理論力學(xué)第三章

第3章

力系的平衡

※

結(jié)論與討論

※

空間力系的平衡方程

※

平面匯交力系的平衡

※

平面力偶系的平衡

※

平面任意力系的平衡條件與平衡方程2.平衡的幾何條件結(jié)論：平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4F2F3F5F1AF4例題1

已知：P，a

求：A、B處約束反力。2a

PaABCD解：（1）取剛架為研究對象（2）畫受力圖（3）按比例作圖求解

P

FBFA由圖中的幾何關(guān)系得

PBACD

FB

FAFAxFAy3.平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。平衡的必要和充分條件是：該力系的合力FR等于零。例題2

已知：P，a

求：A、B處約束反力。2a

PaABCD解：（1）取剛架為研究對象（2）畫受力圖（3）建立坐標(biāo)系，列方程求解

PBACD

FB

FAFAxFAyxyBMFACFBCFBAFBCFCBFMFNC

已知：F，例題3求：物塊M的壓力。解：（1）取銷釘B為研究對象（2）取擋板C為研究對象解得解得xyPABCD60°30°30°FBAFBC求：BA、BC桿的內(nèi)力。例題4已知：圖示簡易起重機(jī)，P＝20kN解：取銷釘B為研究對象B30°PFD30°yx90°45°30°60°F1F2ABCD90°45°F2BFBAFBC30°60°F1CFCBFCD求：F1、F2的關(guān)系。例題5已知：鉸接連桿機(jī)構(gòu)，在圖示位置處于平衡狀態(tài)，桿重不計(jì)。解：取銷釘B為研究對象沿x軸投影，得取銷釘C為研究對象沿y軸投影，得又因?yàn)?，F(xiàn)BC=FCB§3.2平面力偶系的平衡若物體在平面力偶系作用下處于平衡，則合力偶矩等于零反之，若合力偶矩為零，則該力偶系必然處于平衡。

由此得到平面力偶系平衡的必要與充分條件是：各力偶矩的代數(shù)和等于零。稱為平面力偶系的平衡方程？MaaABCa例題6求：A、C處約束反力。已知：a,M解：（1）取AB為研究對象（2）取BC為研究對象BCABMFBFCFA若將此力偶移至BC構(gòu)件上，再求A、C處約束反力。在此種情況下，力偶能否在其作用面內(nèi)移動，力對任意點(diǎn)之矩是否還等于力偶矩。CM1M2ABD解:

(1)取AB為研究對象(2)取CD為研究對象例題7求：平衡時M1、M2之間的關(guān)系。已知：AB=CD=a,∠BCD=30°解得解得因?yàn)镕B=FCB

FB

FAM1AM2CD

FC

FD注意?。?）明確研究對象（2）正確作出受力圖（3）列方程求解文字不宜過多，但也不能過少。力不允許多畫，但也不能少畫。ADCBRoABC問剛體在四個力的作用下是否平衡? 若改變F1和F1′的方向，則結(jié)果又如何。當(dāng)M=PR時，系統(tǒng)處于平衡，因此力偶也可以與一個力平衡，這種說法對嗎。圖示系統(tǒng)平衡否?若平衡A、B處約束反力的方向應(yīng)如何確定。思考題？例題8

兩個完全相同的矩形。自重不計(jì)求A、B處的約束反力。ACFAFC解：對于整體而言，力偶是平衡的，即A，B兩處的力必為一對平衡力，如圖。ABCabFAFBFC，F(xiàn)A之間的距離然后取矩形AC為研究對象力偶平衡的方程式為即§3.3平面任意力系的平衡條件與平衡方程FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析條件：所有各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零?！駧c(diǎn)說明：（1）三個方程只能求解三個未知量；（2）二個投影坐標(biāo)軸不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐標(biāo)軸盡可能與多個未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心盡可能選多個未知力的交點(diǎn)。平衡方程1.平面任意力系的平衡方程例題9

已知：M=Pa

求：A、B處約束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解法1:(2)畫受力圖(3)建立坐標(biāo)系,列方程求解(1)取剛架為研究對象2a

PaMABCDFAxFAyFB

解法2解上述方程，得

解法3解上述方程，得（A、B、C三點(diǎn)不得共線）（x軸不得垂直于A、B兩點(diǎn)的連線）

平面任意力系平衡方程的三種形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？解：取三角形板ABC為研究對象FDECBAaaaMPFAFBFCPACaaaMB一等邊三角平板重為P，上面作用已知力偶M。用三根無重桿通過鉸鏈連接，如圖所示。求：三桿對三角平板ABC的約束反力。例題11yxo（A、B兩點(diǎn)的連線不得與各力平行）F3F2F1Fn二個方程只能求解二個未知量二力矩式2.平面平行力系的平衡方程平面任意力系的基本形式假設(shè)所有的力都平行于y軸，則有分布荷載的合力及其作用線位置q(x)荷載集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB合力大?。河珊狭χ囟ɡ恚汉狭ψ饔镁€位置：hxdxlx☆兩個特例(a)均布荷載Ph(b)三角形分布荷載Phlq0qlxx解：取AB梁為研究對象例題10

懸臂梁如圖所示，上面作用均部荷載q和集中荷載F。求固定端的反力。PAlBFqAlBFqFAxFAyMA解：取梁ABCD為研究對象

圖示外伸梁，受到三角形荷載q=1kN/m，以及集中荷載F=2kN，求：A、B支座反力。例題12D1m2m1mABCFqPFNBFNAABqC2a4aGM

如圖所示水平梁AB，梁的跨度為4a，自重G作用在梁的中點(diǎn)C。梁AC段上作用均布荷載q，梁的BC段上作用力偶M=Ga。求A和B處的約束力。例題13FBFAyFAx解：以水平橫梁AB為研究對象。

