第11章-彈塑性力學-本構關系

第11章本構關系11.1廣義胡克定律

單向應力狀態(tài)，應力小于屈服應力時，應力應變呈簡單的線性關系為彈性常數（揚氏彈性模量）

三維應力狀態(tài)，一點處的應力狀態(tài)需9個應力分量，相對應的也要用9個應變分量表示11.1廣義胡克定律2任一應變分量要受9個應力分量的制約，獨立應力分量僅有6個。于是，對均勻的理想彈性體：為彈性系數（10-1）11.1廣義胡克定律3張量表示法廣義虎克定律或彈性本構方程彈性系數共有36個。對于各向同性材料，獨立的彈性常數只有2個。（11-1’）附頁①如應力分量與應變分量同以前一樣，用兩個下標符號表示（即），則彈性系數應改用四個下標符號表示。其中的i,j,h,l

只取

1,2,3,

與

的對應關系為：②本構方程有更廣義的含義，凡介質的應力或應力率，應變或應變主導之間關系的物性方程，統(tǒng)稱為本構關系或本構方程（constitutiveequation）為此，令x,y,z為主應變方向，則剪應變分量γxy，γyz，γzx應等于零。于是，由式(4-1)有

圖4-2現在引進坐標系

Ox’y’z’,

原坐標系

Oxyz

繞

y

軸轉動

1800

后可與之重合

(圖4-2)

（a）證明：首先，在彈性狀態(tài)下主應力方向與主應變方向相重合對于各向同性材料，彈性常數應與方向無關。于是對新坐標系有（b）=-1新舊坐標軸間的方向余弦由應力分量的坐標變換公式（2-20）得由（b），（c）可得出（d）（c）比較

(a)，(d)后，得出，所以，必定有同理可得由此得出:

對各向同性彈性體，如

x,y,z軸為主應變方向，則同時必為主應力方向。即應變主軸與應力主軸重合。

現在考察各向同性的材料獨立的彈性常數的個數

為此，首先令坐標軸

Ox，Oy，Oz與主應力方向相一致。于是由式

(10-1)可得主應力與主應變之間有下列關系式:在各向同性介質中，εx對σx的影響應與εy對σy

及εz對σz的影響相同，即應有C11=C22=C33

。同理，εxy和εxz

對σx的影響應相同，即C12=C13

，類似地有C21=C23

，C31=C32

等，因而有（f）（e）由此得出：對應變主軸（用1，2，3表示）來說，彈性常數只有兩個a和b。將上式(f)代人（e）,并令

可得下列彈性本構關系

（11-2）常數λ,μ稱為拉梅彈性常數。

通過坐標變換后,可得任意坐標系

Oxyz內的本構關系為

（11-3）（11-3’）以上證明了各向同性的均勻彈性體的彈性常數只有兩個。

現在考慮一種物體各邊平行于坐標軸的特殊情況，并由此導出工程上常用的彈性常數和廣義胡克定律。當物體邊界法線方向與z

軸重合的兩對邊上有均勻的σz

作用，其他邊均為自由邊時，則由材料力學知道此處

分別為楊氏彈性模量與泊松比（11-6）（11-7）比較式

(11-3)與

(11-6）,(11-7)可得

（11-8）工程上，常把廣義胡克定律用

表示，在這種情況下，式

(11-3)化為（11-9）為各向同性物體的剪切彈性模量。由

G的表達式可知,G并不是獨立的彈性常數。對于各向同性彈性體,獨立的彈性常數只有兩個,即

λ和μ或

E和ν。將式

(11-9)稍加變換后,可縮寫為

其中。如解出應力,則上式轉換為

（11-9’）（11-10）其中如令

（11-11）則廣義虎克定律又可寫成（11-12）（11-13）平面應力問題（11-14）（11-15）平面應力問題用應變分量表示應力分量平面應變問題（11-16）比較以上平面應力與平面應變問題的廣義胡克定律可知,如將平面應力問題應力應變關系公式

