2參數方程知識講解及典型例題

參數方程一、定義：在取定的坐標系中，假如曲線上隨意一點的坐標x、y都是某個參數xf(t)t的函數，即yf(t)，此中，t為參數，而且關于t每一個同意值，由方程組所確立的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯(lián)系x、y之間關系的變數t叫做參變數，簡稱參數．注意：參數方程沒有直接表現曲線上點的橫縱坐標之間的關系，而是分別表現了點的橫縱坐標與參數間的關系。二、二次曲線的參數方程1、圓的參數方程：xrcos特別：圓心是（0,0），半徑為r的圓：rsiny一般：圓心在（x0，y0），半徑等于r的圓：xx0rcosyy0rsin（為參數，的幾何意義為圓心角），Eg1：已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上的動點，求：22（1）x+y的最值；（2）x+y的最值；（3）點P到直線x+y-1=0的距離d的最值。（1）x=2+3cos（2）x=sin（3）x=t+1t21y=3siny=cosy=t+t2總結：參數方程化為一般方程步驟：（1）消參（2）求定義域2、橢圓的參數方程：中心在原點，焦點在x軸上的橢圓：xacos（為參數，的幾何意義是離心角，如圖角AON是離心角）ybsin注意：離心率和離心角沒關系，如圖，分別以橢圓的長軸和短軸為半徑畫兩個齊心圓，M點的軌跡是橢圓，中心在（x0，y0）橢圓的參數方程：xx0acosyy0bsinx2y2Eg：求橢圓=1上的點到M（2,0）的最小值。36203、雙曲線的參數方程：中心在原點，焦點在xasec（為參數，代表離心角），x軸上的雙曲線：btany中心在（x0，y0），焦點在x軸上的雙曲線：xx0asecyy0btan4、拋物線的參數方程：極點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：x2pt2y2pt（t為參數，p＞0，t的幾何意義為過圓點的直線的斜率的倒數）直線方程與拋物線方程聯(lián)馬上可獲得。三、一次曲線（直線）的參數方程過定點

P0（x0，y0），傾角為

的直線，

P是直線上隨意一點，設

P0P=t，P0P

叫點P到定點

P0

的有向距離，在

P0雙側

t

的符號相反，直線的參數方程xx0

tcosyy0

tsin（t為參數，t的幾何意義為有向距離）說明：①t的符號相關于點P0，正負在P0點雙側②｜P0P｜=｜t｜直線參數方程的變式：xx0at，但此時t的幾何意義不是有向距離，只有yy0bt當t前面系數的平方和是1時，幾何意義才是有向距離，因此，將上式進行整理，得xx0a(a2b2t)a2b2，讓a2b2t作為t，則此時t的幾何意義是有yy0b(a2b2t)a2b2向距離。Eg：求直線x=-1+3ty=2-4t，求其傾斜角.極坐標與參數方程練習題[基礎訓練A組]一、選擇題1．若直線的參數方程為x12t(t為參數)，則直線的斜率為（）y23tA．2B．2C．3D．333222．以下在曲線xsin2(為參數)上的點是（）ycossinA．(1,2)B．(3,1)C．(2,3)D．(1,3)2423．將參數方程x2sin2為參數)化為一般方程為（）ysin2(A．yx2B．yx2C．yx2(2x3)D．yx2(0y1)4．化極坐標方程2cos0為直角坐標方程為（）A．x2y20或y1B．x1C．x2y20或x1D．y15．點M的直角坐標是(1,3)，則點M的極坐標為（）A．(2,)B．(2,)C．(2,2)D．(2,2k),(kZ)33336．極坐標方程cos2sin2表示的曲線為（）A．一條射線和一個圓B．兩條直線C．一條直線和一個圓D．一個圓二、填空題x34t(t為參數)的斜率為______________________。1．直線45ty2．參數方程xetet(t為參數)的一般方程為__________________。y2(etet)3．已知直線l1:x13t4y5訂交于點B，又點A(1,2)，則y2(t為參數)與直線l2:2x4tAB_______________。x21t4．直線2(t為參數)被圓x2y24截得的弦長為______________。11t2三、解答題1．已知點P(x,y)是圓x2y22y上的動點，（1）求2xy的取值范圍；（2）若xya0恒建立，務實數a的取值范圍。x1t2．求直線l1:(t為參數)和直線l2:xy230的交點P的坐標，及點Py53t與Q(1,5)的距離。3．在橢圓x2y21上找一點，使這一點到直線x2y120的距離的最小值。1612[綜合訓練B組]一、選擇題1．直線l的參數方程為xa(t為參數)lP1對應的參數是t1，則點P1與P(a,b)t，上的點ybt之間的距離是（）A．t1B．2t1C．2t12D．t122．參數方程為xt1t(t為參數)表示的曲線是（）y2A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線x11t3．直線2(t為參數)和圓x2y216交于A,B兩點，y333t2則AB的中點坐標為（）A．(3,3)B．(3,3)C．(3,3)D．(3,3)4．圓5cos53sin的圓心坐標是（）A．(5,4)B．(5,3)C．(5,)D．(5,5)3335．與參數方程為xt(t為參數)等價的一般方程為（）y21tA．x2y21B．x2y21(0x1)44C．x2y21(0y2)D．x2y21(0x1,0y2)446．直線x2t(t為參數)被圓(x3)2(y1)225所截得的弦長為（）y1tA．98B．401C．82D．93434二、填空題1．曲線的參數方程是x11為參數,t0，則它的一般方程為__________________。t(t)y1t2x3at2．直線1(t為參數)過定點_____________。y4t3．點P(x,y)是橢圓2x23y212上的一個動點，則x2y的最大值為___________。4．曲線的極坐標方程為tan1，則曲線的直角坐標方程為________________。cos5．設ytx(t為參數)則圓x2y24y0的參數方程為__________________________。三、解答題1．點P在橢圓x2y21上，求點P到直線3x4y24的最大距離和最小距離。1692．已知直線l經過點P(1,1),傾斜角，6（1）寫出直線l的參數方程。（2）設l與圓x2y24訂交與兩點A,B，求點P到A,B兩點的距離之積。極坐標與參數方程練習題答案[基礎訓練A組]一、選擇題1．D2．B3．C4．C5．C6．C二、填空題1．5x2y22)354．142．41,(x．4162三、解答題1．解：（1）512xy51；（2）a212．433．455[綜合訓練B組]一、選擇題1．C2．D3．D4．A5．D6．C二、填空題1．yx(x2)2(x1)2．(3,1)3．224．x2y(x1)