補充習(xí)題簡答

（1）如圖1所示，一個小環(huán)同時套在兩根細(xì)棒上，求其速度。解：根據(jù)伽利略變換，有：于是：下略。（2）如圖2所示，一個質(zhì)量為m的物體通過一根質(zhì)量可以不計的繩子繞水平棒1.25周后于另一端加一水平力F。若繩子和棒間的靜摩擦系數(shù)為μ，要使物體保持靜止，F(xiàn)應(yīng)多大？解：對一小段繩元做受力分析，臨界情況下有：其中“＋”“－”取決于繩子的運動趨勢。下略。（3）某人觀察到一個空間站始終停留在地球同一點的垂直上空。問此空間站的軌道如何？地球半徑是6371km。解：空間站的一般軌道是以地球為一個焦點的橢圓。現(xiàn)在它始終停留在地球同一點的垂直上空，意味著其軌道只能是地球赤道上空的圓，且其角速度與地球自轉(zhuǎn)速度相等。下略。（4）一個質(zhì)點從靜止開始在如圖3軌道滑下，在某處開始脫離軌道。說明脫離軌道的位置，并計算發(fā)生這種情況的h的最小值。解：脫離軌道意味著軌道提供的支持力為零。顯然從出發(fā)點一直到A點都不可能。如果A點處也未脫離軌道，則從A到B，質(zhì)點速率減小，但重力沿軌道徑向的分量增大，故質(zhì)點不會脫離軌道；至于B點的右半圓弧段，質(zhì)點的運動情形完全與AB段對稱，故質(zhì)點也不會脫離軌道。因此，就已知軌道而言，唯一可脫離處即A點。于是：（5）水從5m高處以每分鐘60kg的速率注入靜放在地上的桶中，桶的質(zhì)量為12kg。求水注入1分鐘時桶受到地面的作用力。解：地面對桶的作用力的大小等于桶對地面的壓力，為桶中水的重量與剛落下的水的沖力之和。其中后者大小等于桶中水對剛落下的水的沖力。根據(jù)動量定理：下略。（6）如圖4所示，一個人想用把桿子打在巖石上的方法折斷桿子。他握住一端，讓桿子繞腕轉(zhuǎn)動打在巖石上。如何盡量減少對手的沖擊？重力可忽略。解：為減少對手的沖擊，桿子應(yīng)當(dāng)停止運動并折斷。希望手的平均受力為零。故若設(shè)擊打點距手，則根據(jù)動量定理和角動量定理：（7）如圖5所示，物體以一根不可伸長的繩子繞在均質(zhì)滑輪上，繩子另一端固定在輪上。求物體在下落時繩中的張力。解：注：此類問題也可以將視為整體，有：（9）一均質(zhì)球m以初速v沿水平窄道拋出，開始時為純滑動，與地板的摩擦系數(shù)為μ。求球開始作純滾動時的速度。解：方法一：球在運動過程中對球與窄道的接觸點角動量守恒：純滾動條件：解得：方法二：根據(jù)質(zhì)心運動定理和角動量定理：下略。（10）如圖6所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點以垂直于原靜止的均質(zhì)細(xì)桿的速度v在桿端與桿做彈性碰撞后靜止。求細(xì)桿的質(zhì)量。解：以為系統(tǒng)，根據(jù)動量守恒，有：根據(jù)動能守恒、柯尼希定理（P186），有：還有角動量守恒?？紤]到桿的對稱性，選取質(zhì)心計算比較方便：下略。（11）一個速度為v的航天旅行者和地球上的朋友在出發(fā)時均將鐘調(diào)為0。地球上的朋友同時觀察兩個鐘。問當(dāng)旅行者的鐘讀數(shù)為1小時時，本地鐘的讀數(shù)是多少？解：建議采用洛倫茲變換。方法一：當(dāng)旅行者的鐘指向1小時時，其時空坐標(biāo)為：由洛倫茲變換，得：地球上的朋友要看到指針，需要其光傳到地球：此時地球上的鐘的讀數(shù)為：方法二：旅行者的鐘固定在運動的參照系，為固有時間。根據(jù)動鐘變慢，得此時地球上的鐘指向：在此時間內(nèi)，旅行者認(rèn)為地球運動的距離為：下面從兩個角度討論：（1）這一距離是在旅行者參照系時鐘指向1小時的同一時刻確定下來的。根據(jù)動尺收縮，知其固有長度為：該固有長度即地球上的人認(rèn)為此時旅行者距地球的距離。