(11-13)中的

E換成

E1,ν換成ν1,而

平面應變問題應變分量表示

由式

(11-12)可以看出,物體的變形可分為兩部分:一部分是各向相等的正應力(靜水壓力

)σ引起的相對體積變形；一部分是應力偏量作用引起的物體幾何形狀的變化。并可認為前一種變形不包括物體形狀的改變

(即畸變

),而后一種變形則不包括體積的變化,從而可以將變形分解為兩部分。這種分解在塑性理論中很有用處。

以下順便說明式

(11-2)中E的物理意義。如令變形物體中的微小六面體單元的原始體積為

V。則

變形后的體積為

略去高階微量后,得

此處

或

由此可見，E為變形前后單位體積的相對體積變化，或稱相對體積變形。顯然對于體積不可壓縮材料有E=0。由廣義胡克定律有

當時，

（11-17）11.2彈性應變能函數

彈性體受外力作用后，不可避免地要產生變形，同時外力的勢能也要發(fā)生變化。當外力緩慢地(不致引起物體產生加速運動)加到物體上時,視作靜力,便可略而不計系統(tǒng)的動能,同時也略去其他能量

(如熱能等)的消耗,則外力勢能的變化就全部轉化為應變能

(一種勢能）儲存于物體的內部。

變形上所做的總功為

而

y

方向雖有變形，但沒有外力作用，所以沒有做功。上述所做的功，將全部轉化為系統(tǒng)的應變能。如令總應變能為U，則應有

此處

,Uo為單位體積的應變能

（11-18）（11-19）在上式中引入廣義胡克定律可得

（11-20）（11-20’）（11-22）（11-21）物體的總應變能

簡寫為

（11-23a）此處

分別為用應力分量及應變分量表示的單位體積應變能(應變能密度),統(tǒng)稱為應變能函數。對于理想彈性體,則在每一確定的應變狀態(tài)下,都具有確定的應變能。應變能函數是正定的勢函數,所以彈性變形能又叫彈性勢。式(11-23)表示,彈性應變能

對任一應變分量的改變率等于相應的應力分量；而彈性應變能對任一應力分量的改變率,就等于相應的應變分量。

由式（11-22）得（11-23b）由式（11-21）得

前已敘及,物體的變形可以分解為兩部分,一部分為體積的變化,一部分為形狀的變化。因而應變能也應可以分解為相應的兩部分。容易理解,引起體積變化的各向同性的平均正應力(稱為靜水應力)為

,而與之相應的平均正應變?yōu)?/p>

,就是說,下列應力狀態(tài)不引起微小單元體的形狀改變:（11-24）因而,由于體積變化所儲存在單位體積內的應變能(簡稱為體變能)為引起形狀改變的應力狀態(tài)為應力偏量

如令由于形狀變化所儲存在單位體積內的應變能(簡稱為畸變能)為Uod（11-25）（11-26）用主應力表示的Uod的表達式,即從而總應變能密度為

自上式看出,系統(tǒng)的總應變能密度與坐標的選擇無關,Uo

是一個不變量。

11.3屈服函數與應力空間

簡單拉伸(或壓縮)實驗的應力應變曲線

復雜應力狀態(tài),確定材料的屈服界限就不那么簡單!需要在實驗基礎上建立屈服條件的理論

在一般情況下,屈服條件與所考慮的應力狀態(tài)有關,或者說,屈服條件是該點6個獨立的應力分量的函數,即為

（11-27）（11-28）屈服函數(六維應力空間內的超曲面)各向同性材料

（11-29）球形應力狀態(tài)只引起彈性體積變化,而不影響材料的屈服。所以,可以認為屈服函數中只包含應力偏量

這樣一來,屈服函數化為應力偏量的函數,而且可以在主應力

構成的空間,即主應力空間內來討論。主應力空間是一個三維空間,在這一空間內可以給出屈服函數的幾何圖形,而直觀的幾何圖形將有助于我們對屈服面的認識。現在考察屈服面在主應力空間有什么特征。為此,考慮過坐標原點O與三個坐標軸成等傾斜的直線On

