完整word版點(diǎn)集拓?fù)渲v義學(xué)習(xí)筆記

度量空間與連續(xù)映射2章第它們的定義域和值域從數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分.在這一章中我們將連續(xù)首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，然函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見§2.1）.隨給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射（參見§2.2）.后將兩者再度抽象，后再逐步提出拓?fù)淇臻g中的一些基本問題如鄰域，閉包，內(nèi)部，邊界，基和子基，序列等等.度量空間與連續(xù)映射§2.1本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)鋵W(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念.注意區(qū)別：數(shù)學(xué)分析中度量、連續(xù)映射的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念.應(yīng)細(xì)細(xì)體會(huì)證明的方法.注意，在本節(jié)的證明中，R-Rf：首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過的連續(xù)函數(shù)的定義.函數(shù)沖，使〉00，存在實(shí)數(shù)5eR稱為在點(diǎn)處是連續(xù)的，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)8>孔a0|x-得對(duì)于任何xeR，當(dāng)|f（x）-f（）|<8.在這個(gè)定義中只涉及時(shí)|<5,有兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的距離（即兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值）這個(gè)概念；為了驗(yàn)證一個(gè)函而與實(shí)數(shù)的數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)，其它性質(zhì)無關(guān)，關(guān)于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似.以下，我們從這一考.察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念，zeX，，xy是一個(gè)集合，定義2.1.1設(shè)Xp：XXX—R.如果對(duì)于任何有頁(yè)40共**頁(yè)1第（1） （正定性），P（x,y）N0并且p（x,y）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；（2） （對(duì)稱性）P（x,y）=P（y,x）；（3） （三角不等式）P（x,z）Wp（x,y）+P（y,z）則稱P是集合X的一個(gè)度量.如果P是集合X的一個(gè)度量，稱（X，P）是一個(gè)度量空間，或稱X是一個(gè)對(duì)于P而言的度量空間.有時(shí)，或者度量P早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，這時(shí)我們稱X是一個(gè)度量空間.此外，對(duì)于任意兩點(diǎn)x，yeX，實(shí)數(shù)P（x，y）稱為從點(diǎn)x到點(diǎn)y的距離.著重理解：度量的本質(zhì)是什么？例2.1.1實(shí)數(shù)空間R.對(duì)于實(shí)數(shù)集合R，定義P：RXR—R如下：對(duì)于任意x，yeR，令P（x，y）=|x-y|.容易驗(yàn)證P是R的一個(gè)度量，因此偶對(duì)（R，P）是一個(gè)度量空間.這個(gè)度量空間特別地稱為實(shí)數(shù)空間或直線.這里定義的度量P，稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為實(shí)數(shù)空間.（今后我們說實(shí)數(shù)空間，均指具有通常度量的實(shí)數(shù)空間.）維歐氏空間.例2.1.2n對(duì)于實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡兒積玲=RXRX-XRa%玲（）x=XfR如下：對(duì)于任意P定義,：OiRy=,令' ' ）=yxp（,頁(yè)40共*頁(yè)2第反*是的一個(gè)度量，因此偶容易驗(yàn)證（詳見課本本節(jié)最后部分的附錄）PaH,p）是一個(gè)度量空間.（這個(gè)度量空間特別地稱為n維歐氏空間.對(duì)這里定^ ,稱為義的度量P的通常度量，并且常常略而不提，逕稱為n維歐氏空間.2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面.（今后說通常度量，均指滿足這種公式的度量）例2.1.3Hilbert空間H.