光信號飛越此距離所需時間為：（2）旅行者認(rèn)為其時鐘指針發(fā)出的光到達(dá)地球需時：他判斷這兩個事件（指針發(fā)光和到達(dá)地球）的時間間隔，始終是觀察固定在身邊的鐘，即此時間為固有時。根據(jù)動鐘變緩，此時地球上的鐘又走了：下略。下略。（12）靜長L的車廂以v運動，從車廂后端A發(fā)出光，經(jīng)前端B的平面鏡反射回A。問車廂上的人和地面上的人看來，兩過程各耗時多少？解：建議采用洛倫茲變換。方法一：從A到B，車廂參照系時空坐標(biāo)變化為：根據(jù)洛倫茲逆變換，地球參照系時空坐標(biāo)變化為：注：也可由光速不變原理，得從B到A，車廂參照系時空坐標(biāo)變化為：根據(jù)洛倫茲逆變換，地球參照系時空坐標(biāo)變化為：從A到B再返回A，車廂參照系認(rèn)為需時：該時間為固有時，故地球參照系看：方法二：從A到B及從B到A，車廂均在運動。根據(jù)動尺收縮，地面上的人認(rèn)為車廂長度為：在光傳輸?shù)倪^程中，車廂還運動了：故兩過程中，光的行程分別為：下略。一質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿下端置于光滑的桌面上，從與鉛垂線成θ0角靜止釋放，求釋放后瞬間桿對桌子的壓力。牛頓第二定律剛體定軸轉(zhuǎn)動初始條件mgNOCβ解：設(shè)桿長L，桿重心C的向下線加速度a，桿繞重心旋轉(zhuǎn)的角加速度β，角速度ω初始時刻：桿繞重心旋轉(zhuǎn)的角速度為0，支持點處O的加速度為0一半徑為r的均質(zhì)小球，沿一半徑為R+r的豎直固定圓環(huán)內(nèi)側(cè)運動，為使小球能到達(dá)環(huán)頂而不落下，試討論在純滾動和無摩擦的純滑動兩種情況下，小球在環(huán)底部時需具有的最小質(zhì)心速度。圓周運動機(jī)械能守恒柯尼希定理P186解：（1）純滾動（2）純滑動（1）一容器被隔板分成兩部分，隔板上有直徑為的孔。容器中的氦氣分別被維持在和。設(shè)、為穩(wěn)恒狀態(tài)下兩部分分子的平均自由程。問：在和時，各等于多少？解：兩部分通過孔交換分子，故穩(wěn)恒狀態(tài)下兩部分分子數(shù)守恒。（1）當(dāng)時，孔處幾乎不發(fā)生碰撞，作用力等于零，此時不涉及壓強(qiáng)的概念。分子交換通過零星泄露實現(xiàn)，交換速度等于撞擊頻率，所以：（2）當(dāng)時，孔處頻繁發(fā)生碰撞，已涉及宏觀受力（壓強(qiáng)的概念），分子交換通過氣體宏觀流動實現(xiàn)：（2）試用球形容器推導(dǎo)平衡狀態(tài)下理想氣體的壓強(qiáng)及溫度的表達(dá)式。由于器壁法線總是指向球心，故該分子與器壁的碰撞點始終處于同一過球心的圓。于是該分子在與器壁連續(xù)兩次碰撞期間行程為解：設(shè)某分子從壁上某處開始碰撞旅程，其速度方向與器壁上即將被碰撞處的法線方向的夾角為，則由彈性碰撞假設(shè)知，其反射角亦為該分子與器壁的碰撞頻率為每次碰撞給器壁的沖量為

故器壁壓強(qiáng)為：下略。（3）試推導(dǎo)理想氣體的麥克斯韋動能分布，并求最概然動能。解：準(zhǔn)確理解等物理量的含義。根據(jù)分布（概率）函數(shù)的定義：對于最概然動能，有：（4）用麥克斯韋速率分布證明理想氣體單位時間與單位面積器壁的碰撞次數(shù)為現(xiàn)在考慮對應(yīng)的分子數(shù)密度。三維空間的總立體角為：那些速度與軸夾角的分子可以碰撞該方向器壁，條件是單位時間內(nèi)可以到達(dá)器壁。即對速率為，速度與軸夾角的分子而言，其距離器壁的最大距離為。進(jìn)一步，對于速度與軸夾角的所有分子，其距離器壁的平均最大距離為。證明：由氣體動理論的基本假設(shè)，知由任一點出發(fā)的分子，在任一單位立體角內(nèi)的數(shù)目相等，平均速率也相等，并等于整個容器內(nèi)分子的平均速率?