第四章 數(shù)值積分

引言

牛頓——柯特斯公式龍貝格算法

第四章數(shù)值積分第一節(jié)引言對(duì)于積分但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會(huì)見到以下現(xiàn)象:以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計(jì)算方法這類方法很多,但為方便起見,最常用的一種方法是利用插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數(shù)這就是數(shù)值求積公式為了使一個(gè)求積公式能對(duì)更多的積分具有較好的實(shí)際計(jì)算意義,就要求它對(duì)盡可能多的被積函數(shù)都準(zhǔn)確地成立因此定義代數(shù)精度的概念:定義1.

若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度例1.試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式:各節(jié)點(diǎn)為:第二節(jié)Newton-Cotes數(shù)值求積公式其中因此對(duì)于定積分:有而令n階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(xiàng)(誤差)即有注意是等距節(jié)點(diǎn)所以Newton-Cotes公式化為思考使用n次Lagrange插值多項(xiàng)式的Newton-Cotes公式至少具有n次代數(shù)精度,并且n為偶數(shù)時(shí)至少具有n+1次代數(shù)精度,試以n=1,2,4為例說明該結(jié)果一、低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也最重要三個(gè)公式,稱為低階公式1.梯形(trapezia)公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為梯形求積公式,也稱兩點(diǎn)公式，記為梯形公式的余項(xiàng)為第二積分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度故2.Simpson公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Simpson求積公式，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項(xiàng)為Simpson公式具有3次代數(shù)精度3.Cotes公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為：求積公式為:上式稱為Cotes求積公式，也稱五點(diǎn)公式.記為Cotes公式的余項(xiàng)為:Cotes公式具有5次代數(shù)精度.4、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)考察Cotes系數(shù)因此用Newton-Cotes公式計(jì)算積分的舍入誤差主要由其值可以精確給定記而理論值為即Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的參見教材此時(shí),公式的穩(wěn)定性將無法保證因此,在實(shí)際應(yīng)用中一般不使用高階Newton-Cotes公式而是采用低階復(fù)合求積法(下節(jié))思考1.n=0時(shí)的Newton-Cotes公式稱為矩形公式，試求出該公式2.試編寫trapezia公式、Simpson公式、Cotes公式的模塊程序程序1：Tixing程序2：Simpson程序3：Cotes

二、復(fù)合求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大公式的舍入誤差又很難得到控制,為提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復(fù)合方法.然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加1、復(fù)合求積公式各節(jié)點(diǎn)為記為由積分的區(qū)間可加性,可得復(fù)合求積公式復(fù)合梯形公式復(fù)合Simpson公式復(fù)合拋物線公式復(fù)合Cotes公式復(fù)合梯形公式分解復(fù)合Simpson公式分解例1.解:為簡單起見,依次使用8階復(fù)合梯形公式、4階復(fù)合Simpson公式和2階復(fù)合Cotes公式可得各節(jié)點(diǎn)的值如右表

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098復(fù)合求積公式的程序newtoncotes.m函數(shù)程序func.m分別由復(fù)合Trapz、Simpson、Cotes公式有原積分的精確值為：精度最高精度次高精度最低比較三個(gè)公式的結(jié)果那么哪個(gè)復(fù)合求積公式的收斂最快呢？2、復(fù)合求積公式的余項(xiàng)和收斂的階我們知道,三個(gè)求積公式的余項(xiàng)分別為單純的求積公式復(fù)合求積公式的每個(gè)小區(qū)間則復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為由于即有又由比較三種復(fù)合公式的的余項(xiàng)為此介紹收斂階的概念定義1：不難知道,復(fù)合梯形、Simpson、Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階通常情況下,定積分的結(jié)果只要滿足所要求的精度即可三、復(fù)合求積公式步長的自動(dòng)選取復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為因此有即依此類推步長自動(dòng)選取的步驟:依此類推以上這種方法稱為自適應(yīng)求積法有時(shí)也去掉精度會(huì)更高以復(fù)合Simpson求積公式的特點(diǎn)為例具有以下特點(diǎn):舊節(jié)點(diǎn)新節(jié)點(diǎn)步長折半綜合前幾節(jié)的內(nèi)容,我們知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代數(shù)精度分別為1次,3次和5次復(fù)合梯形、復(fù)合Simpson、復(fù)合Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階無論從代數(shù)精度還是收斂速度,復(fù)合梯形公式都是較差的有沒有辦法改善梯形公式呢?第三節(jié)Romberg算法1、復(fù)合梯形公式的遞推化各節(jié)點(diǎn)為復(fù)合梯形(Trapz)公式為--------(1)--------(2)--------(3)則由(1)(2)(3)式,有因此(1)(2)(3)式可化為如下遞推公式上式稱為遞推的梯形公式：遞推梯形公式加上一個(gè)控制精度,即可成為自動(dòng)選取步長的復(fù)合梯形公式具體的方法請(qǐng)同學(xué)們完成思考--(4)2、外推加速公式由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)公式可得由(3)式復(fù)合Simpson公式--------(5)--------(6)因此由復(fù)合Simpson公式的余項(xiàng)可得即當(dāng)然令自己證明--------(6)--------(7)--------(8)即當(dāng)然同樣由復(fù)合Cotes公式的余項(xiàng)得令--------(9)外推加速公式以上