高考導(dǎo)數(shù)題的解題技巧絕版

...wd......wd......wd...導(dǎo)數(shù)題的解題技巧導(dǎo)數(shù)命題趨勢：〔1〕多項(xiàng)式求導(dǎo)〔結(jié)合不等式求參數(shù)取值范圍〕,和求斜率〔切線方程結(jié)合函數(shù)求最值〕問題.〔2〕求極值,證明不等式，函數(shù)單調(diào)性,應(yīng)用題,與三角函數(shù)或向量結(jié)合.【考點(diǎn)透視】1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景〔如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等〕；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念．2．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法那么．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件〔導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號〕；會(huì)求一些實(shí)際問題〔一般指單峰函數(shù)〕的最大值和最小值．【例題解析】考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.例1．〔2007年北京卷〕是的導(dǎo)函數(shù)，那么的值是．[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等根基知識和能力.[解答過程]故填3.例2.(2006年湖南卷〕設(shè)函數(shù),集合M=,P=,假設(shè)MP,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等根基知識的應(yīng)用能力.[解答過程]由綜上可得MP時(shí),考點(diǎn)2曲線的切線〔1〕關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P〔x,y〕的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率.〔2〕關(guān)于兩曲線的公切線假設(shè)一直線同時(shí)與兩曲線相切，那么稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.〔2007年湖南文〕函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．〔I〕求的最大值；〔II〕當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，假設(shè)在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象〔即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)〕，求函數(shù)的表達(dá)式．思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.解答過程：〔I〕因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為〔〕，那么，且．于是，，且當(dāng)，即，時(shí)等號成立．故的最大值是16．〔II〕解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，那么不是的極值點(diǎn)．而，且．假設(shè)，那么和都是的極值點(diǎn)．所以，即，又由，得，故．解法二：同解法一得．因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在〔〕．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，那么，所以，又由，得，故．例4.〔2006年安徽卷〕假設(shè)曲線的一條切線與直線垂直，那么的方程為〔〕A．B．C．D．[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等根基知識的應(yīng)用能力.[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為.應(yīng)選A.例5．(2006年重慶卷)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2-4x+2y+=0相切的直線的方程為()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等根基知識的應(yīng)用能力.[解答過程]解法1：設(shè)切線的方程為又應(yīng)選A.解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為由應(yīng)選A.例6.兩拋物線,取何值時(shí)，有且只有一條公切線，求出此時(shí)公切線的方程.思路啟迪：先對求導(dǎo)數(shù).解答過程：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)P()處的切線方程為，即①曲線在點(diǎn)Q的切線方程是即②假設(shè)直線是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，那么①式和②式都是的方程，故得，消去得方程，假設(shè)△=，即時(shí)，解得，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合.∴當(dāng)時(shí)，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為.考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)〞為工具，能對其進(jìn)展全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問題:1..求函數(shù)的解析式;2.求函數(shù)的值域;3.解決單調(diào)性問題;4.求函數(shù)的極值〔最值〕;5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.典型例題例7．〔2006年天津卷〕函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如以下列圖，那么函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等根基知識的應(yīng)用能力.[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間內(nèi)的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn).應(yīng)選A.例8.〔福建省2008年普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查〕函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0處取得極值．(I)求實(shí)數(shù)a的值；(Ⅱ)假設(shè)關(guān)于x的方程，f(x)=在區(qū)間[O，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(Ⅲ)證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立．[考察目的]本小題主要考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值和不等式等根基知識；考察化歸及數(shù)形結(jié)合的思想方法；考察分析問題、解決問題的能力。解答過程：解：(Ⅰ)=∵x=0時(shí)，f(x)取得極值，∴=0，故=0，解得a=1.