第四章4 彎曲切應(yīng)力

1§4-5梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件§4-6梁的合理設(shè)計(jì)§I-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式·組合截面的慣性矩和慣性積第4章3彎曲應(yīng)力22§4-5梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件I.梁橫截面上的切應(yīng)力1.矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長(zhǎng)為dx的微段，如圖所示。hbzyO3

由于m-m和n-n上的彎矩不相等，故兩截面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其兩個(gè)端面mm'A1A上與正應(yīng)力對(duì)應(yīng)的法向內(nèi)力F*N1和F*N1也不相等。4它們分別為式中，為面積A*(圖b)對(duì)中性軸z的靜矩；A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。5即由于，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dF'S(圖b)：6

為確定離中性軸z為y的這個(gè)縱截面上與切向內(nèi)力dF'S對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力t'，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應(yīng)力t的情況：71.由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的一部分)，其上無(wú)切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；2.對(duì)稱彎曲時(shí)，對(duì)稱軸y處的切應(yīng)力必沿y軸方向，亦即與側(cè)邊平行。8從而對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面可以假設(shè)：1.橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；2.橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy9

于是根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點(diǎn)的切應(yīng)力t

'均與橫截面正交，且大小相等。至于t'在dx長(zhǎng)度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。這也就是認(rèn)為，縱截面AA1B1B上的切應(yīng)力t'在該縱截面范圍內(nèi)是沒有變化的。于是有10

根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應(yīng)力t

必與t

'互等，從而亦有

以上式代入前已得出的式子得11矩形截面梁橫力彎曲時(shí)切應(yīng)力計(jì)算公式式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz為整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力t

的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩，。

上式就是矩形截面等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。zyy12橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律

前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時(shí)，在對(duì)稱彎曲情況下距中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等?，F(xiàn)在分析橫截面上切應(yīng)力t

在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。

上述切應(yīng)力計(jì)算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t

沿截面高度(即隨坐標(biāo)y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標(biāo)y之間的關(guān)系確定。13bhdy1yyzOy114可見：1.t

沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化；

2.同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0):橫截面上的切應(yīng)力合成剪力橫截面上的剪力產(chǎn)生切應(yīng)力關(guān)于切應(yīng)力的兩點(diǎn)假設(shè)目標(biāo)：距離中性軸為y的直線上各點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處切應(yīng)力大小相等。1、在AC段取長(zhǎng)為dx的微段FsMPPPa2、分析微段上的應(yīng)力3、切開微段分析4、分析微段的平衡條件5、計(jì)算右側(cè)截面正應(yīng)力形成的合力同理6、微元體的平衡方程距離中性軸為y的直線上點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式7、切應(yīng)力計(jì)算公式各項(xiàng)的物理意義1、Fs欲求切應(yīng)力的點(diǎn)所在截面的剪力；2、Iz欲求切應(yīng)力的點(diǎn)所在截面對(duì)中性軸的慣性矩；3、b欲求切應(yīng)力的點(diǎn)處截面的寬度；4、Sz*橫截面上距離中性軸為y的橫線以外部分的面積A1對(duì)中性軸的靜矩。162814482080120208切應(yīng)力分布規(guī)律切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。中性軸處最大正應(yīng)力所在的點(diǎn)工字形截面梁切應(yīng)力沿高度的分布規(guī)律τmax計(jì)算公式切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)中性軸處最大切應(yīng)力腹板上的切應(yīng)力呈拋物線變化；腹板部分的切應(yīng)力合力占總剪力的95~97%。工字形截面的翼緣翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化；翼緣部分的切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算時(shí)一般不予考慮。并與腹板部分的豎向剪力形成“剪應(yīng)力流”。T形截面梁切應(yīng)力沿高度的分布規(guī)律計(jì)算公式中性軸處τmaxT形截面梁切應(yīng)力流圓形截面梁切應(yīng)力的分布規(guī)律1、邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力與圓周相切。AB不能假設(shè)總切應(yīng)力與剪力同向；2、同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)。中性軸處τmax3、豎直分量沿截面寬度均勻分布；圓形截面梁切應(yīng)力沿高度的分布規(guī)律計(jì)算公式沿高度呈拋物線規(guī)律變化。max=2.0FsA圓環(huán)截面的最大切應(yīng)力zy切應(yīng)力的危險(xiǎn)點(diǎn)能否說(shuō)：“切應(yīng)力的最大值一定發(fā)生在中性軸上”？當(dāng)中性軸附近有尺寸突變時(shí)最大切應(yīng)力不發(fā)生在中性軸上；當(dāng)中性軸附近沒有尺寸突變時(shí)最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上；33