（圖4-5),其方向余弦

l，m，n

都相等

（11-30）即On上每一點都對應于一個球形應力狀態(tài),或靜水壓力狀態(tài),而應力偏量的分量s1,s2,s3都等于零。

現在進一步考慮任一個與On正交的平面,則此平面的方程應為

（11-31）其中r為沿0n

線方向由坐標原點到該平面的距離。顯然,當r=0時,有（11-32）式(11-32)所代表的面為過坐標原點與坐標面等傾斜的面,稱為π平面。如有任一應力狀態(tài)P(σ1

,σ2

,σ3),則OP在On

上的投影為ON,稱為靜水應力分量,其值為

而與On相垂直,即平行于π平面的分量PN,稱為應力偏量分量,其值為（11-33）

如考慮在過P

點而平行于On的線上任一點的應力狀態(tài)P1,則OP1

在π平面上的投影必與OP

在該面上的投影相同,而靜水壓力分量不同。即過P

點平行于On

的線上所有的點都有相同的應力偏量分量。

我們曾經討論過,一點的塑性屈服只取決于應力偏量狀態(tài),而與靜水應力無關。

由此可知,屈服函數必定是π平面上的一條封閉曲線,稱為屈服曲錢。對于整個應力空間來說,這條曲線并不隨r的大小而變化。于是,在主應力空間內,屈服面是以On

為軸線,以π平面上的屈服曲線為截面形狀的一個與坐標軸成等傾斜的柱體的表面。屈服曲線在π平面內有下列重要性質:(1)屈服曲線是一條封閉曲線,而且坐標原點被包圍在內。(2)屈服曲線與任一從坐標原點出發(fā)的向徑必相交一次,且僅有一次。

在只討論初始屈服的條件下,材料既然在一種應力狀態(tài)下達到屈服,就不可能又在與同一應力狀態(tài)差若干倍數的另一應力狀態(tài)再達到屈服。初始屈服只有一次。(3)屈服曲線對三個坐標軸的正負方向均為對稱。

由于應力偏量對σ1

,σ2

,σ3的對稱性和不計鮑辛格效應,因而對σ1

,σ2

,σ3軸的兩側及其正負方向均為對稱。(4)屈服曲線對坐標原點為外凸曲線,屈服面為外凸曲面。

屈服面的外凸性是屈服函數的重要特性,以下將證明屈服面的外凸性。

11.4德魯克公設與伊留申公設

（11-34）（11-35）材料穩(wěn)定性假設。對于強化材料,如圖4-6a所示,如應力增量dσ>0,則將產生應變增量,于是應力增量dσ在dε

上所做的功必為dσdε>0。有這種特性的材料稱為穩(wěn)定的。

11.4德魯克公設與伊留申公設

（11-34）（11-35）對于穩(wěn)定材料

及其中

為任一彈性應力狀態(tài)。不等式(11-34)和(11-35)分別表示:(1）在加載過程中,應力增量所做的功dWD

恒為正；(2)在加載與卸載的整個循環(huán)中

,應力增量所完成的凈功dWD

恒為非負。這兩項關于材料特性的論斷,稱為穩(wěn)定性假說,又稱德魯克公設。

在第二條假說中并未限定彈塑性材料的性質,所以它對理想彈性材料和彈塑性強化材料都是適用的。對于強化材料來說,當初始屈服以后,應力繼續(xù)增加時,屈服面將隨應力變化過程按一定的規(guī)律變化,形成一系列屈服面,這些屈服面都叫做繼生屈服面(或加載面)。

