樹形動態(tài)規(guī)劃(信息學競賽)

樹狀動規(guī)1333:VIJOS-P1180選課想要選修某個課程，那么它的先修課必須要被選擇。多叉樹轉(zhuǎn)二叉樹動歸。首先大家先了解多叉樹轉(zhuǎn)二叉樹。原則：二叉樹的結(jié)點x的左兒子為x的兒子，右兒子是x的兄弟。即左兒子，右兄弟原則。1333:選課（多叉樹轉(zhuǎn)二叉樹）具體實現(xiàn)方法：使用數(shù)組模擬二叉樹L[x]:表示X的左兒子是誰!初值-1R[x]:表示X的右兒子是誰！也就是X的兄弟，初值-1last[x]:表示原樹中x的當前一個子節(jié)點son1現(xiàn)在的位置，假如x的另外一個兒子son2,要插入到二叉樹中那么根據(jù)左兒子右兄弟的原則，既然son2跟son1為兄弟，那么就放到son1所在位置的右子樹即可！代碼：voidbuild(intx,inty)//y的父親結(jié)點為x{if(L[x]==-1) L[x]

=

y;else R[

last[x]

]

=

y;last[x]=y;}1333:VIJOS-P1180選課狀態(tài)F(x,y)：表示節(jié)點x取y門課得最高學分方程F(x,y)=max{F(R[x],k),F(L[x],k-1)+a[x]+F(R[x],y-k)}k=0,1,..yF(L[x],k-1)+a[x]:表示左孩子選了k-1門課及包括課程x,共k門課的最大學分。F(R[x],y-k)

表示右孩子只能選y-k門課的最大得分。分析出來了這么多，代碼如何寫才是關(guān)鍵，否則都是空中樓閣。我們引入記憶化搜索的思想，即每深搜一步，把搜做到的結(jié)果保存起來，當下次搜索到同樣的位置時，直接使用！記憶化搜索經(jīng)典題目：1911滑雪&&1257Functionintwork(intpos,intk){if(pos<0||k<=0)return0;

//遞歸退出條件if(f[pos][k]!=-1)returnf[pos][k];

//如果這個值以前被計算過，直接返回這個值f[pos][k]=work(r[pos],k);

//左子樹不選任何一個for(inti=0;i<=k-1;i++)f[pos][k]=max(f[pos][k],

work(l[pos],i)+work(r[pos],k-i-1)+s[pos]);

//動規(guī)過程returnf[pos][k];}2140:通向自由的鑰匙通向自由的鑰匙被放n個房間里，這n個房間由n-1條走廊連接。注意：這就是一棵樹。本題的動規(guī)的過程與上一題選課是一樣的唯一不同的是題目給出樹的根為1，還有樹的聯(lián)通性。建二叉樹樹的過程是需要大家仔細思考的。2140:通向自由的鑰匙voidbuild(intx){for(inti=1;i<=n;i++)if(d[x][i]){d[x][i]=d[i][x]=0;if(

ls[x]==-1)

ls[x]=i;elsers[

last[x]

]=i;last[x]=i;build(i);}}1273:加分二叉樹每一個結(jié)點有一個權(quán)值，給定的序列是中序遍歷的點權(quán)序列。狀態(tài)f[i][j]表示從i到j(luò)的中序序列組成的二叉樹最大加分值。方程f[i][j]=max{f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k]}i<=k<=jf[i][k-1]和f[k+1][j]直接拿過來用肯能不會求出最大的f[i][j],所以要引入記憶化的思想，遞歸的求出這兩個的值。1273:加分二叉樹longlongwork(intx,inty){

if(x>y)returnf[x][y]=1;if(f[x][y]!=-1)returnf[x][y];for(intk=0;k<=y-x;k++)if(f[x][y]<f[x+k][x+k]+work(x,x+k-1)*work(x+k+1,y)){f[x][y]=f[x+k][x+k]+work(x,x+k-1)*work(x+k+1,y);root[x][y]=x+k; //記錄x到y(tǒng)區(qū)間的根，以便最后遞歸輸出先根遍歷。}returnf[x][y];}POJ2342Anniversaryparty題意：一個人不同他的直屬上司一起參加舞會，問參會人員的權(quán)值和的最大值。顯然每個人只有兩種狀態(tài)參加或者不參加狀態(tài)f[i][0]表示第i個人不參加，f[i][1]表示此人參加，所的得到的子樹的最大值。f[i][1]+=f[j][0]; j是其下屬的標號f[i][0]+=max{f[j][1],f[j][0]}本題使用鏈式前向星存邊，找出根rootans=max{f[root][0],f[root][1]};POJ2342Anniversarypartyvoidwork(intx){

f[x][0]=0

,

f[x][1]=a[x];

