電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)之圓邊界問題

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)之圓邊界問題吉林松花江中學(xué)郭洪英前提知識(shí)儲(chǔ)備1、明確帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的受力特點(diǎn)2、明確帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律3、掌握定圓心求半徑及求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方法4、熟記并掌握重要結(jié)論

圓心的確定方法利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角）。并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：①粒子速度的偏向角等于轉(zhuǎn)過的圓心角，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）θ的2倍，如圖所示，即。

②相對(duì)的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ+θ′=180°。半徑的確定和計(jì)算vvoAB

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定

若要計(jì)算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時(shí)間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對(duì)的圓心角，并由表達(dá)式，確定通過該段圓弧所用的時(shí)間，其中T即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時(shí)間t越長(zhǎng)，注意t與運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短無關(guān)。vvoAB

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性帶電粒子垂直射入磁場(chǎng)后，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．分析粒子運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們具有對(duì)稱的特點(diǎn)，即：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于入射點(diǎn)A與出射點(diǎn)B的中垂線對(duì)稱，軌跡圓心O位于對(duì)稱線上，這也是我們定圓心方法的由來。入射速度、出射速度與AB線間的夾角(也稱為弦切角)相等．

應(yīng)用這一粒子運(yùn)動(dòng)中的“對(duì)稱性”不僅可以輕松地畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)于某些臨界問題的求解也非常便捷．vvOAB點(diǎn)睛銘記對(duì)稱性重要結(jié)論

結(jié)論1、徑向入、徑向出在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。

結(jié)論2、直徑最小帶電粒子從直徑的一個(gè)端點(diǎn)射入磁場(chǎng)，則從該直徑的另一端點(diǎn)射出時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)域面積最小。

結(jié)論3、平行入一點(diǎn)出，一點(diǎn)入平行出當(dāng)磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑時(shí)，若一束粒子平行射入磁場(chǎng)圓，出射時(shí)必匯聚于一點(diǎn)。相反，從某點(diǎn)射入磁場(chǎng)的所有粒子，出射時(shí)的方向必平行。注意：前提是磁場(chǎng)圓與軌跡圓半徑相等結(jié)論4、弦長(zhǎng)越長(zhǎng)時(shí)間越長(zhǎng)當(dāng)速度大小一定（軌跡圓大小確定）時(shí)，弧長(zhǎng)（或弦長(zhǎng)）越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的偏向角越大，時(shí)間越長(zhǎng)。應(yīng)用題型：含有放射源（或動(dòng)圓類）問題?？紗栴}解析1、帶電粒子沿徑向進(jìn)入磁場(chǎng)的問題例1

在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),如圖所示.一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場(chǎng),它恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出.（1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷.（2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng),但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？

解析

（1）由粒子的運(yùn)行軌跡,利用左手定則可知,該粒子帶負(fù)電荷.粒子由A點(diǎn)射入,由C點(diǎn)飛出,其速度方向改變了90°,則粒子軌跡半徑又則粒子的比荷（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了60°角,故AD弧所對(duì)圓心角為60°,如右圖所示

做好輔助線,粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由幾何關(guān)系可得:又所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間總結(jié)rvRvO/O

銘記：徑向入徑向出

畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）半徑（或圓心角）可由θ2、求磁場(chǎng)圓半徑或面積最小值問題例2、在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy中，有一個(gè)圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁場(chǎng)方向垂直于xoy平面，O點(diǎn)為該圓形區(qū)域邊界上的一點(diǎn)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）從O點(diǎn)以初速度vo沿+x方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子經(jīng)過y軸上P點(diǎn)時(shí)速度方向與+y方向夾角為θ＝30o，OP=L求：⑴磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向

⑵該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積OyxPv0v0θO′Q解析：（1）由左手定則得磁場(chǎng)方向垂直xoy平面向里,由幾何關(guān)系可得粒子在磁場(chǎng)中所做的是1/3圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，粒子在Q點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，設(shè)其圓心為O′，半徑為R，則有聯(lián)立①②得（2）如圖得Q

O′L120°θOyxPv0v0θRR………②銘記：直徑最小………①

3、一束粒子平行射入磁場(chǎng)圓或從磁場(chǎng)圓上一點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)圓的問題例3

若磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑，則平行入，一點(diǎn)出解析：例4、如圖半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切；磁場(chǎng)B＝0．33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子質(zhì)量為m=6.6×10-27kg，電量q=3.2×10-19c，則α粒子通過磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t各多少？α粒子從點(diǎn)O入磁場(chǎng)而從點(diǎn)P出磁場(chǎng)的軌跡如圖圓O/所對(duì)應(yīng)的圓弧所示，該弧所對(duì)的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角θ，因?yàn)閛p是磁場(chǎng)圓的直徑，對(duì)應(yīng)于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的最長(zhǎng)弦。由上面計(jì)算知△SO/P必為等邊三角形，故θ＝60°此過程中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。解析：α粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)半徑：銘記：弦越長(zhǎng)時(shí)間越長(zhǎng)課后鞏固練習(xí)1、如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶電粒子以速度v從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過時(shí)間從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，OC與OB成60。角。現(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)閂/3，仍從A點(diǎn)沿原方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)椋ǎ〢、B、C、D、解析：根據(jù)作圖法找出速度為v時(shí)的粒子軌跡圓圓心O‘，由幾何關(guān)系可求出磁場(chǎng)中的軌跡弧所對(duì)圓心角∠，軌跡圓半徑，當(dāng)粒子速度變?yōu)関/3時(shí)，其軌跡圓半徑

,磁場(chǎng)中的軌跡弧所對(duì)圓心角

∠

答案:B2、在真空中，半徑為r=3×10-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.2T，方向如圖所示，一帶正電粒子，以初速度v0=106m/s的速度從磁場(chǎng)邊界上直徑ab一端a點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，已知該粒子荷質(zhì)比為q/m=108C/kg，不計(jì)粒子重力，則(1)粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是多少？(2)若要使粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時(shí)粒子的方向應(yīng)如何（以v0與Oa的夾角θ表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？Oab解析:(1)設(shè)粒子圓運(yùn)動(dòng)半徑為R，則(2)由圖知：弦長(zhǎng)最大值為ab=2r=6×10-2m設(shè)速度偏轉(zhuǎn)角最大值為，此時(shí)初速度方向與ab連線夾角(弦切角)為θ，則點(diǎn)撥本題雖然是一個(gè)粒子從a點(diǎn)進(jìn)磁場(chǎng)，但因?yàn)榉较虿淮_定，相當(dāng)于在a點(diǎn)有個(gè)放射源。OabrR3、如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。xoabyvv解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均