這樣,如物體某點處的應力狀態(tài)為

,相應于應力空間中的A點(圖4-7),之后,由于加載,應力點的移動軌跡為A→B→C,再由C卸載至A。在這加載與卸載的循環(huán)中,總應變增量為

,其彈性應變增量

是可恢復的,塑性應變增量

是不可恢復的。所以在ABCA循環(huán)內,有

其中

為任一屈服應力狀態(tài)(B點)這樣一來,穩(wěn)定性假說的第二條實際上可寫為

考慮到AB段為彈性加載過程,CA段為卸載過程(按彈性規(guī)律),所以塑性應變增量;只在BC

段產生。于是,上述回路積分可改寫為

（11-36）（11-36a）（11-36b）在應力循環(huán)ABCA中,塑性變形的變化是一個無窮小量,即

是一個無窮小量,

也是一個無窮小量。當BC→0,可近似地得

或對于理想剛塑性材料,當應力點位于屈服面上時,則只可能有如將塑性應變空間

與應力空間

重合起來,不等式(11-36)實際上可解釋為兩個矢量

與

的數量積(如圖4-8所示),即

（11-37）于是必有必為銳角

（11-38）（11-39）另一方面,同樣情況,因可使

的模大于

的模及或即矢量

與

互成銳角。即屈服面必為外凸曲面。

（11-40）

上述德魯克公設是在應力空間討論的。同類的問題也可以放在應變空間中討論。伊留申(A.A.Ilpyushin)于1961年提出了一個新的假說,稱為伊留申公設?？杀硎鰹?彈塑性材料的物質微元體在應變空間的任一應變循環(huán)中所完成的功為非負,即

或即(1)德魯克公設是在應力空間討論問題,而伊留申公設則是在應變空間討論問題。(2)根據德魯克公設可以導出應力主間的屈服面具有外凸性;同時根據伊留申公設也可以導出應變空間的屈服面具有外凸性。(3)德魯克公設只適用于穩(wěn)定性材料(應變強化材料),而伊留申公設則適用于應變強化和應變軟化等特性的材料(4)由圖4-10可以看出任一應力循環(huán)所完成的功WD,總是小于任一應變循環(huán)所完成的功WI,即(5)伊留申公設比德魯克公設較強,即在德魯克公圖4-10設成立的條件下,伊留申公設一定成立。反之則不然。

11.5常用的屈服條件

1.最大剪應力條件

（11-41）

特雷斯卡(H.Tresca)根據自己的實驗結果,認為最大剪應力達到某一數值時材料就發(fā)生屈服。即

此處,τ。為材料的剪切屈服應力。對于不同的固體材料的τ。值要由實驗確定。

最大剪應力條件要求預先知道最大與最小主應力。假定

,則

11.5常用的屈服條件

1.最大剪應力條件

（11-42）在簡單拉伸的情況下,當為簡單拉伸屈服應力）,則

這就是說,根據最大剪應力條件,純剪屈服應力是簡單拉伸屈服應力之半。于是得（11-43）在一般情況下,即

不按大小次序排列,則下列表示最大剪應力的6個條件中的任一個成立時,材料就開始屈服最大剪應力條件或特雷斯卡條件

（11-44）對于二維應力狀態(tài)(σ3=0)則有在σl

—σ2

平面內的圖形為一六邊形(圖4-12)稱為屈服六邊形。

屈服六邊形上

塑性狀態(tài)

彈性狀態(tài)(內部點)2.畸變能條件

（11-45）（11-46）畸變能條件認為,與物體中一點的應力狀態(tài)對應的畸變能達到某一數值時,該點便屈服,由畸變能公式(11-25)有故畸變能條件可寫為或（11-47）主應力表示（11-48）其中k

為表征材料屈服特征的參數,可由簡單拉伸實驗確定。此時

為簡單拉伸屈服應力。將此值代人式(4-47)得即在純剪狀態(tài)(σl=-σ3,σ2=O),則

k

恒等于在純剪切應力狀態(tài)屈服時的最大剪應力τmax

(=τ0

)。因而k

可由純剪實驗(例如薄管受扭作用實驗)得到。根據畸變能條件,純剪切屈服應力是簡單拉伸屈服應力的(約0.577)倍。

對于二維應力狀態(tài),畸變能條件為

（11-49）（11-50）橢圓

畸變能條件系米澤斯R.vonMises提出，稱為米澤斯條件。在主應力空間為等傾斜的圓柱體，稱為米澤斯圓柱。該圓柱外接于特雷斯卡六角柱體（圖4-11）.對于二維應力狀態(tài),畸變能條件為