//初始化 for(inty,i=head[x];i;i=next[i]) { y=to[i]; //y為x的子節(jié)點 work(y); //先處理完y才能動規(guī)x f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]); f[x][1]+=f[y][0]; }}POJ3342PartyatHali-Bula基本題意與2342相同，需要特別判斷與會名單是否唯一！思考判定方法？是否有特例！動規(guī)伴隨著深搜，只需要考慮深搜時候的局部情況即可判定全局情況。即if(f[x][0]==f[x][1]&&f[y][1]==f[y][0])flag=0;思考當n==2時，只能一個人與會，名單不確定。但是使用上面的判斷就不行了，需要特判一下即可。POJ2486AppleTreeN叉蘋果樹，結(jié)點上有蘋果，問一共走k步，所能吃到的蘋果的最大值。其中從A->B算一步，返回B->A再算一步。狀態(tài)f[0][i][j]表示從i點走j步再回到i的最大值狀態(tài)f[1][i][j]表示從i點走j步不回到i的最大值f[0][x][j+2]=max{f[0][x][j+2],f[0][y][k]+f[0][x][j-k]}f[1][x][j+2]=max{f[1][x][j+2],f[0][y][k]+f[1][x][j-k]}f[1][x][j+1]=max{f[1][x][j+1],f[1][y][k]+f[0][x][j-k]}POJ2486AppleTreevoiddfs(intx){

v[x]=1;

for(inti=0;i<=step;i++)f[1][x][i]=f[0][x][i]=a[x];

ints=t[x].size();

for(inty,i=0;i<s;i++)

{

y=t[x][i];

if(!v[y])

{ dfs(y); for(intj=step;j>=0;j--)

for(intk=0;k<=j;k++)

{

f[0][x][j+2]=max(f[0][x][j+2],f[0][y][k]+f[0][x][j-k]);

f[1][x][j+2]=max(f[1][x][j+2],f[0][y][k]+f[1][x][j-k]);

f[1][x][j+1]=max(f[1][x][j+1],f[1][y][k]+f[0][x][j-k]);

}

}

}}POJ3659CellPhoneNetwork題意：給出一棵樹，樹的每個節(jié)點都可以放信號塔，放信號塔的節(jié)點可以覆蓋到它周圍的節(jié)點，問選擇最少的建信號塔的方案，使得樹的所有節(jié)點都被覆蓋。這樣的問題叫做：最小支配集問題，使用樹形動歸來處理?？紤]每個結(jié)點只有兩種狀態(tài)，放或者不放信號塔。其中如果這個點不放信號塔，并且還需要被覆蓋，又有兩種情況：一是其父親結(jié)點放信號塔，二是其子節(jié)點中有一個放了信號塔?？偨Y(jié)起來每個結(jié)點有三種情況：f[x][0]:x點的父親結(jié)點放塔，以x為根的子樹最少信號塔數(shù)f[x][1]:x點的子節(jié)點放塔，以x為根的子樹的最少信號塔數(shù)f[x][2]:x點本身放信號塔，以x為根的子樹最少信號塔數(shù)POJ3659CellPhoneNetwork那么動態(tài)方程為：設(shè)y為x的子結(jié)點f[x][0]+=min{f[y][1],f[y][2]}f[x][2]+=min{f[y][0],f[y][2]}f[x][1]的情況比較復(fù)雜，需要單獨討論了。x的子節(jié)點y中是否存在y的自己覆蓋小于y的子節(jié)點z的覆蓋，如果存在(f[y][2]<f[y][1]),那么這個y的分支就一定會被選中，進而輻射到y(tǒng)的根節(jié)點x。此時f[x][1]=f[x][0];如果上述情況沒有出現(xiàn)的話，只能選擇一個最優(yōu)的y，使得y點放信號塔，來輻射到x。令temp=f[y][2]-f[y][1];那么f[x][1]=f[x][0]+temp;至此，動態(tài)轉(zhuǎn)移方程就已經(jīng)寫完了，雖然有些復(fù)雜，但是對于我們深入理解動態(tài)規(guī)劃有很深的影響。POJ3659CellPhoneNetwork結(jié)點的初值：f[x][0]=0;f[x][1]=0;f[x][2]=1;如果是葉子結(jié)點呢？if（葉子）f[x][1]=1<<30;最后的ans呢？ans=min（f[root][1],f[root][2]）poj3398PerfectService同樣是最小支配集問題。我們使用另類的貪心方法來解決。1、深搜遍歷，把深搜的順序記錄下來。其實深搜的順序就是先根遍歷的順。2、根據(jù)先跟遍歷的順序逆向處理，也就是相當于回溯的過程。3、如果一個結(jié)點x的覆蓋狀態(tài)mark[x]==0,并且如果其根fa[x]的是否為server的狀態(tài)為0，即set[fa[x]]==0,那么ans++，set[fa[x]]=1;4、不管set[fa[x]]是否為0，都要標記x,fa[x],fa[fa[x]]的狀態(tài)為覆蓋。思考為什么？poj3398PerfectServicevoiddfs(intx){ deep[++num]=x; for(inty,i=head[x];i;i=next[i]){ y=to[i]; if(!v[y]){ v[y]=1