第十章：壓桿穩(wěn)定

軸向拉、壓桿的強度條件為一鋼板尺長300mm，橫截面尺寸20mm

1mm。[]=196MPa。[F]=A[]=3.92kN但當施加的軸向壓力達到40N時,鋼板尺就突然發(fā)明顯的彎曲變形,喪失了承載能力，相差98倍。按強度條件:能承受的軸向壓力§10-1

引言

工程中有些構件具有足夠的強度、剛度,卻不一定能安全可靠地工作.①強度②剛度③穩(wěn)定性構件的承載能力工程實例工程實例壓桿穩(wěn)定實驗案例120世紀初，享有盛譽的美國橋梁學家?guī)彀卦谑趥愃购由辖ㄔ炜瓤舜髽?907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀十大工程慘劇之一。失穩(wěn)破壞案例案例21995年6月29日下午，韓國漢城三豐百貨大樓，由于盲目擴建，加層，致使大樓四五層立柱不堪重負而產(chǎn)生失穩(wěn)破壞使大樓倒塌，死502人，傷930人，失蹤113人。案例32000年10月25日上午10時南京電視臺演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要穩(wěn)定平衡、臨界荷載

受壓桿滿足強度要求，即不產(chǎn)生破壞，安全粗短桿產(chǎn)生突然的橫向彎曲而喪失承載能力細長桿失去穩(wěn)定性最大工作應力小于材料的極限應力建立不同的準則，即穩(wěn)定性條件，確保壓桿不失穩(wěn)工作最大值

<

臨界值1.穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡

不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定性:指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡F＜FcrF＜FcrF＜Fcr.F≥FcrF≥Fcr穩(wěn)定的不穩(wěn)定的（2）壓桿的平衡狀態(tài)

穩(wěn)定問題與強度問題的區(qū)別平衡狀態(tài)應力平衡方程極限承載能力直線平衡狀態(tài)不變平衡形式發(fā)生變化達到限值小于限值s<sμ變形前的形狀、尺寸變形后的形狀、尺寸實驗確定理論分析計算強度問題穩(wěn)定問題壓桿什么時候發(fā)生穩(wěn)定性問題，什么時候產(chǎn)生強度問題呢？壓桿mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF臨界力概念：干擾力去除后，桿保持微彎狀態(tài)。從撓曲線入手，求臨界力。一，兩端鉸支細長壓桿的臨界力§10-2

臨界力的歐拉公式該截面的彎矩桿的撓曲線近似微分方程壓桿任一x截面沿y方向的位移（a)令

(b)式的通解為（A、B為積分常數(shù)）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw邊界條件

由公式(c)討論：

若

mxmwBxylF則必須

這就是兩端鉸支等截面細長受壓直桿臨界力的計算公式（歐拉公式）。令n=1,得當時，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.mxmwBxylF例題10－1如圖所示，矩形截面的細長壓桿兩端鉸支。已知桿長l=2m,截面尺寸b=40mm，h=90mm，材料的彈性模量E=200

GPa.試計算此壓桿的臨界力Fcr.解：顯然Iy<Iz,故應按Iy計算臨界力。壓桿的臨界力二，其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力1.細長壓桿的形式兩端鉸支一端自由一端固定一端固定一端鉸支兩端固定2.其它支座條件下的歐拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—長度因數(shù)—相當長度歐拉公式lFcrl/4l/4l/2l兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表10-1各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度因數(shù)

=1=0.7=0.5=2歐拉公式的統(tǒng)一形式（為壓桿的長度因數(shù)）5.討論為長度因數(shù)

l為相當長度（1）相當長度l的物理意義壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當長度l.

l是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中相當于半波正弦曲線的一段長度.zyx取Iy，Iz中小的一個計算臨界力.若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界壓力.I為其相應中性軸的慣性矩.

即分別用Iy，Iz

計算出兩個臨界壓力.然后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應取最小的形心主慣性矩.例題10－2一端固定，一端自由的中心細長壓桿。已知桿長l=1m,材料的彈性模量E=200GPa。當分別采用圖示三種截面時，試計算其臨界力。解：1）矩形截面壓桿臨界力2）4.5號等邊角鋼由型鋼表查得壓桿臨界力3）圓環(huán)形截面軸慣性矩壓桿臨界力注意：本例中，三桿截面面積基本相等，但由于其形狀不同，Imin不同，致使臨界力相差很大。例題10－3已知一內(nèi)燃機、空氣壓縮機的連桿為細長壓桿.截面形狀為工字鋼形，慣性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，彈性模量E=2.1×10

5MPa.試計算臨界力Fcr.x8801000yzyxz880FFlxz880（1）桿件在兩個方向的約束情況不同；x8801000yzy（2）計算出兩個臨界壓力.最后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.分析思路：解：x8801000yzy所以連桿的臨界壓力為134.6kN.xy面：約束情況為兩端鉸支m=1，I=Iz，l=1mxz面：約束情況為兩端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時，橫截面上的壓應力可按

=F/A

計算.一、臨界應力與壓桿柔度歐拉公式臨界應力

按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應力為§10-3

臨界應力的歐拉公式i

為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑.

稱為壓桿的柔度（長細比），它綜合地反映了壓桿的長度l和約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應力的影響，

越大，相應的

cr

越小，壓桿越容易失穩(wěn)。令令則有則

若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應力cr。

柔度越大，相應的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn)。二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式是在線彈性的條件下推導出來的，因此，它的適用范圍為或令

即l

≥P（大柔度壓桿或細長壓桿），為歐拉公式的適用范圍.

當＜p但大于某一數(shù)值S的壓桿不能應用歐拉公式，此時需用經(jīng)驗公式.P的大小取決于壓桿材料的力學性能.例如，對于Q235鋼，可取E=206GPa，p=200MPa，得一、臨界應力的經(jīng)驗公式式中：a

和

b是與材料有關的常數(shù)，可查表得出.