（11-49）（11-50）橢圓

3.混凝土材料的屈服條件（11-51）（11-52a）（11-52b）4.巖土屈服條件（11-53）（11-55）（11-54）11.6增量理論

當受力物體中的一點的應力狀態(tài)滿足屈服條件而進入塑性階段以后,彈性本構關系(即廣義胡克定律)對該點就不適用。因而,需要建立塑性階段的本構方程來描繪塑性應力和應變之間或應力增量和應變增量之間的關系。

塑性應力應變關系的重要特點是它的非線性和不惟一性。

當外載荷變化時,應力點移動的軌跡稱為應力路徑,這一過程稱為應力歷史。

在彈性階段,應變可由應力直接用胡克定律求出。

在塑性階段,應變狀態(tài)不但與應力狀態(tài)有關,而且依賴于整個的應力歷史。

11.6增量理論

一點處應力狀態(tài)進入塑性狀態(tài)以后,相應的總應變可以分為兩部分:彈性應變部分和塑性應變部分其中彈性部分服從胡克定律,塑性部分為總應變與彈性應變之差。容易理解,塑性部分是卸載后不能消失的殘留應變,當卸載發(fā)生時,保持不變,而僅在繼續(xù)加載時才發(fā)生變化。有時為了方便,

的初始假定為零,之后的應變值便是與零應變相比較的相對值。4.6增量理論

以上說明,塑性應變與加載路徑有關,所以,我們必須討論應力的變化特征和應變的變化特征,并且將進一步限定從考慮其無窮小的變化,計算其全部加載歷史過程的增量,之后用積分或求和的辦法求出總應變。這就是為什么塑性理論具有增量特征的原因。應當指出,工程上常有一種重要的加載路徑,叫做比例加載。在這種加載條件下,塑性應變僅與最終應力狀態(tài)有關。在比例加載的條件下,外載荷與應力均按同一比例增長,問題的分析將由此得到簡化。11.6增量理論

（11-56）（11-56’）彈塑性體內的任一點的總應變己知為

當外載荷有微小增量時,總應變也要有微小增量

上式展開為11.6增量理論

前曾述及：對金屬材料而言,即使在高壓情況下,由于平均正應力的作用物體所產生的變形只可能是彈性體積改變,而不會產生塑性體積改變。而在應力偏量作用下,物體則將產生畸變,不發(fā)生體積改變。物體的畸變又包括兩部分,即彈性變形和塑性變形。這就是說,塑性變形僅由應力偏量所引起。且認為在塑性狀態(tài),材料不可壓縮,即體積變形等于零（11-57）或而于是,應變偏量增量的分量為（11-58）即在彈性階段,根據廣義胡克定律,有（11-59）注意到,應力偏量的增量為

,則有

（11-60）（11-61）即有在彈性階段,應力偏量增量與應變偏量增量成比例,比例常數為2G增量形式的廣義胡克定律為

塑性應變增量由式(11-56)為

（11-62）（11-63）即有或以下討論塑性應變增量的表達式,即增量理論的本構方程。（11-64）（11-65）

增量理論基于以下假定:在塑性變形過程中的任一微小時間增量內

,塑性應變增量與瞬時應力偏量成比例,即或其中dλ

為非負的標量比例系數,且可根據加載歷史的不同而變化。前已述及,由于體積變化是彈性的,即平均正應變的塑性分量等于零。在式(11-45)中,塑性應變增量也就是塑性應變偏量增量。由于總應變可視為彈性應變分量與塑性應變分量之和,將式(11-65)代入式(11-63)后,得總應變增量與應力偏量之間的下列關系式:（11-66）式(11-66)稱為普朗特-雷斯方程

（11-67）方程(11-65)表示,望性應變增量依賴于該瞬時的應力偏量,而不是達到該狀態(tài)所需的應力增量。這就是說,應力主軸與塑性應變增量主軸相重合。

由方程(11-65)有（11-68）以上引進了一個參數dλ,不過也增加了一個屈服條件,dλ在應力滿足屈服條件時才不等于零,因此可以通過屈服條件來求dλ

。為此,在式(10-67）中,將第一式減第二式得兩邊平方后,得

類似地,求出

（11-69）后

,可得（11-70）于是得（11-71）（