某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時(shí)每一膠合方式下膠合縫上的切應(yīng)力。梁的橫截面上剪力FS已知。并比較哪種膠合方式較合理？例題4-12341.圖a所示膠合方式，以底板為分離體，由平衡條件，得bdx(c)zy例題4-12解:35圖b所示膠合方式下，由圖可知：b-2dx(d)zy例題4-1236因此，圖b所示膠合方式更合理。例題4-12372.

工字形截面梁(1)腹板上的切應(yīng)力其中38

可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。39(2)在腹板與翼緣交界處：在中性軸處：40

對(duì)于軋制的工字鋼，上式中的就是型鋼表中給出的比值，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。41(3)翼緣上的切應(yīng)力

翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零(因?yàn)橐砭壍纳稀⑾卤砻鏌o(wú)切應(yīng)力)，可見翼緣橫截面上其它各處平行于FS的切應(yīng)力不可能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個(gè)橫截面上剪力FS的90%以上。42

但是，如果從長(zhǎng)為dx的梁段中用鉛垂的縱截面在翼緣上截取如圖所示包含翼緣自由邊在內(nèi)的分離體就會(huì)發(fā)現(xiàn)，由于橫力彎曲情況下梁的相鄰橫截面上的彎矩不相等，故所示分離體前后兩個(gè)同樣大小的部分橫截面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的合力

和

不相等，因而鉛垂的縱截面上必有由切應(yīng)力t1′構(gòu)成的合力。udxA*自由邊43根據(jù)可得出

從而由切應(yīng)力互等定理可知，翼緣橫截面上距自由邊為u處有平行于翼緣橫截面邊長(zhǎng)的切應(yīng)力t1，而且它是隨u按線性規(guī)律變化的。udxA*自由邊44思考題:

試通過(guò)分析說(shuō)明，圖a中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向是正確的，即它們構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。例

矩形截面的簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，σ，τ分別表示橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是：

A）在A點(diǎn)處，σ=0，τ=0B）在B點(diǎn)處，σ=0，τ=0C）在C點(diǎn)處，σ=0，τ=0D）在D點(diǎn)處，σ=0，τ=0ABCDqL/2L/2D答：ABCDqL/2L/2

Q）

M）ABCD例a、b、c是T形截面梁某截面（存在剪力和彎矩）上的三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)下列結(jié)論哪些是正確的？

1)σa=σb2)σa=σc3)σb≠σc4)σb=-σa5)τb=τc答：4）、5）zyyycba形心例a、b、c是矩形截面梁某截面（存在剪力和彎矩）上的三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)下列結(jié)論哪些是正確的？

1)τa=τb2)τa≠τc3)τb≠

τc

4)σa=σc5)σb=-σc答：1）、5）zyyyabc例

矩形截面簡(jiǎn)支梁，l=10m，b=100mm，h=200mmm，P=40kN。求m-m截面上距中性軸y=50mm處的剪應(yīng)力和梁中的最大剪應(yīng)力，并作m-m截面上剪應(yīng)力分布圖。ABlPzybyhommxτmax=1.5MPa20kN20kNQ)IZ=bh3/12=100×2003/12=66.7×10－6m4SZ*=100×50×(50+25)=375×10－6m3y=50mm處的剪應(yīng)力為：τ=QSZ*/(IZb)=20×103×375×10－6/(100×10－3×66.7×10－6)=1.12MPa最大剪應(yīng)力：Qmax=20kN,τmax=3Q/2A=1.5MPam-m截面處的剪應(yīng)力：Qmm=20kN,截面的上、下邊緣處：τ=0

