高數(shù)武大上冊2012第七章微分方程-7.5常系數(shù)

常系數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)線性微分方程

第七章一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程三、歐拉方程

一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.當(dāng)時(shí),

特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.當(dāng)時(shí),

特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.解:特征方程:即其根為方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:

特征方程:特征根為則方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)

求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第九節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（一）為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項(xiàng)式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束于是所求解為解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（二）例4.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:

特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、歐拉方程常系數(shù)線性微分方程歐拉方程的算子解法:

則計(jì)算繁!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則由上述計(jì)算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確定系數(shù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.解:

將方程化為(歐拉方程)

則方程化為即②特征根:設(shè)特解:代入②解得A=1,所求通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.解:

由題設(shè)得定解