記H為平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即3 trb，…）|＜8}=（x=（H定義P如下：對(duì)于任意乩,知'…乃，乃,…質(zhì)-y尸 （X--y-）2=（）EH），yx=（丫」i''（x,y）=令p山盤''（即驗(yàn)證＜8）以及驗(yàn)證P是說明這個(gè)定義是合理的H的一個(gè)度量，均請(qǐng)參見課本本節(jié)最后部分的附錄.偶對(duì)（H，P）是一個(gè)度量空間.這個(gè)度量空間特別地稱為Hilbert空間.這里定義的度量P稱為H的通常度量，并且常常略而不提，逕稱H為Hilbert空間.例2.1.4離散的度量空間.設(shè)（X，p）是一個(gè)度量空間.稱X，p）是離散的，或者稱P是X西xEX，存在一個(gè)實(shí)數(shù)＞0使得P（的一個(gè)離散度量，如果對(duì)于每一個(gè)x，y）西yex，x尹y，成立.＞對(duì)于任何頁(yè)40共**頁(yè)3第例如我們假定X是一個(gè)集合，定義P：XXX-R使得對(duì)于任何x，yex，有Vxr（x,y）=P容易驗(yàn)證P是X的一個(gè)離散的度量，因此度量空間（X，p）是離散的.通過這幾個(gè)例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實(shí)數(shù).離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會(huì)發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡(jiǎn)單的.定義2.1.2設(shè)（X，p）是一個(gè)度量空間，xex.對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)e＞0，集合（yEX|p（x，y）＜e}乩⑴），或，稱為一個(gè)以x為中心以8為半徑的球形鄰記作B（x，e域,簡(jiǎn)稱為x的一個(gè)球形鄰域，有時(shí)也稱為x的一個(gè)e鄰域.此處的球形鄰域是球狀的嗎？定理2.1.1度量空間（X，P）的球形鄰域具有以下基本性質(zhì)：（1）每一點(diǎn)x￡X，至少有一個(gè)球形鄰域，并且點(diǎn)x屬于它的每一個(gè)球形鄰域;（2） 對(duì)于點(diǎn)x￡X的任意兩個(gè)球形鄰域，存在x的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于兩者；（3） 如果yex屬于xGX的某一個(gè)球形鄰域，則y有一個(gè)球形鄰域包含于x的那個(gè)球形鄰域.證明：（1）設(shè)xEX.對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)e>0，B（x，e）是乂的一個(gè)球形鄰域，所以x至少有一個(gè)球形鄰域；由于P（x，x）=0,所以x屬于它的每一個(gè)球形鄰域.頁(yè)4o共*頁(yè)4第句叫，）是x^XB（x（2）如果B（x的兩個(gè)球形鄰域，任意選取實(shí)，）和數(shù)句,母}min{，則易見有￡>0，使得eV^句，）EB（x，））B（x，eB（x匚即B（x，e）滿足要求.呵呵）.顯然.>0.如果xp（，yzEB，（3）設(shè)yEB（xe=）.令e-句，），則（y句）Vxy，）+p）+p（y，x=e（（（z，x）Wpz，ypq，y）e）.這證明B（eB（x，）.，所以zEB（xc定義2.1.3設(shè)A是度量空間X的一個(gè)子集.如果A中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于A（即對(duì)于每一個(gè)aEA，存在實(shí)數(shù)e>0使得B（a，e）匚A，則稱A是度量空間X中的一個(gè)開集.注意：此處的開集僅是度量空間的開集.例2.1.5實(shí)數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集.設(shè)a，bER，aVb.我們說開區(qū)間（a，b）=（xER|aVxVb}是R中的一個(gè)開集.這是因?yàn)槿绻鹸E（a，b），若令e=min（x-a，b-x}，則有B（x，e）（a，b）.也同樣容易證明無限的開區(qū)間匚（a，8）={xER|x>a}，（—8，b）=（xER|xVb}（—8,8）=R都是R中的開集.然而閉區(qū)間[a，b]={xER|aWxWb}頁(yè)40共**頁(yè)5第卻不是R中的開集.因?yàn)閷?duì)于aE[a，b]而言，任何e>0,B（x，e）[a,b]都不成立.類似地，半開半閉的區(qū)間匚（a，b]={xER|aVxWb}，[a，b）={xER|aWxVb}無限的閉區(qū)問[a，8）={xER|xNa},（—8，b]={xER|xWb}都不是R中的開集.定理2.1.2度量空間X中的開集具有以下性質(zhì)：0本身和空集都是開集；X（1）集合（2）任意兩個(gè)開集的交是一個(gè)開集；（3）任意一個(gè)開集族（即由開集構(gòu)成的族）的并是一個(gè)開集.證明根據(jù)定理2.1.1（1）X中的每一個(gè)元素x都有一個(gè)球形鄰域，這個(gè)球形鄰域當(dāng)然包含在X。滿足開集的條件；空集X中不包含任何一個(gè)點(diǎn)，也自然地可以認(rèn)為中，所以它滿足開集的條件.的一個(gè)球形鄰x如果xeunv，則存在U設(shè)和V是X中的兩個(gè)開集.（2）安E].