截面的中間（中性軸）處：τmax=1.5MPa例彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較當(dāng)l>>h時(shí)，smax>>tmax52

由56a號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁如圖a所示，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上腹板上a點(diǎn)處(圖b)的切應(yīng)力ta

。不計(jì)梁的自重。例題4-1353求tmax

梁的剪力圖如圖c所示，由圖可見FS,max=75kN。由型鋼表查得56a號(hào)工字鋼截面的尺寸如圖b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例題4-13解:54例題4-1355其中：于是有：2.求ta例題4-1356腹板上切應(yīng)力沿高度的變化規(guī)律如圖所示。tmax例題4-13573.薄壁環(huán)形截面梁

薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖a所示：

(1)由于d<<r0，故認(rèn)為切應(yīng)力t

的大小和方向沿壁厚d

無(wú)變化；

(2)由于梁的內(nèi)、外壁上無(wú)切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理知，橫截面上切應(yīng)力的方向與圓周相切；58(3)根據(jù)與y軸的對(duì)稱關(guān)系可知：

(a)橫截面上與y軸相交的各點(diǎn)處切應(yīng)力為零；

(b)y軸兩側(cè)各點(diǎn)處的切應(yīng)力其大小及指向均與y軸對(duì)稱。59

薄壁環(huán)形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z上，半個(gè)環(huán)形截面的面積A*=pr0d，其形心離中性軸的距離(圖b)為，故求tmax時(shí)有60及得出：

整個(gè)環(huán)形截面對(duì)于中性軸z的慣性矩Iz可利用整個(gè)截面對(duì)于圓心O的極慣性矩得到，如下：61從而有式中，A=2pr0d為整個(gè)環(huán)形截面的面積。62(4)圓截面梁

圓截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖a所示：認(rèn)為離中性軸z為任意距離y的水平直線kk'上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于k點(diǎn)和k'點(diǎn)處切線的交點(diǎn)O'，且這些切應(yīng)力沿y方向的分量ty相等。因此可先利用公式求出kk'上各點(diǎn)的切應(yīng)力豎向分量ty，然后求出各點(diǎn)處各自的切應(yīng)力。63

圓截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z處，其計(jì)算公式為67II.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

圖a所示受滿布均布荷載的簡(jiǎn)支梁，其最大彎矩所在跨中截面上、下邊緣上的C點(diǎn)和D點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)(stateofuniaxialstress)(圖d及圖e)，故根據(jù)這些點(diǎn)對(duì)該梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)其強(qiáng)度條件就是按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的正應(yīng)力強(qiáng)度條件68

該梁最大剪力所在兩個(gè)支座截面的中性軸上E和F點(diǎn)，通常略去約束力產(chǎn)生的擠壓應(yīng)力而認(rèn)為其處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)

(shearingstateofstress)(圖f及圖g)，從而其切應(yīng)力強(qiáng)度條件是按純剪切應(yīng)力狀態(tài)建立的，即梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為亦即式中，[t]為材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力。69

梁在荷載作用下，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。在選擇梁的截面尺寸時(shí)，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件定出截面尺寸，再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。70

圖a所示梁，其既有剪力又有彎矩的橫截面m-m上任意點(diǎn)G和H處于如圖h及圖i所示的平面應(yīng)力狀態(tài)(stateofplanestress)。71

需要指出，對(duì)于工字鋼梁如果同一橫截面上的彎矩和剪力都是最大的(圖a、b、c)(或分別接近各自的最大值)則該截面上腹板與翼緣交界點(diǎn)處由于正應(yīng)力和切應(yīng)力均相當(dāng)大(圖d)，因此處于平面應(yīng)力狀態(tài)(圖e)。這樣的點(diǎn)必須進(jìn)行強(qiáng)度校核。72

但要注意，這時(shí)不能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核，而必須考慮兩種應(yīng)力的共同作用，見第七章中例題7-7。73

