機械振動基礎第一章的PPT

單自由度系統(tǒng)的振動2023/2/21《振動力學》教學內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼系統(tǒng)的自由振動有阻尼系統(tǒng)的自由振動簡諧激勵下的受迫振動基礎簡諧激勵下的受迫振動周期激勵下的振動分析瞬態(tài)激勵下的振動分析2023/2/22什么是自由度在振動過程中任何瞬時都能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨立坐標的數(shù)目。剛體在空間有6個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉(zhuǎn)動，如飛機、輪船；質(zhì)點在空間有3個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球；質(zhì)點在平面有2個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單自由度。單自由度系統(tǒng)僅需一個獨立坐標來描述的系統(tǒng)。注意：對于實際系統(tǒng)，當考慮問題的深度、廣度不同時，則可能簡化成不同自由度的振動系統(tǒng)。1.1概述2023/2/231.1概述構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成振動系統(tǒng)的基本元素有慣性(質(zhì)量)、恢復性（彈簧）和阻尼（阻尼器）。

慣性就是能使物體當前運動持續(xù)下去的性質(zhì)。

恢復性就是能使物體位置恢復到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。

阻尼就是阻礙物體運動的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。2023/2/24ModelingWhy？分析復雜的實際問題，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學語言來描述的關(guān)系或規(guī)律，把這個實際問題化成一個數(shù)學問題，這就稱為建模。建模要抓住實際問題的主要因素。模型建立起來了，實際問題化成了數(shù)學問題。1.1概述單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/251.1概述Modeling實際系統(tǒng)有限元模型離散模型簡化系統(tǒng)簡化系統(tǒng)連續(xù)體模型對于振動問題的適應性強，應用范圍廣，能詳細給出各種數(shù)值結(jié)果，并通過圖像顯示還可以形象地描述振動過程。單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/261.1概述動力學的基本原理自由度和廣義坐標牛頓第二定律質(zhì)系動量矩定理機械能守恒定律D’Alembert原理Lagrange方程單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/271.1概述步驟：

建立廣義坐標作質(zhì)量元件的隔離體受力分析圖建立振動微分方程并整理成標準的形式單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/281.1概述Example1SDOFdampingsystem單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/291.1概述SDOFdampingsystem建立廣義坐標。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標x。原點在系統(tǒng)的靜平衡位置，向下為正。

隔離體受力分析由力學原理得到Example2單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/2101.1概述PendulumExample3單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/2111.1概述Pendulum建立廣義坐標。單擺偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角θ，坐標零位在鉛垂位置，逆時針方向為正。隔離體受力分析

由動量矩原理得到Example3Rmg單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/2121.1概述VibrationoffluidExample4單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/2131.1概述Vibrationoffluid建立廣義坐標。設系統(tǒng)平衡時液面的位置為廣義坐標的零位，液柱沿直管上升的距離y為廣義坐標。

受力分析由D’Alembert原理得到Example4單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/2141.1概述單自由度振動系統(tǒng)微分方程的一般形式單自由度系統(tǒng)振動方程2023/2/2152023/2/216力學模型給圖示系統(tǒng)一個初始擾動。便會產(chǎn)生振動響應。其中δs為靜變形。數(shù)學模型

即：1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動令：單位：弧度/秒（rad/s）則有：固有頻率2023/2/217求解方程1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動令得到特征方程有If微分方程轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程

2023/2/2181.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/2191.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動

簡諧振動

固有頻率固有圓頻率固有頻率

周期

振幅&相位只與系統(tǒng)本身元件的參數(shù)有關(guān)InitialconditionsPhysicalproperties無阻尼系統(tǒng)的振動特性2023/2/220

考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動

設的初始位移和初始速度為：解得：1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動零初始條件下的自由振動：2023/2/221零初始條件下的自由振動：無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件的說明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能。1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/222零初始條件下的自由振動：無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件：固有頻率從左到右：時間位置1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/223固有頻率計算的另一種方式：

在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統(tǒng)，若能測出靜變形，則用該式計算是較為方便的。0mu靜平衡位置彈簧原長位置1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/224例：提升機系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。W1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/225解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置則t=0時，有：振動解：W靜平衡位置kuWv1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/226振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：動張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動引起的動張力，應當降低升降系統(tǒng)的剛度Wv1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/227例：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動頻率和最大撓度mh0l/2l/21.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/228解：由材料力學：自由振動頻率為：取平衡位置以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系靜變形mh0l/2l/2u靜平衡位置1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/229撞擊時刻為零時刻，則t=0

