【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學 第七章第七節(jié) 立體幾何體中的向量方法 A

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則(

)A．l1∥l2

B．l1⊥l2C．l1與l2相交但不垂直

D．以上均不正確解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，從而l1⊥l2.答案：B2．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為(

)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案：C3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為________．4．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1

中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC＝BC＝BB1.(1)求證：BC1⊥AB1；(2)求證：BC1∥平面CA1D.證明：如圖，以C1點為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．1．兩個重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的向量，一條直線的方向向量有

個．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有

個，它們是共線向量．無數(shù)無數(shù)2．直線的方向向量與平面的法向量在確定直線和平面位置關系中的應用(1)直線l1的方向向量為u1＝(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2?u1＝λu2?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?u1·u2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)直線l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，則u⊥n?u·n＝0?

.若l⊥α，則u∥n?u＝kn?

.(3)平面α的法向量為u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2?u1＝ku2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；若α⊥β，則u1⊥u2?u1·u2＝0?

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2a1a2＋b1b2＋c1c2＝03．利用空間向量求空間角(1)求兩條異面直線所成的角設a、b分別是兩異面直線l1、l2的方向向量，則(2)求直線與平面所成的角設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ.則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.考點一利用空間向量證明平行、垂直關系如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF.(2010·天津高考)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．考點二利用空間向量求空間角(2010·湖南高考)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．考點三利用空間向量解決存在性問題如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點．(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．利用空間向量證明空間中線面關系，計算空間的各種角是高考對立體幾何的常規(guī)考法．它以代數(shù)運算代替復雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來了鮮活的方法．另外，空間向量還可以用來解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學生的能力，因此正逐漸成為高考命題的熱點題型．2．證明空間向量的平行、垂直的方法(1)證線線平行與垂直．若直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則：①l1∥l2?v1∥v2.②l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)證線面平行與垂直若直線l的方向向量為v，平面α的法向量為n，則：①l∥α?v⊥n.②l⊥α?v∥n.(3)證面面平行與垂直若平面α和β的法向量分別為n1，n2，則①α∥β?n1∥n2.②α⊥β?n1⊥n2.3．利用空間向量求空間角的方法(1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.(2)利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有兩種辦法：①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．(3)利用空間向量方法求二面角，也可以有兩種辦法：①分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。虎谕ㄟ^平面的法向量來求：設二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[特別警示]利用空間向量方法求二面角時，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角．1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是(

)A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D選項中a·n＝－3＋3＝0.答案：D2．設平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝(

)A．2