根據(jù)V，的一個(gè)球形鄰域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在xq，（xe）同時(shí)包含于BB（2），x有一個(gè)球形鄰域（x，）和B定理2.1.1呵，)，因此(X句攵,)UAVB(x,B(x,)EB(xe)匚匚由于UEV中的每一點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于unv,因此unv是一個(gè)開集.頁(yè)40共*頁(yè)6第*任口蟲yA中的開集構(gòu)成的子集族.如果，則存在是一個(gè)由X3)設(shè)*A(44玲&A有一個(gè)球形鄰域包含于是一個(gè)開集，所以由于E*x使得，顯xEU血岫H。血岫龍然這個(gè)球形鄰域也包含于中的一個(gè)開集..這證明是X此外，根據(jù)定理2.1.1(3)可見，每一個(gè)球形鄰域都是開集.球形鄰域與開集有何聯(lián)系？為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點(diǎn)推廣.定義2.1.4設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)，U是X的一個(gè)子集.如果存在一個(gè)開集V滿足條件：xeVU，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.匚下面這個(gè)定理為鄰域的定義提供了一個(gè)等價(jià)的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情.定理2.1.3設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn).則X的子集U是x的一個(gè)鄰域的充分必要條件是x有某一個(gè)球形鄰域包含于U.證明如果U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域，根據(jù)鄰域的定義存在開集V使得x￡VU，又根據(jù)開集的定義，x有一個(gè)球形鄰域包含于V，從而這個(gè)球形鄰域匚也就包含于U.這證明U滿足定理的條件.反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域.現(xiàn)在我們把數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射.頁(yè)40共心頁(yè)7第互沖f(如果對(duì)于)是兩個(gè)度量空間，f:X-Y，EX以及定義2.、1.5,設(shè)乂、和丫氣沖氣3)，，存在6的某一個(gè)球形鄰域B)，的任何一個(gè)球形鄰域B(f(),沖知而)，則稱映射在點(diǎn)處是連續(xù)的.()，6))，8B(使得f(Bf(匚如果映射f在X的每一個(gè)點(diǎn)xeX處連續(xù)，則稱f是一個(gè)連續(xù)映射.以上的這個(gè)定義是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣.因?yàn)槿绻猀i在點(diǎn)f處連續(xù)，可以說成：和Y設(shè)P中的度量，則和分別是度量空間X對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)e>0，存在實(shí)數(shù)6>0使得對(duì)于任何x^X只要P(x，尚尚x^B(,6)便有)<5(即氣知0f(f(x)EB(.(即(f(x),f())e)).<e)，下面的這個(gè)定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn).以及GX?X-Y則下述條件Y是兩個(gè)度量空間，f：和定理2.1.4設(shè)X：和(*2)*(1)和(2)分別等價(jià)于條件(1)知)f處是連續(xù)的；在點(diǎn)(1知際的每一個(gè)鄰域的原象是的一個(gè)鄰域；(1)*f()(2)f是連續(xù)的；(2)*Y中的每一個(gè)開集的原象是X中的一個(gè)開集.片()的一個(gè)鄰域.根令U為f成立.1)蘊(yùn)涵()*:設(shè)(1)1證明條件(知知)，e)包含于B(fU(.由于f)有一個(gè)球形鄰域2.1.3據(jù)定理，f(%處是連續(xù)的，所以在點(diǎn)有一個(gè)球形鄰域廣1如此知((BfBeB(fB))，5(()，).然而，(()使得，5f匚頁(yè)40共*頁(yè)8第廣氣)，所以()，eU)(匚廣】廣】知?dú)猓┦牵〣）,這證明（（U（U的一個(gè)鄰域.，6匚氣（fl）*成立.任意給定）的一個(gè)鄰條件（1）*蘊(yùn)涵（1）.設(shè)條件（廣f礪沖，根據(jù)定理2.1.3是（的一個(gè)鄰域.f（）,e域B（ef（）,）,）則（B-口沖）包含于6（,有一個(gè)球形鄰域BjT氣 （）.f）,e（B（知血知（f（B在點(diǎn)處連續(xù).因此，6））B（f（）,e）.這證明fu中的一個(gè)開集，為Y*?設(shè)條件（2）成立.令V2條件（）蘊(yùn)涵（2）J』是一個(gè)開集，所Vx）ey.由于）.對(duì)于每一個(gè)xeu,我們有f（U（=VxU是1）*,）的一個(gè)鄰域.由于以V是f（xf在每一點(diǎn)處都連續(xù)，故根據(jù)（由U=UxeUUx.U.易見Ux的一個(gè)鄰域.于是有包含x的某一個(gè)開集Ux使得匚U是一個(gè)開集.都是開集，根據(jù)定理2.1.2，于每一個(gè)Ux）的x是f（2）*成立，對(duì)于任意xeX,設(shè)U條件（2）*蘊(yùn)涵（2）.