時，有：則自由振動振幅為：梁的最大擾度：mh0l/2l/2u靜平衡位置1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/230例：圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置扭振固有頻率為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由牛頓第二定律：1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/231由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動的數(shù)學描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。0mu靜平衡位置彈簧原長位置1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/232從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復原來狀態(tài)的恢復力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。0mu靜平衡位置彈簧原長位置1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/233例：復擺剛體質(zhì)量m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量重心C

求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率a0C1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/234解：由牛頓定律：因為微振動：則有：固有頻率：實驗確定復雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：a0C1.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/235例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零求：系統(tǒng)的運動方程m300重力角速度取9.81.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/236解：以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系振動固有頻率：振動初始條件：考慮方向初始速度：運動方程：m3001.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/237作業(yè)1P44題1-3P45題1-52023/2/2382023/2/239等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)多個質(zhì)量（彈性、阻尼）元件等效為一個質(zhì)量（剛度、阻尼）元件。連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性等效成一個質(zhì)量元件和一個彈性元件。單自由度振動系統(tǒng)微分方程的一般形式平動：轉(zhuǎn)動：2023/2/240等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢能不變。斜向布置的彈簧等效彈簧剛度2023/2/241等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢能不變。并聯(lián)和串聯(lián)彈簧2023/2/242等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢能不變。并聯(lián)彈簧Parallelsprings等效彈簧剛度2023/2/243等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)SeriesSprings串聯(lián)彈簧等效彈簧剛度1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢能不變。2023/2/244等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)Example求圖示系統(tǒng)對A點的等效質(zhì)量Spring-lever-masssystem等效前系統(tǒng)的動能等效后系統(tǒng)的動能∵2等效質(zhì)量

等效前后系統(tǒng)動能不變2023/2/245作業(yè)mk1k2k3k4已知:

m

=0.3kg求等效剛度ke和固有頻率2023/2/2462023/2/247阻尼自由振動前面的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統(tǒng)的機械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學上描述阻尼的方法，但是實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學模型是粘性阻尼。在流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認為受到粘性阻尼。1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/248粘性阻尼力與相對速度稱正比，即：c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)單位：數(shù)學模型：或?qū)憺椋汗逃蓄l率相對阻尼系數(shù)

mkcmu0力學模型取坐標如圖，靜平衡位置為坐標原點。據(jù)牛頓定律寫出運動微分方程：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/249動力學方程：設有特解：特征方程：特征根：三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼求解方程代入微分方程得：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/250第一種情況：欠阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率通解：a1、a2：初始條件決定一對共軛復數(shù)根1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/251欠阻尼振動解：設初始條件：則：或：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/252欠阻尼振動解：阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：T0：無阻尼自由振動的周期特性一：阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/253欠阻尼響應圖形振動解：特性二：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動ξ=0ξ<1時間位置阻尼大，則振動衰減快；阻尼小，則衰減慢1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/254評價阻尼對振幅衰減快慢的影響與t

無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之比均為衰減振動的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部減幅系數(shù)定義為相鄰兩個振幅的比值：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/255減幅系數(shù)：含有指數(shù)項，不便于工程應用實際中常采用對數(shù)衰減率：特性三：振幅按幾何級數(shù)衰減。1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/256

第二種情況：過阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：兩個不等的負實根通解：a1、a2：初始條件決定1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/257設初始條件：則：一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生響應圖形振動解：過阻尼1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/258動力學方程：特征方程：特征根：特征根：二個重根通解：a1、a2：初始條件決定

第三種情況：臨界阻尼1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/259振動解：臨界阻尼則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些臨界阻尼系數(shù)設初始條件：響應圖形1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/260tu(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/261小結(jié)：動力學方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，比過阻尼衰減快振幅衰減振動1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/262例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/263解：由題知設求導：設在時刻t1