S是對應直線公式的最小值.直線公式

的桿為中柔度桿，其臨界應力用經(jīng)驗公式.

或令§10-4

臨界應力的經(jīng)驗公式二、壓桿的分類及臨界應力總圖1.壓桿的分類（1）大柔度桿（2）中柔度桿（3）小柔度桿2.臨界應力總圖lPlS例題10－4圖示各桿均為圓形截面細長壓桿.已知各桿的材料及直徑相等.問哪個桿先失穩(wěn)?dF1.3a

BF1.6aCaFA解：A桿先失穩(wěn).桿A桿B桿CdF1.3a

BF1.6aCaFA例題10－5由25a號工字鋼制成的一端固定、一端鉸支立柱，材料為Q235鋼。已知立柱長l=3.6m，彈性模量E=200GPa，求立柱的臨界力。若將約束條件分別改為兩端鉸支、兩端固定但可沿軸向相對移動，則問立柱的臨界力有何變化？解：1)一端固定一端鉸支長度因數(shù)μ＝0.7，由型鋼表查得A＝48.541cm2，imin=2.4cmImin=280cm4。由表10－2查得

立柱柔度

長度因數(shù)μ＝0.7，A＝48.541cm2，imin=2.4cmImin=280cm4。屬細長桿，臨界力長度因數(shù)μ＝0.5，柔度A＝48.541cm2，imin=2.4cm，Imin=280cm4。

為中柔度桿，用直線公式計算臨界力

3）兩端固定但可沿軸向相對移動

查表得a=304MPa，b＝1.12MPa臨界應力臨界力

例題10－6某機器連桿如圖。已知材料為碳鋼,彈性模量E=2.1×105MPa，屈服極限σs＝306MPa.試確定該連桿的臨界力Fcr。并說明橫截面的設計是否合理。FFlxz580（1）桿件在兩個方向的約束情況不同；x580750yzy（2）分別計算連桿在兩個縱向平面內(nèi)的柔度，柔度大的平面為失穩(wěn)平面。分析思路：解：1）計算柔度x580750yzyxy面：約束情況為兩端鉸支mz=1，l=750mmxy面：兩端鉸支mz=1，xz面：兩端固定my

=0.5，l2=580mmFFlxz580因為λz>λy

，故連桿將在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)。

FFlxz580因為λz>λy

，故連桿將在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)。2）計算臨界力x580750yzy由碳鋼σs＝306MPa.E=2.1×105MPa查表得

連桿屬于中長桿，用經(jīng)驗公式計算臨界力查表得a=461MPa，b＝2.567MPa臨界應力

FFlxz580x580750yzy連桿屬于中長桿，用經(jīng)驗公式計算臨界力a=461MPa，b＝2.567MPa臨界應力臨界力3）由于連桿在xy，xz兩個平面內(nèi)的柔度和相當接近，說明該連桿設計比較合理。例題10-7如圖，一長度l=4m，兩端鉸支的立柱由10號槽鋼制成，承受軸向壓力F的作用，材料為Q235鋼，E=200GPa，（1）求鋼柱壓桿的臨界力；2）若改用兩根10號槽鋼組合成立柱（見圖b），試確定兩槽鋼的間距b和連接板的間距h。并求組合立柱的臨界力。解：1）單根槽鋼的臨界力由型鋼表查得Iz=198.3cm4，z0＝1.52cm，iz＝1.41cm，iy=3.95cm。立柱柔度A＝12.74cm2，I

y

＝25.6cm4，

屬于細長桿，由歐拉公式得臨界力

2）組合柱的幾何尺寸

2）組合柱的幾何尺寸為合理利用材料，兩槽鋼的間距應使組合截面對兩根形心對稱軸的慣性矩相等。

可解得兩槽鋼得間距為防止單根槽鋼繞y軸失穩(wěn)，應使單根槽鋼的柔度λy不大于組合柱的柔度λz（λz＝λy1），既有

將連接板對槽鋼的約束視為鉸支，由上式得連接板的間距

3）組合柱的臨界力組合柱的柔度

屬于細長桿，由歐拉公式得臨界力1.穩(wěn)定性條件

2.計算步驟（1）計算最大的柔度系數(shù)max；

（2）根據(jù)max選擇公式計算臨界應力；（3）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷。一.壓桿的穩(wěn)定性條件§10-5

壓桿的穩(wěn)定條件例題10-7千斤頂如圖，已知絲杠長度l=375mm，有效直徑

d=45mm，材料為45號鋼，所受最大軸向壓力Fmax=80kN，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=4.試校核絲杠的穩(wěn)定性。絲杠可簡化為一端固定、一端自由解：=2截面為圓形屬于中柔度桿1）計算絲杠柔度長度因數(shù)查表得

絲杠柔度絲杠的臨界應力絲杠的工作安全因數(shù)2）計算臨界力用直線公式，查表得：a=461MPab=2.568MPa絲杠的臨界力3）穩(wěn)定性校核

故絲杠穩(wěn)定性滿足要求。例題10-8磨床液壓裝置的活塞桿如圖，已知液壓缸內(nèi)徑D=65mm，油壓p=1.2MPa.活塞桿長度l=1250mm，材料為35鋼，s

=220MPa，E=210GPa，nst

=6。試確定活塞桿的直徑。解：活塞桿承受的軸向壓力為活塞桿承受的臨界壓力為把活塞的兩端簡化為鉸支座。pD活塞桿活塞d用試算法求直徑（1）先由歐拉公式求直徑求得d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直徑計算活塞桿柔度由于>P，所以前面用歐拉公式進行試算是正確的。例題10-9A