量的確定因此，抽樣估計(jì)的精度與可靠性之間存在矛盾：要提高精度(Δ減小)，需以犧牲概率度(z減小)為代價(jià)；要提高概率度(z增大)，又要以犧牲估計(jì)精度(Δ增大)為代價(jià)。在不變的情況下，這對(duì)矛盾是不可調(diào)和的；但是，降低抽樣平均誤差后，就可以同時(shí)提高估計(jì)的精度與概率度。樣本容量的確定例如：通過增加樣本容量n來達(dá)到降低抽樣平均誤差目標(biāo)。這時(shí)應(yīng)該考慮，樣本容量n究竟取多大合適？這就是樣本容量的確定問題。6.5.1估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定總體方差已知，重復(fù)抽樣（重點(diǎn)）這時(shí)有：上式兩邊平方整理后可得：

這就是在給定極限誤差、概率度要求下，至少應(yīng)抽取的樣本容量。估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定總體方差已知，不重復(fù)抽樣這時(shí)有：上式兩邊平方整理后可得：

6.5.2估計(jì)總體成數(shù)時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣（重點(diǎn)）不重復(fù)抽樣4-62確定樣本容量在設(shè)計(jì)抽樣時(shí)，先確定允許的誤差范圍和必要的概率保證程度，然后根據(jù)歷史資料或試點(diǎn)資料確定總體的標(biāo)準(zhǔn)差，最后來確定樣本容量。估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣估計(jì)成數(shù)時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣6.5.3應(yīng)注意的問題

計(jì)算樣本容量時(shí)，一般總體的方差與成數(shù)都是未知的，可用有關(guān)資料替代：一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗(yàn)性調(diào)查，用試驗(yàn)中方差的最大值代替總體方差；三是成數(shù)方差在完全缺乏資料的情況下，就用成數(shù)方差的最大值0.25代替。三、應(yīng)注意的問題

如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時(shí)估計(jì)總體