，F(xiàn)設(shè)器壁處于軸方向，可建立球坐標(biāo)系。對應(yīng)的立體角為：故其對應(yīng)的分子數(shù)密度：于是，單位時間單位面積的碰撞次數(shù)為：（5）在大氣中有一個封閉的絕熱箱。開始時箱內(nèi)有摩爾溫度為、壓強(qiáng)為的空氣，箱外空氣的溫度和壓強(qiáng)分別為、。若在箱上開一小孔，則箱外空氣緩慢流入箱內(nèi)。試求箱內(nèi)外壓強(qiáng)相等時箱內(nèi)氣體的溫度。解：做功的計算方法：設(shè)有摩爾的空氣被等壓地壓入絕熱箱?？稍O(shè)想存在一個容器，存有該空氣，容器內(nèi)的氣壓始終等于箱外空氣的氣壓?，F(xiàn)在緩慢壓縮該容器，把空氣壓入絕熱箱，直至其體積為零。顯然，在此緩慢過程中，做功的箱外空氣壓強(qiáng)始終等于。因此，外界做功：其中為這些空氣在大氣下的體積：故：

由于是絕熱過程，這些功都轉(zhuǎn)化為的空氣內(nèi)能，其中兩部分空氣的溫度變化相等：另外，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：解得：（6）一個絕熱活塞將兩端封閉的絕熱氣缸分成A、B兩部分，裝有等量的狀態(tài)相同的單原子理想氣體?，F(xiàn)緩慢加熱A部分，使B部分氣體壓強(qiáng)增為3倍。求傳給A中氣體的熱量。解：以整個氣缸為系統(tǒng)：其中兩部分初始狀態(tài)相同、終態(tài)壓強(qiáng)相等：所以：由此可求兩部分的溫度：（7）圖1。一端封閉的薄壁圓柱形浮沉子，開口端向下插入密度為的恒溫液體中，被液體封住少量氣體。當(dāng)外部空氣壓強(qiáng)為時，浮沉子正好懸浮在液體中，且其封閉端恰好與液面相平。現(xiàn)突然將外部空氣壓強(qiáng)增加到。求浮沉子下降到深度時的速度。初始時刻，浮力與重力平衡：在處，浮沉子內(nèi)壓強(qiáng)及溫度（薄壁）均與外界相等：解：一個力學(xué)題此時，浮沉子所受凈外力為：根據(jù)功能原理：（8）將壓強(qiáng)為的空氣等溫壓縮進(jìn)肥皂泡內(nèi)，最后吹至半徑。設(shè)肥皂泡的表面張力系數(shù)。（提示：內(nèi)能＝內(nèi)勢能＝；表面張力產(chǎn)生的壓強(qiáng)）。求吹成此泡所做的功。其中第一部分：第二部分包含內(nèi)外兩個表面：所以：解：該功包含兩部分，即將空氣等溫壓縮所做的功和肥皂泡內(nèi)能的增加。（9）圖2。一個作如圖循環(huán)的卡諾熱機(jī)，若分別采用1單原子理想氣體和1雙原子理想氣體，求其完成一個循環(huán)的對外做功之比。解：卡諾循環(huán)的基本特點是兩個絕熱過程凈做功為零，四個終態(tài)的體積間有比例關(guān)系：對于絕熱過程：所以：（10）一個可逆熱機(jī)工作時的最高溫度為、最低溫度為。證明其效率不大于卡諾熱機(jī)。證明：在圖上，以的極值為邊界作一個矩形。則該矩形為卡諾循環(huán)。熱機(jī)效率：對于卡諾熱機(jī)：其中小寫的s表示圖形的面積。（2）對于熵非單調(diào)變化的熱機(jī)，可引入等輔助線，示例如圖。則該熱機(jī)循環(huán)可以看作多個熵單調(diào)變化的循環(huán)過程的疊加。顯然，其中任一子循環(huán)，故上述結(jié)論仍成立。（1）對于一個熵單調(diào)變化的熱機(jī)：顯然：（11）有一個高100m的大壩，上下水的溫差為10℃。試比較利用落差發(fā)電和溫差發(fā)電分別從1g水獲得的能量。落差發(fā)電：溫差發(fā)電：可以有多種方式，例如采用理想氣體工作或采用熱電偶工作。但其內(nèi)涵是不變的，即將熱轉(zhuǎn)化為功（電功）。