經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意.(Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=+b,得ln(x+1)-x2+x-b=0，令φ(x)=ln(x+1)-x2+x-b，那么f(x)=+b在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．，當(dāng)x∈(O，1)時(shí)，>O，于是φ(x)在(O，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，<0，于是φ(x)在(1，2)上單調(diào)遞減．依題意有∴l(xiāng)n3-1≤b<ln2+.(Ⅲ)f(x)=ln(x+1)-x2–x的定義域?yàn)閧x|x>-1}，由(Ⅰ)知，令=0得，x=0或x=-(舍去)，∴當(dāng)-1<x<0時(shí)，>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，<0，f(x)單調(diào)遞減.∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值.∴f(x)≤f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立).對任意正整數(shù)n，取x=>0得，ln(+1)<+，故ln()<.例9.函數(shù)的值域是_____________.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式構(gòu)造較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例10．〔2006年天津卷〕函數(shù)，其中為參數(shù)，且．〔1〕當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；〔2〕要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；〔3〕假設(shè)對〔2〕中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．[考察目的]本小題主要考察運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等根基知識，考察綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.[解答過程]〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，，那么在內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.〔Ⅱ〕，令，得.由〔Ⅰ〕，只需分下面兩種情況討論.①當(dāng)時(shí)，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+↗極大值↘極小值↗因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且假設(shè)，那么.矛盾.所以當(dāng)時(shí)，的極小值不會(huì)大于零.綜上，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.〔=3\*ROMANIII〕解：由〔=2\*ROMANII〕知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，那么a須滿足不等式組或由〔=2\*ROMANII〕，參數(shù)時(shí)時(shí)，.要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例11．(2006年山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.[考察目的]此題考察了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考察了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力[解答過程]由得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，〔2〕當(dāng)時(shí)，由解得、隨的變化情況如下表—0+極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.例12．〔2006年北京卷〕函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，如以下列圖.求：〔Ⅰ〕的值；〔Ⅱ〕的值.[考察目的]本小題考察了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等根基知識的綜合應(yīng)用,考察了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力[解答過程]解法一：〔Ⅰ〕由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以〔Ⅱ〕由得解得解法二：〔Ⅰ〕同解法一〔Ⅱ〕設(shè)又所以由即得所以例13．〔2006年湖北卷〕設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).〔Ⅰ〕求與的關(guān)系式〔用表示〕，并求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕設(shè)，.假設(shè)存在使得成立，求的取值范圍.[考察目的]本小題主要考察函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.[解答過程]〔Ⅰ〕f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，那么f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.當(dāng)a<－4時(shí)，x2>3＝x1，那么在區(qū)間〔－∞，3〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間〔3，―a―1〕上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間〔―a―1，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).當(dāng)a>－4時(shí)，x2<3＝x1，那么在區(qū)間〔－∞，―a―1〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間〔―a―1，3〕上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間〔3，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間〔0，3〕上的單調(diào)遞增，在區(qū)間〔3，4〕上單調(diào)遞減，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－〔2a＋3〕e3<0，f(4)＝〔2a＋13〕e－1>0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－〔2a＋3〕e3，a＋6].又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋，〔a2＋〕e4]，由于〔a2＋〕－〔a＋6〕＝a2－a＋＝〔〕2≥0，所以只須僅須〔a2＋〕－〔a＋6〕<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是〔0，〕.例14〔2007年全國二〕函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且．