此外，在最大彎矩所在橫截面上還有剪力的情況，工字鋼翼緣上存在平行于翼緣橫截面邊長(zhǎng)的切應(yīng)力，因此最大彎曲正應(yīng)力所在點(diǎn)處也還有切應(yīng)力，這些點(diǎn)事實(shí)上處于平面應(yīng)力狀態(tài)，只是在工程計(jì)算中對(duì)于它們通常仍應(yīng)用按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的強(qiáng)度條件。切應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上；在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，需注意以下問(wèn)題：（1）對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強(qiáng)度條件是主要的，剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件是次要的。對(duì)于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。一般情況下，以正應(yīng)力設(shè)計(jì)為主，切應(yīng)力校核為輔；(2)對(duì)于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時(shí)，注意(4)

薄壁截面梁時(shí)，也需要校核切應(yīng)力。截面上的剪力較大，需要校核切應(yīng)力強(qiáng)度條件。(3)載荷離支座較近時(shí)，截面上的剪力較大；(5)木梁順紋方向，抗剪能力較差;(6)工字形截面梁，要進(jìn)行切應(yīng)力校核;（7）正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的切應(yīng)力為零；切應(yīng)力的最大值發(fā)生在中性軸上，該處的正應(yīng)力為零。對(duì)于橫截面上其余各點(diǎn)，同時(shí)存在正應(yīng)力、切應(yīng)力。這些點(diǎn)的強(qiáng)度計(jì)算，應(yīng)按強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)算。注意77

一簡(jiǎn)易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長(zhǎng)

l=5m。吊車大梁由20a號(hào)工字鋼制成，許用彎曲正應(yīng)力[s]=170MPa，許用切應(yīng)力[t]=100MPa。試校核梁的強(qiáng)度。例題4-14781.校核正應(yīng)力強(qiáng)度。吊車梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁(圖b)。

荷載移至跨中C截面處(圖b)時(shí)梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時(shí)的彎矩圖如圖c所示，例題4-14解:79

由型鋼規(guī)格表查得20a號(hào)工字鋼的Wz=237cm3。梁的最大彎曲正應(yīng)力為例題4-14802.校核切應(yīng)力強(qiáng)度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時(shí)梁的剪力為最大。此時(shí)的約束力FA≈F，相應(yīng)的剪力圖如圖e所示。FS,max=FA=30kN對(duì)于20a號(hào)鋼，由型鋼規(guī)格表查得：例題4-1481于是有由于梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件均能滿足，所以該梁是安全的。(e)例題4-1482

簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載F作用下，全梁彎矩為最大時(shí)，F(xiàn)力的最不利位置，可用如上所述的由經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷。也可用公式推導(dǎo)，即FAABFFBxl例題4-1483例：截面為三塊矩形截面疊加而成(膠合成一體)的梁,[τ]膠=3.4MPa，求：Fmax及此時(shí)的σmax。若截面為自由疊合，σmax的值又為多大。FZ10050解：1、確定Fmax2、確定σmax3、自由疊合時(shí)的σmaxxxFsMF-F*1懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為1m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求許可載荷。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷解：例4.按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷5.梁的許可載荷為例10圖示梁由兩根木料膠合而成，已知木材的容許正應(yīng)力[]=10MPa，容許切應(yīng)力[]=1.0MPa，膠縫的容許切應(yīng)力[1]=0.4MPa，試確定容許荷載集度[q]。AB3mFA=1.5qFB=1.5qz10010050M圖Fs圖⊕⊕○－1.5q1.125q解：求支座反力；畫剪力圖與彎矩圖；

⑴按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；AB3mFA=1.5qFB=1.5q10010050M圖Fs圖⊕⊕○－1.5q1.5qz

⑵按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；1.125qAB3mFA=1.5qFB=1.5q10010050M圖Fs圖⊕⊕○－1.5q1.5qz1.125q

⑶按膠縫切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；例11圖示圓截面梁，直徑d=200mm，材料的容許正應(yīng)力[]=10MPa，容許切應(yīng)力[]=2MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。AB3m1mFA=5kNdFB=10kN解：求支座反力；畫剪力圖和彎矩圖；Fs圖M圖⊕⊕⊕○－○－5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m最大正應(yīng)力發(fā)生在距A端1.25m截面的上下邊緣； 最大切應(yīng)力發(fā)生在B的左截面的中性軸上。 AB3m1mFA=5kNdFB=10kNFs圖M圖⊕⊕⊕○－○－5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m此梁安全。91