AB2m2m6m12mG1G2G3

塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架重G1=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡荷重G3到機(jī)身中心線距離為6m。試問：(1)保證起重機(jī)在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重G3應(yīng)為多少?(2)當(dāng)平衡荷重G3=180kN時，求滿載時軌道A，B給起重機(jī)輪子的約束力？例題14解：取塔式起重機(jī)為研究對象，受力分析如圖所示。滿載時不繞B點(diǎn)翻倒，臨界情況下FA=0，可得(1)起重機(jī)不翻到AB2m2m6m12mG1G2G3

空載時，G2=0，不繞A點(diǎn)翻倒，臨界情況下FB=0，可得則有

75kN＜G3＜350kN列平衡方程解方程得(2)取G3=180kN，求滿載時軌道A，B給起重機(jī)輪子的約束力。PADEBCrFBxFByFAPADEBCaara

構(gòu)架如圖，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B處的反力。例題15解：取圖示部分為研究對象PADEBCaar45°FTEPADBrFAxFAyFB45°

構(gòu)架如圖，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B處的反力。例題16解：取梁和滑輪D為研究對象PAqaaaaBPAqBFAxFAyMAF1F2

構(gòu)架如圖，已知：a=3m，q=4kN/m，P=12kN求：A處的反力。例題17解：取剛架AB為研究對象其中F1＝12kN，F(xiàn)2=6kNDBMFACFNCFBA解：取圖示部分為研究對象假設(shè)BC＝aBFCFM例題18

簡易壓榨機(jī)如圖所示，已知：推桿上作用力F，A、B、C三處均為光滑鉸鏈，角度已知。桿重不計(jì)。求：托板給物體M的壓力。另解例題3。MABDCaaaaMBCFBFCFDADCFA解：取彎桿BC為研究對象取T形桿ADC為研究對象求：A處的反力。例題19

圖示組合構(gòu)架，彎桿BC上作用一力偶M?！?.4空間力系的平衡方程1.空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系平衡的必要與充分條件為該力系的合力等于零空間力偶系平衡的必要與充分條件為該力偶系所有力偶矩的矢量和等于零2.空間力偶系的平衡方程平衡條件：FR=0

Mo=0′平衡方程:空間平行力系平面任意力系3.空間任意力系的平衡方程4.空間平行力系的平衡方程

空間鉸接結(jié)構(gòu)形如正角錐，各棱邊與底面都成傾角θ。B，C處是活動球鉸鏈支座，D處是固定球鉸鏈支座。頂點(diǎn)A的球鉸鏈承受載荷F，不計(jì)各桿自重，試求各支座的約束反力和各桿的內(nèi)力。例題20解：

建立如圖坐標(biāo)系Bxyz，其中y軸平分∠CBD。由于ABCD是正角錐，所以AB與y

軸的夾角為θ。

三桿內(nèi)力在坐標(biāo)面Bxy上投影1.取球鉸鏈A為研究對象,受力分析如圖。

為求各力在軸x，y上的投影，可先向坐標(biāo)面Bxy上投影，然后再向軸上投影。力FAC

和

FAD

在軸

x，y上的投影：3.聯(lián)立求解。負(fù)號表示三桿都受壓力。2.列平衡方程。聯(lián)立求解得4.取球鉸鏈B為研究對象,列平衡方程。5.同理，再取球鉸鏈C和D為研究對象，可求得：xzy20075ABFyFzFx

鏜刀桿的刀頭在鏜削工件時受到切向力Fz，徑向力Fy，軸向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，F(xiàn)y=1500N，F(xiàn)x=750N，而刀尖B的坐標(biāo)x=200mm，y=75mm，z=0。如果不計(jì)刀桿的重量，試求刀桿根部A的約束反力的各個分量。例題21xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz刀桿根部是固定端，約束反力是任意分布的空間力系，通常用這個力系向根部的A點(diǎn)簡化的結(jié)果表出。一般情況下可有作用在A點(diǎn)的三個正交分力和作用在不同平面內(nèi)的三個正交力偶。解：1.取鏜刀桿為研究對象,受力分析如圖。3.聯(lián)立求解。xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz2.列平衡方程。已知：

Q=100kN，P=20kN，等邊△ABC邊長a=5m，HD＝l=3.5m，=30°,ED＝AD/3求：各輪的點(diǎn)面反力。又當(dāng)=0°時，最大載重Pmax是多少。例題22解:取起重機(jī)為研究對象FAFCFBFA=26.3kNFC=43.4kNFB=50.3kNCABEHDy

xPAB,CDQHz30°解:取起重機(jī)為研究對象CABEHDxy

PAB,CDQHzFAFCFB解得:

FA=19.3kN，F(xiàn)B=53.9kN，F(xiàn)C=46.8kN（2）當(dāng)=0°，由上面第一個方程得：為確保安全，必須：FA≥0例題23如圖所示勻質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為G，在A處作用一水平力F，且F=2G。桿重不計(jì)，求各桿的內(nèi)力。2.列平衡方程。綜上，有解：1.取板為研究對象，受力分析如圖。

結(jié)論與討論1、平面匯交力系平衡的幾何條件為力多邊形自行封閉。平衡方程為

2、平面力偶系的平衡方程為

ΣM

=0一個獨(dú)立方程，可求解一個未知量。

本章討論了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系、空間匯交力系、空間力偶系、空間平行力系及空間任意力系的平衡。應(yīng)用幾何條件或平衡方程都可求解兩個未知量。3、平面平行力系平衡方程為