第四節(jié)曲面及其方程

第四節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面曲面及其方程第八章一、曲面方程的概念在平面幾何中，平面曲線看作平面上動(dòng)點(diǎn)的幾何軌跡.在空間解析幾何中，空間曲面可以看成是空間中動(dòng)點(diǎn)的幾何軌跡.水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面的實(shí)例：求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面解根據(jù)題意有所求方程為例4方程

的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)曲面的方程構(gòu)成？如何建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程？思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？類似,xoy面上的曲線F(x,y)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：2）xoy面上的曲線C：繞X軸繞Y軸3）zox面上的曲線C：繞X軸繞Z軸好簡單喲求旋轉(zhuǎn)曲面的方程技巧1）yoz面上的曲線C：繞Y軸繞Z軸例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方上式表示的曲面稱為圓錐面，點(diǎn)o稱為圓錐的頂點(diǎn).例4.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母