例：圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，試求最小直徑dmin。92解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：由剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：例

鑄鐵梁的截面為T字形，受力如圖。已知材料許用拉應(yīng)力為，許用壓應(yīng)力為，。試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度和剪應(yīng)力強(qiáng)度。若將梁的截面倒置，情況又如何？AB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmycz約束反力：200mm30200mmycz解：（1）確定中性軸的位置最大靜矩：AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2）繪剪力圖、彎矩圖約束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN(+)(-)10KN.m20KN.m由、知：（3）正應(yīng)力強(qiáng)度校核對(duì)于A截面：z200mm30200mmycz對(duì)于D截面：z200mm30200mmyczz∴正應(yīng)力強(qiáng)度足夠。因此（4）剪應(yīng)力強(qiáng)度校核在A截面：∴剪應(yīng)力強(qiáng)度足夠。yzhb解：（1）橫截面的切應(yīng)力為：[例5]結(jié)構(gòu)如圖，試證明：（1）任意橫截面上的切應(yīng)力的合力等于該面的剪力；（2）任意橫截面上的正應(yīng)力的合力矩等于該面的彎矩；（3）過(guò)高度中點(diǎn)做縱截面，那么，此縱截面上的切應(yīng)力的合力由哪個(gè)力來(lái)平衡？q100(2)橫截面上的合剪力為：(3)合力偶101(4)中面上的切應(yīng)力為：縱面上的合剪力與右側(cè)面的正應(yīng)力的合力平衡。(5)縱截面上的合剪力大小為：tmaxt￠1、求圖示梁上1-1截面上ａ、ｂ二點(diǎn)的切應(yīng)力，及梁內(nèi)最大的切應(yīng)力。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab2、求圖示梁內(nèi)最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力，并畫出正應(yīng)力與切應(yīng)力的分布規(guī)律。q=10KN/m1mD=503、矩形截面簡(jiǎn)支梁由三根寬為150、高為60的矩形板膠合而成。已知膠合面上的許用剪應(yīng)力為[τ]膠合＝0.5MPａ，梁的許用應(yīng)力為：[σ]＝10MPａ，[τ]＝2MPａ。校核梁的強(qiáng)度。q=2KN/m2m1506060604、矩形截面簡(jiǎn)支梁ｂ×ｈ＝24×100，許用剪應(yīng)力為[τ]＝60MPａ，校核梁的剪切強(qiáng)度。P=10KN5m5mbh5、P＝200KN，均布載荷的集度為q=10KN/m，梁的跨度為L(zhǎng)＝2米，集中力到支座的距離a＝0.2米。梁的許用應(yīng)力為：[σ]＝160MPａ，[τ]＝100MP，選擇工字鋼型號(hào)。q=10KN/mPPaaL6、矩形截面簡(jiǎn)支梁ｂ×ｈ＝24×100，梁的許用應(yīng)力為：[σ]＝120MPａ，許用剪應(yīng)力為[τ]＝100MPａ，校核梁的強(qiáng)度。2m2m2mq=1KN/mP=4KN241007、矩形截面簡(jiǎn)支梁，高：寬＝3：2，梁的許用應(yīng)力為：[σ]＝8MPａ，[τ]＝0.7MPａ，設(shè)計(jì)矩形截面的尺寸ｂ、ｈ。hbq=2KN/m1mP=4KN1m8、矩形截面簡(jiǎn)支梁，寬ｂ＝50，高ｈ＝160，梁的許用應(yīng)力為：[σ]＝１２MPａ，[τ]＝1MPａ，求梁的許可載荷ｑ。hb1m110§4-6梁的合理設(shè)計(jì)I.合理配置梁的荷載和支座111112II.合理選取截面形狀(1)盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。