質(zhì)量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅u1kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/264由題知解得：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/265例：剛桿質(zhì)量不計求：（1）寫出運動微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量mlakcmb1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/266解：阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：m廣義坐標力矩平衡：受力分析lakcmb1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動2023/2/2672023/2/268阻尼在所有振動系統(tǒng)中是客觀存在的大多數(shù)是非粘性阻尼，其性質(zhì)各不相同非粘性阻尼的數(shù)學描述比較復雜處理方法之一：采用能量方法將非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼原則：等效粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量等于要簡化的非粘性阻尼在同一周期內(nèi)消耗的能量1.5等效粘性阻尼討論以下幾種非粘性阻尼情況：干摩擦阻尼低粘度流體阻尼結(jié)構(gòu)阻尼2023/2/269（1）干摩擦阻尼（庫侖阻尼）摩擦力：：摩擦系數(shù)：正壓力：符號函數(shù)摩擦力一個周期內(nèi)所消耗地能量：等效粘性阻尼系數(shù)：1.5等效粘性阻尼2023/2/270（2）低粘度流體阻尼工程背景：低粘度流體中以較大速度運動地物體：阻力系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：阻尼力與相對速度地平方成正比，方向相反摩擦力：在運動方向不變的半個周期內(nèi)計算耗散能量，再乘2：1.5等效粘性阻尼2023/2/271（3）結(jié)構(gòu)阻尼由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱為結(jié)構(gòu)阻尼：比例系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：特征：應力－應變曲線存在滯回曲線內(nèi)摩擦所耗散的能量等于滯回環(huán)所圍的面積：加載和卸載沿不同曲線應變應力加載卸載01.5等效粘性阻尼2023/2/2722023/2/2731.6簡諧力激勵下的受迫振動振動系統(tǒng)在外力作用下引發(fā)的振動。受迫振動也稱強迫振動．2023/2/274彈簧－質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)設外力幅值外力的激勵頻率

mkcu0m力學模型1.6簡諧力激勵下的受迫振動數(shù)學方程2023/2/275振動微分方程：顯含時間t非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態(tài)響應持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應本節(jié)內(nèi)容1.6簡諧力激勵下的受迫振動振動微分方程的解2023/2/2761.6簡諧力激勵下的受迫振動其中,u1(t)為相應齊次方程的解瞬態(tài)響應

u2(t)為方程的特解穩(wěn)態(tài)響應振動微分方程的解2023/2/2771.6簡諧力激勵下的受迫振動系統(tǒng)的全響應為:上式中的待定系數(shù)由初始條件確定，當時，R不一定為零，這是它與自由振動的區(qū)別。表示有阻尼自由振動響應，它是衰減振動，僅在振動開始后一段時間內(nèi)有意義，屬于瞬態(tài)解表示受迫振動響應，它是持續(xù)的等幅振動，屬于穩(wěn)態(tài)解。振動微分方程的解2023/2/278（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩(wěn)態(tài)響應的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式（即初始條件）無關(guān)結(jié)論：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/279穩(wěn)態(tài)響應的特性以λ為橫坐標畫出曲線幅頻特性曲線簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應特性：（1）當λ<<1（）激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低結(jié)論：響應的振幅A與靜位移B相當01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/280穩(wěn)態(tài)響應特性（2）當λ>>1（）激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高結(jié)論：響應的振幅很小01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/281穩(wěn)態(tài)響應特性（3）在以上兩個領域

λ>>1，λ<<1結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的對應于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/282穩(wěn)態(tài)響應特性結(jié)論：共振振幅無窮大（4）當對應于較小值，迅速增大當?shù)舱駥τ趤碜宰枘岬挠绊懞苊舾?，在?1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/283穩(wěn)態(tài)響應特性（5）對于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在λ=1處，而且稍偏左01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/284穩(wěn)態(tài)響應特性（6）當振幅無極值01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/285穩(wěn)態(tài)響應特性記：品質(zhì)因子在共振峰的兩側(cè)取與對應的兩點，帶寬Q與有關(guān)系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/286穩(wěn)態(tài)響應特性相頻特性曲線（1）當λ<<1（）以s為橫坐標畫出曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同（2）當λ>>1（）位移與激振力反相（3）當共振時的相位差為，與阻尼無關(guān)01230901801.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/287有阻尼單自由度系統(tǒng)外部作用力規(guī)律：假設系統(tǒng)固有頻率：從左到右：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/288高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn)機械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為u：機器離開平衡位置的垂直位移則偏心質(zhì)量的垂直位移：由達朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動力學方程：簡化圖形muceMcuMcuem偏心質(zhì)量引起的強迫振動1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/289me

