平面向量題型歸納（教員版）

...wd......wd......wd...平面向量中的兩個定理1.向量的數(shù)乘運(yùn)算：求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算，運(yùn)算法那么：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λ與的方向一樣；當(dāng)λ＜0時，λ的與的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λ＝0運(yùn)算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；λ(＋)＝λ＋λ2.共線向量定理向量(≠0)與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐標(biāo)表示：①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向一樣的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作＝，其中叫在x軸上的坐標(biāo)，叫在y軸上的坐標(biāo)．②設(shè)，那么向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)，即假設(shè)，那么A點(diǎn)坐標(biāo)為，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點(diǎn))類型一、共線向量定理的應(yīng)用【例1】【2017山東省棗莊八中高三月考】設(shè)兩個非零向量與b不共線，(1)假設(shè)＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使k＋和＋k同向．【例2】如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝eq\f(2,3)，＝，＝(1)用，b表示向量，，，，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】見解析【解析】(1)延長AD到G，使＝eq\f(1,2)，連接BG，CG，得到?ABGC，所以＝＋，那么有＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(＋)，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，＝－＝eq\f(1,3)(＋)－＝eq\f(1,3)(b－2)，＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)(b－2)．(2)證明：由(1)可知＝eq\f(2,3)，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．類型二、平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么以下四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1＋3e2與6e2＋2e1【答案】D【解析】選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))無解；選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ))無解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ))無解；選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．【例4】如圖，以向量＝，＝為鄰邊作?OADB，＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，用，表示，，.【答案】見解析平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算1.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法那么(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法那么平行四邊形法那么(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法那么a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向一樣；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).[來源:學(xué).科.網(wǎng)](2)向量坐標(biāo)的求法：①假設(shè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么＝(x2－x1，y2－y1)，||＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.應(yīng)用舉例:類型一、平面向量的線性運(yùn)算【例1】設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，那么()A．＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)B．＝eq\f(1,3)－eq\f(4,3)C．＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3)D．＝eq\f(4,3)－eq\f(1,3)【答案】A類型二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例4】假設(shè)向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，那么c可用向量a，b表示為()A.eq\f(1,2)a＋bB．－eq\f(1,2)a－bC.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b【解析】設(shè)c＝xa＋yb，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))那么c＝eq\f(1,2)a＋b.【例5】點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，假設(shè)＝－3a，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)【解析】＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，那么＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))【答案】A平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．〔2〕兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.求向量的模利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③假設(shè)a＝(x，y)，那么|a|＝eq\r(x2＋y2).實(shí)戰(zhàn)演練:1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且＝a，＝b，那么＝()A．b－eq\f(1,2)aB．b＋eq\f(1,2)aC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD．a(chǎn)－eq\f(1,2)b【解析】＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.【答案】A2．向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，假設(shè)3a－2b＋c＝0，那么c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)【答案】A【解析】由題意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)．平面向量的數(shù)量積1.平面向量數(shù)量積(1)平面向量數(shù)量積的定義:假設(shè)兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，那么數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2)兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a·b＝0，兩個非零向量a與b平行的充要條件是a·b＝±|a||b|.2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.平面向量數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0；(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.5．平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示：設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：(1)假設(shè)a＝(x，y)，那么|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝＝eq\a\vs4\al(\r(x1－x22＋y1－y22)).(3)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.應(yīng)用舉例:類型一、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算【例1】設(shè)向量＝(－1,2)，＝(m,1)，如果向量＋2與2－平行，那么與的數(shù)量積等于()A．