由四根100mm×80mm×10mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長(zhǎng)肢均平放，故四種截面的高度均為160mm)，他們?cè)谪Q直平面內(nèi)彎曲時(shí)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz如下：113圖a所示截面圖b所示截面圖c所示截面圖d所示截面選擇合理的梁截面1、根據(jù)抗彎截面系數(shù)與截面面積比值Wz/A選擇截面

高h(yuǎn)、寬b的矩形截面

直徑為h的圓形截面

高h(yuǎn)的工字形、槽形截面比較：具有同樣高度h的矩形、圓形和工字形（或槽形）截面的Wz

/A值。

抗彎截面系數(shù)越大，梁能承受載荷越大；橫截面積越小，梁使用的材料越少。綜合考慮梁的安全性與經(jīng)濟(jì)性，可知Wz

/A值越大，梁截面越合理。因此這三種截面的合理順序是：①工字形與槽形截面②矩形截面，③圓形截面。結(jié)論116(2)對(duì)于由拉伸和壓縮許用應(yīng)力值相等的材料(例如建筑用鋼)制成的梁，其橫截面應(yīng)以中性軸為對(duì)稱軸。對(duì)于在壓縮強(qiáng)度遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度的材料(例如鑄鐵)制成的梁，宜采用T形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面，并將其翼緣置于受拉一側(cè)，如下圖。dzyO(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyO(a)117為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為因即118III.合理設(shè)計(jì)梁的外形

可將梁的截面高度設(shè)計(jì)成考慮各截面彎矩大小變化的變截面梁；若使梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則這種變截面梁稱為等強(qiáng)度梁。采用變截面梁變截面梁：梁的截面沿梁軸變化的梁。等強(qiáng)度梁：理想的變截面梁是使所有橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力均相同，并且等于許用應(yīng)力。

例：如圖所示的懸臂梁，自由端作用有集中力F，下面討論該梁的等強(qiáng)度梁截面形狀。懸臂梁的彎矩函數(shù)為：x

選取梁截面為矩形，寬度為常量b，高度可變，設(shè)為h(x)，則所以截面高度沿軸線按拋物線規(guī)律變化，如圖b所示。懸臂梁的彎矩函數(shù)為：x

按梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁截面，等強(qiáng)度梁是理想狀態(tài)，考慮到生產(chǎn)工藝，工程實(shí)際常采用近似的等強(qiáng)度梁，如圖所示的汽車板簧即為應(yīng)用實(shí)例。說(shuō)明

提高彎曲強(qiáng)度的措施——1、合理布置支座一、

降低Mmax——2、合理布置載荷降低MmaxFL/65FL/36安裝齒輪靠近軸承一側(cè)；——3、集中力分散降低MmaxF二、梁的合理截面增大抗彎截面系數(shù)截面面積幾乎不變的情況下，截面的大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸的區(qū)域1、合理設(shè)計(jì)截面抗彎截面系數(shù)WZ越大、橫截面面積A越小，截面越合理。來(lái)衡量截面的經(jīng)濟(jì)性與合理性合理截面合理截面伽利略1638年《關(guān)于兩種新科學(xué)的對(duì)話和證明》“空心梁能大大提高強(qiáng)度，而無(wú)須增加重量，所以在技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用。在自然界就更為普遍了，這樣的例子在鳥類的骨骼和各種蘆葦中可以看到，它們既輕巧而又對(duì)彎曲和斷裂具有相當(dāng)高的抵抗能力?！熬匦谓孛嬷行暂S附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律：解釋z合理截面合理截面要求上下危險(xiǎn)點(diǎn)同時(shí)達(dá)到各自的許用應(yīng)力。對(duì)于塑性材料宜設(shè)計(jì)成關(guān)于中性軸對(duì)稱的截面對(duì)于脆性材料宜設(shè)計(jì)成關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面且使中性軸靠近受拉一側(cè)。2、合理放置截面豎放比橫放更合理。為降低重量，可在中性軸附近開孔。三、等強(qiáng)度梁