〔1〕證明；〔2〕假設(shè)z=a+2b,求z的取值范圍。[解答過程]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．〔Ⅰ〕由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根．所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，由，得．〔Ⅱ〕在題設(shè)下，等價(jià)于即．化簡得．此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線：．所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：．ba212ba2124O所以的取值范圍為．考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)在不等式的證明及解決不等式中求參數(shù)的問題中的應(yīng)用.一、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明不等式1.直接由所證不等式構(gòu)造函數(shù)，討論構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性,到達(dá)證明不等式的目的把要證明的不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為再通過求的最值,從而實(shí)現(xiàn)對不等式的證明.例1〔2010年全國理科卷2〕設(shè)函數(shù)．EQ\o\ac(○,1)證明：當(dāng)時(shí)，,EQ\o\ac(○,2)設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．證明：EQ\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)構(gòu)造函數(shù)：，那么對求導(dǎo)得：.當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù).于是在處到達(dá)最小值，因而當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，.=2\*GB3②略.2.常系數(shù)變易法對形如(或可化為〕的不等式，根據(jù)題意可適中選擇〔或〕為主元，構(gòu)造函數(shù)〔或〕.例2〔2004年全國理科卷2〕函數(shù)，EQ\o\ac(○,1)求函數(shù)的最大值；EQ\o\ac(○,2)設(shè)，證明：.解:EQ\o\ac(○,1)略EQ\o\ac(○,2)由，那么.首先選擇為主元，構(gòu)造函數(shù)：，那么對求導(dǎo)得：.當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此在上為增函數(shù).從而，當(dāng)時(shí)，有極小值，因?yàn)?，?所以，即,其次構(gòu)造函數(shù)：，那么對求導(dǎo)得：.當(dāng)時(shí),,因此在上為減函數(shù)，因?yàn)?，所以，即：,綜上所述，原不等式成立.二、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值、最值(或值域)后,再證明不等式最值證明在不等式中的應(yīng)用,一般將不等式通過移項(xiàng)，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，然后求這個(gè)函數(shù)的極(最)值,應(yīng)用恒成立關(guān)系就可以證明.例3〔2009年全國理科卷2〕設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，EQ\o\ac(○,1)求的取值范圍，并討論的單調(diào)性,EQ\o\ac(○,2)證明：.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:EQ\o\ac(○,1)對求導(dǎo)得：令，其對稱軸為.由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得.當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)為增函數(shù).EQ\o\ac(○,2)由EQ\o\ac(○,1)可知，有，所以.設(shè)，那么.當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，，故．W.三、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式中求參數(shù)的問題不等式恒成立問題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，有些往往把變量別離后可以轉(zhuǎn)化為(或)恒成立,于是大于的最大值(或小于的最小值),從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.但是有些不能把變量別離或者別離之后求解非常麻煩的，要通過適當(dāng)?shù)淖儞Q來求解，在求解的過程中往往都要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)通過分類討論的思想進(jìn)展求解.總之，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.1.變量別離后，不等式可以轉(zhuǎn)化為(或〕的恒成立問題例4〔2008年安徽理科卷20題〕設(shè)函數(shù)EQ\o\ac(○,1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,EQ\o\ac(○,2)對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:EQ\o\ac(○,1)對求導(dǎo)得：假設(shè)那么列表如下+0--單調(diào)增極大值單調(diào)減單調(diào)減EQ\o\ac(○,2)在兩邊取對數(shù),得,由于所以，由EQ\o\ac(○,1)的結(jié)果可知,當(dāng)時(shí),,為使對所有成立,當(dāng)且僅當(dāng),即.2.通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，構(gòu)造函數(shù)解決不等式恒成立問題例5〔2008年全國理科卷2〕設(shè)函數(shù)．EQ\o\ac(○,1)求的單調(diào)區(qū)間,EQ\o\ac(○,2)如果對任何，都有，求的取值范圍.解：EQ\o\ac(○,1)對求導(dǎo)得：．當(dāng)〔〕時(shí)，，即,當(dāng)〔〕時(shí)，，即．因此在每一個(gè)區(qū)間〔〕是增函數(shù)，在每一個(gè)區(qū)間〔〕是減函數(shù)．EQ\o\ac(○,2)構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，那么．從而，當(dāng)時(shí)，．又，所以當(dāng)時(shí)，，即．當(dāng)時(shí)，令，那么.由，有，因此在上單調(diào)增加，又，即．于是，．當(dāng)時(shí)，有．因此，的取值范圍是．總之，導(dǎo)數(shù)是解決不等式問題的一個(gè)很有用的工具，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的問題其實(shí)就是要適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解決不等式中的問題.考點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用建設(shè)函數(shù)模型,利用導(dǎo)數(shù)研究最值典型例題例15.〔