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)【例2】＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，那么向量在方向上的投影為()A．－eq\f(3\r(2),2)B．－3eq\r(5)C.eq\f(3\r(2),2)D．3eq\r(5)【解析】因?yàn)辄c(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為||cos〈，〉＝eq\f(·,||)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).類型二、平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)角度一：平面向量的模；【例3】向量，，．【答案】角度二：平面向量的夾角；【例4】【向量滿足,且,那么的夾角的余弦值為〔〕A.0B.C.D.【解析】，，所以選B.【例5】，，且，那么向量與的夾角為〔〕A．B．C．D．【解析】依題意有，解得.角度三：平面向量的垂直．【例6】向量滿足，，，那么向量與的夾角為．實(shí)戰(zhàn)演練:1．，，假設(shè)，那么實(shí)數(shù)〔〕A．B．3C．6D．8【解析】,解之得，應(yīng)選C．2．假設(shè)向量，，，那么、的夾角是〔〕A.B.C.D.3．向量〔〕A、B、C、D、【答案】B【解析】由解得．4．，，且與夾角為120°，那么=________.【答案】．【解析】，且與夾角為，，，，故答案為．5．|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)假設(shè)，求△ABC的面積．【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13).(3)∵與的夾角θ＝eq\f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又＝|a|＝4，＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).借用基本不等式解決最值、范圍問題1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．3、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，那么a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可表達(dá)為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4、利用基本不等式求最值問題x>0，y>0，那么〔1〕如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)〔2〕如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)利用基本不等式求最值【例1】【2017山東淄博模擬】a>0，b>0，a＋2b＝3，那么eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________．【答案】eq\f(8,3).【解析】由a＋2b＝3得eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(4,3)＋eq\f(a,3b)＋eq\f(4b,3a)≥eq\f(4,3)＋2eq\r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq\f(8,3).當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝eq\f(3,2)時取等號．【例2】a為正實(shí)數(shù)且a2＋eq\f(b2,2)＝1，那么aeq\r(1＋b2)的最大值為________．【答案】eq\f(3\r(2),4).【解析】因?yàn)閍>0，所以aeq\r(1＋b2)＝eq\r(2)eq\r(a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(b2,2))))≤eq\f(\r(2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(b2,2))))),2)，又a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(b2,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(b2,2)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以aeq\r(1＋b2)≤eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(3,2)))＝eq\f(3\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(\r(3),2)，b＝eq\f(\r(2),2)時等號成立．即(aeq\r(1＋b2))max＝eq\f(3\r(2),4).【例3】x>0，那么eq\f(x,x2＋4)的最大值為________．【答案】eq\f(1,4).【解析】因?yàn)閑q\f(x,x2＋4)＝eq\f(1,x＋\f(4,x))，又x＞0時，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x×\f(4,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時取等號，所以0<eq\f(1,x＋\f(4,x))≤eq\f(1,4)，即eq\f(x,x2＋4)的最大值為eq\f(1,4).【例4】假設(shè)log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，那么a＋b的最小值是()A．6＋2eq\r(3)B．7＋2eq\r(3)C．6＋4eq\r(3)D．7＋4eq\r(3)【答案】D【解析】因?yàn)閘og4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋4b>0，,ab>0，))即a>0，b>0，所以eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,4)時取等號，應(yīng)選D.【例5】設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))假設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，那么eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．eq\f(25,6)B．eq\f(8,3)C．eq\f(11,3)D．4【答案】D【解析】不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影局部所示．由z＝ax＋by得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，當(dāng)z變化時，它表示經(jīng)過可行域的一組平行直線，其斜率為－eq\f(a,b)，在y軸上的截距為eq\f(z,b)，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(4,6)時，在y軸上的截距最大，從而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋3b,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(2,b)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋6＋\f(4a,b)＋\f(9b,a)))≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(3,2)，b＝1時等號成立．實(shí)戰(zhàn)演練:1．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2〞成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B2．不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，那么正實(shí)數(shù)a的最小值是()A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，∴當(dāng)1＋a＋2eq\r(a)≥9時不等式恒成立，故eq\r(a)＋1≥3，a≥4.3．a(chǎn)>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，那么m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由題意知：ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號．直線與圓1.【圓的圓心到直線的距離為1，那么a=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2試題分析：圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，應(yīng)選A．2.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓QUOTE（x+3)2+(y-2)2=1相切，那么反射光線所在直線的斜率為〔〕〔A〕或〔B〕QUOTE）-32或QUOTE-23〔C〕或〔D〕或【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，那么反身光線所在直線方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,應(yīng)選D．3.【2015高考廣東，理5】平行于直線且與圓