上題曾證明，不論其工作方式如何，均以卡諾熱機(jī)效率最高。而在熱機(jī)工作過程中，水溫下降10℃。故：實際熱機(jī)的效率遠(yuǎn)低于理論值。故水電均采用落差發(fā)電。解：（12）試證明循環(huán)過程中摩爾熱容不能為恒量。證明：重要方法－反證法根據(jù)熱力學(xué)第一定律，循環(huán)過程做功等于吸熱：矛盾。（13）圖3。求水蒸汽作如圖循環(huán)的效率。解：準(zhǔn)確理解熱機(jī)效率的定義。（1）為等壓過程，同號：（2）為等容過程：分析：設(shè)（3）復(fù)雜，其狀態(tài)方程為：其起始點的溫度均為：中間過程的溫度：從到中央的半段：（4）因此，這個循環(huán)里，吸熱過程包括兩段：做功為曲線所圍面積：效率：為吸熱過程。而后半段顯然為放熱過程。理想狀況下的斯特林熱機(jī)的基本循環(huán)過程如圖所示。試求其工作效率。熱機(jī)效率等溫和等容過程解：考慮一定質(zhì)量物質(zhì)的p-V圖中的一族絕熱線，證明任兩條不相交。反證法絕熱過程和等溫過程熱力學(xué)第二定律開爾文表述廣義力-廣義位移證明：反證法假設(shè)兩條絕熱線至少相交于一點3。現(xiàn)在其上方作一等溫線，則因其較平緩（等溫做功有熱源，絕熱做功無熱源），而必與兩絕熱線相交。設(shè)交點分別為1和2。現(xiàn)考慮正循環(huán)1→2→3→1。在此循環(huán)中，系統(tǒng)從單一熱源吸熱，并將之完全轉(zhuǎn)化為功，而未引起其它任何變化。與熱力學(xué)第二定律矛盾。故假設(shè)不成立。證明完畢。測定γ的Rüchardt方法的實驗裝置圖如下。當(dāng)玻璃細(xì)管中的小球振動很快時，P、V的變化為準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程?，F(xiàn)測得振動周期T，試求γ。簡諧振動的動力學(xué)方程絕熱過程的泊松方程解：鋁桿長1m?，F(xiàn)夾住桿中點，沿桿的軸線打擊桿的一端，產(chǎn)生2500Hz的聲波。（1）求桿中聲速；（2）要激發(fā)3750Hz的聲波，應(yīng)夾在哪里？在兩端打擊有區(qū)別嗎？波動的邊界條件駐波波速P65(2.20)解：（1）夾持點為波節(jié)，打擊點為波腹，故：（2）仍在此打擊，則夾持點距此：若在另一側(cè)打擊，則：一種測量空氣中光速的裝置如圖：儀器內(nèi)的發(fā)光二極管發(fā)出紅光，光的強(qiáng)度受到調(diào)制，調(diào)制頻率為50MHz。調(diào)制波經(jīng)半反射片后分成兩路：一路輸入到雙蹤示波器的Y端；另一路出射，經(jīng)反射鏡組的反射后輸入到X端。通過觀察示波器圖形的變化可以測量光速。試分析其工作原理。若可使反射鏡組同步移動，其沿光束方向的可移動范圍至少為多少？李薩如圖形解：輸入X端的光信號與輸入Y端的光信號間的光程差為：其中δ0對應(yīng)于Y端信號穿過半反射片2的光程、直角反射鏡間的光程、以及X端信號經(jīng)三次反射的半波損失。于是輸入XY兩端口的電信號間具有相位差：該相位差為π的偶數(shù)倍時，李薩如圖形為1－3象限內(nèi)的直線，當(dāng)其為π的奇數(shù)倍時，李薩如圖形為2－4象限內(nèi)的直線。于是，這兩種情形對應(yīng)的距離變化為：測得光速為：顯然，為使反射鏡能夠同步，其動態(tài)范圍至少對應(yīng)相位變化π如圖所示，在平面反射鏡上相繼放置一個1/4波片和一個偏振片，偏振片的透光軸與1/4波片的光軸夾角為θ。光強(qiáng)為I0的自然光垂直入射。求反射光的光強(qiáng)。（隔離器）起偏器雙折射?波片(P232)解：光軸（主平面）通過偏振片后，電矢量為設(shè)自然光的電矢量為E0沿光軸方向振動的分量為e光，兩次通過1/4波片，與o光的附加相位差為