：不平衡量：不平衡量引起的離心慣性力設：得：Mcu1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/290B又寫為：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/291muceMcuMcuem偏心質(zhì)量小結(jié)解1：解2：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/292例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)共振時測得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？muceMcu1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/293解:（1）共振時測得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為共振時最大振幅（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01mmuceMcu1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/2942023/2/295背景：地基振動特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例坐標：動力學方程：基座位移規(guī)律：u1

相對基座位移mm受力分析ufkcmu0mkuufcD：基座位移振幅1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/296動力學方程：回顧：令：有：其中：1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2970.250.50.751.02.010100190180幅頻曲線相頻曲線1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/298有阻尼的單自由度承受支撐運動支撐運動：系統(tǒng)固有頻率從左到右：1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/299若以絕對位移u為坐標其中：則有：ufkcmu0mkuufc1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/21001.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2101代入：無阻尼情況：ukcmu0mkuufc1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2102幅頻曲線010100.10.250.350.51.0可看出：當時，振幅恒為支撐運動振幅D當時，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大ufkcmu0mkuufc1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2103習題mk1k2已知:求m

為多大時，系統(tǒng)會發(fā)生共振2023/2/2104作業(yè)P45題1-112023/2/21052023/2/2106將作為振源的機器設備與地基隔離，以減少對環(huán)境的影響稱為第一類隔振（隔力）主動隔振系數(shù)＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應：m隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離第一類隔振（隔力）2023/2/2107隔振后通過k、c傳到地基上的力：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離2023/2/2108主動隔振系數(shù)＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：隔振后通過k、c傳到地基上的力：隔振系數(shù)：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離2023/2/2109例：機器安裝在彈性支承上已測得固有頻率阻尼比參與振動的質(zhì)量是880kg機器轉(zhuǎn)速n＝2400r/min

不平衡力的幅值1470N求：（1）機器振幅，（2）主動隔振系數(shù)（3）傳到地基上的力幅解：頻率比：彈性支承的剛度：機器振動的振幅：主動隔振系數(shù)：傳到地基上的力幅：1.8振動的隔離2023/2/2110將地基的振動與機器設備隔離，以避免將振動傳至設備，稱為第二類隔振（隔幅）被動隔振系數(shù)＝隔振后設備的振幅隔振前設備的振幅基礎位移：隔振前振幅：D隔振后系統(tǒng)響應：m隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離第二類隔振（隔幅）2023/2/21112023/2/2112前面討論的強迫振動，都假設了系統(tǒng)受到激勵為簡諧激勵，但實際工程問題中遇到的大多是周期激勵而很少為簡諧激勵。

周期函數(shù)的激勵付氏級數(shù)即表示為簡諧函數(shù)之和的激勵。具體步驟：將任意周期激勵分解為各簡諧激勵（展開成付氏級數(shù)）；求單個簡諧激勵的響應；求各簡諧激勵響應的和，得到任意周期激勵的響應

運用線性系統(tǒng)的疊加原理求解。1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2113假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力：T0

為周期傅立葉級數(shù)展開：記基頻：記：n

的偶函數(shù)n

的奇函數(shù)為任一時刻1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2114運動微分方程：疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應：不計阻尼時：代表著平衡位置當作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形周期激勵通過傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的簡諧激勵的疊加，這種對系統(tǒng)響應的分析被成為諧波分析法

1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2115例：質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵求系統(tǒng)響應1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2116解：激勵的周期：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率激勵力的基頻：因

a0

一周期內(nèi)總面積為0=0區(qū)間內(nèi)，關(guān)于為反對稱，而關(guān)于對稱=01.9周期激勵下的振動分析2023/2/2117區(qū)間內(nèi)關(guān)于為對稱

而n取偶數(shù)時，關(guān)于反對稱

區(qū)間內(nèi)關(guān)于為對稱

而n取偶數(shù)時，關(guān)于反對稱

因此1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2118當n取奇數(shù)時于是，周期性激勵F(t)

可寫為：1.9周