工程中的等強(qiáng)度梁

工程中的等強(qiáng)度梁

工程中的等強(qiáng)度梁

2、T型鑄鐵梁，承受正彎矩的條件下，下列哪一種放置中，強(qiáng)度最高？abcd討論1、梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，橫截面繞

旋轉(zhuǎn)A：軸線；B：中性軸；C：橫截面對(duì)稱軸；3、EA均相同，哪一個(gè)截面承擔(dān)的最大彎矩M最大？abcd4、鑄鐵梁有四種截面形式，C為截面形心，y1/y2=2，最佳形狀為：

。2L/5

y2y1

Cy1y2

C5、T型截面鑄鐵梁，受主動(dòng)力偶M作用，從強(qiáng)度的角度看，如何放置？闡述原因。M7、彎曲時(shí)，梁的橫截面中性軸過(guò)形心。對(duì)嗎？6、從哪些方面考慮提高梁的承載力？8、梁在橫力彎曲時(shí)，橫截面上

。A：正應(yīng)力不等于零，剪應(yīng)力等于零；B：正應(yīng)力等于零，剪應(yīng)力不等于零；C：正應(yīng)力、剪應(yīng)力均不等于零；D：正應(yīng)力、剪應(yīng)力均等于零；9、材料、橫截面均相同的兩梁，變形后軸線為兩個(gè)同心圓，那么，最大彎曲正應(yīng)力哪一個(gè)大？ab11、用一塊板與4塊不等邊角鋼組成復(fù)合型截面梁，請(qǐng)畫出合理截面的組合形式。10、梁的某段承受正彎矩時(shí)，靠近頂面或底面的縱向纖維分別：

。12、簡(jiǎn)支梁材料為普通碳鋼，承受均布載荷，采用

截面形式最合理。如果材料為鑄鐵，哪種截面合理？為什么？13、等強(qiáng)度梁各個(gè)橫截面上的

。A：最大正應(yīng)力相等；B：最大正應(yīng)力相等且等于許用正應(yīng)力；C：最大剪應(yīng)力相等；D：最大剪應(yīng)力相等且等于許用剪應(yīng)力；14、廠房中的“魚腹梁”是根據(jù)簡(jiǎn)支梁上

而設(shè)計(jì)的等強(qiáng)度梁。A：受集中力、截面寬度不變B：受均布力、截面寬度不變；C：受集中力、截面高度不變D：受均布力、截面高度不變；15、懸臂梁受力后與大半徑剛性圓柱面貼合，從此后隨力P的增加，梁內(nèi)彎矩

。PA：上升；B：下降；C：不變；小結(jié)1、了解梁純彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)方法2、熟練掌握彎曲正應(yīng)力的計(jì)算、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用4、了解提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施3、掌握彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式、強(qiáng)度條件及其應(yīng)用149§I-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式·組合截面的慣性矩和慣性積

工程中常遇到由基本圖形構(gòu)成的組合截面，例如下面例題中所示的兩種橫截面。當(dāng)對(duì)組合截面桿件計(jì)算在外力作用下的應(yīng)力和變形時(shí)需要求出它們對(duì)于形心軸x、y(本節(jié)中的x軸就是以前我們所用的z軸)的一些幾何性質(zhì)，例如：慣性矩(momentofinertia)慣性積(productofinertia)150

在已知構(gòu)成組合截面的每一圖形對(duì)于通過(guò)其自身形心且平行于組合截面某個(gè)軸(例如x軸)的慣性矩時(shí)，組合截面的慣性矩可利用平行移軸公式求得。組合截面對(duì)于某對(duì)相互垂直的軸(例如x、y軸)的慣性積也可類似地求得。y2y1yx

bd1

hOd2x151

已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對(duì)于形心軸xC和yC的慣性矩及慣性積，現(xiàn)需導(dǎo)出該截面對(duì)于與形心軸xC

，yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。截面的形心C在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為I.慣性矩和慣性積的平行移軸公式152注意到xC軸為形心軸，故上式中的靜矩SxC等于零，從而有因截面上的任一元素dA在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為于是有153同理可得

以上三式就是慣性矩和慣性積的平行移軸公式。需要注意的是式中的