設(shè)（尸廣】根.U）（（的一個(gè)開集x）VU.從而VxE）f一個(gè)鄰域，即存在包含（匚匚廠尸x的一個(gè)鄰域，對(duì)于U據(jù)條件（2）*,（V）是一個(gè)開集，所以）是x（是任意選取的，所以處連續(xù).由于點(diǎn)x在點(diǎn)*成立，于是fx）而言，條件（1f是一個(gè)連續(xù)映射.從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān)（注意，鄰域是通過開集定義的）.這就導(dǎo)致我們甩開度量這個(gè)概念，參照度量空間中開集的基本）建立拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的概念性質(zhì)（定理2.1.2作業(yè)：P471.2.3.4.頁(yè)40共**頁(yè)9第拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射§2.2：本節(jié)重點(diǎn).并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念，：注意區(qū)別.拓?fù)淇臻g的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開集及其基本性質(zhì)（定理2.1.2）出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g的概念.TT滿足如下X是一個(gè)集合，定義2.2.1設(shè)X的一個(gè)子集族.如果是條件：0tE（；lX）,TT；（2）若A,BEAEB￡,則戛匚二ULJ心/eT（3）若t是X的一個(gè)拓?fù)?則稱tt）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或x如果，是集合X的一個(gè)拓?fù)?，則稱偶對(duì)（TT是一個(gè)相對(duì)于拓?fù)涠缘耐負(fù)淇臻g；此外稱集合的每一個(gè)元素都叫做Xtt^.即：AEA是開集.）或（開集XX拓?fù)淇臻g（，）中的一個(gè)（此定義與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎？留給大家思考）經(jīng)過簡(jiǎn)單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊(yùn)涵著：有限多個(gè)開集的交仍是開集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個(gè)開集的并仍是開集.頁(yè)40共*頁(yè)10第現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇.扃中的所有開集構(gòu)為由P）是一個(gè)度量空間?令定義X2.2.2設(shè)（X,扁扃的一個(gè)拓?fù)?我們稱2.1.2）是，（X為成的集族.根據(jù)定理，X的X由.此外我們約定：如果沒有另外的說明，我們提到度度量P誘導(dǎo)出來的拓?fù)潇纾┑耐負(fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)?；在稱度量空間（X，X，pp）為拓?fù)淞靠臻g（扃空間時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g（X，）氐'Rn空），HilbertR因此，實(shí)數(shù)空間，n維歐氏空間（特別，歐氏平面間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫?.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定義的各自的度量所誘導(dǎo)出來的拓?fù)?例2.2.1平庸空間.0TT是X，｝.容易驗(yàn)證，設(shè)X是一個(gè)集合.令的一個(gè)拓?fù)?，稱之為二｛XT）為一個(gè)平庸空間.在平庸空間（；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X，乂，的乂平庸拓?fù)洹）中，有且僅有兩個(gè)開集，即X本身和空集.例2.2.2離散空間.TP（X），即由XX是一個(gè)集合.令二的所有子集構(gòu)成的族.容易驗(yàn)證，設(shè)TT）為一X；并且我們稱拓?fù)淇臻g（，的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的離散拓?fù)涫荴T）中，X的每一個(gè)子集都是開集.在離散空間（X，個(gè)離散空間.0T=｛，｛a｝，｛a，b｝，｛a，｛a，bc｝.令，b，c｝）.=2.2.3例設(shè)XTT）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.這個(gè)拓?fù)鋁的一個(gè)拓?fù)?，因此（，容易?yàn)證，是乂空間既不是平庸空間又不是離散空間.頁(yè)40共**頁(yè)11第例2.2.4有限補(bǔ)空間.設(shè)X是一個(gè)集合.首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起.因此在后文中對(duì)于X的每一個(gè)子集A，它的補(bǔ)集X-A我們我寫為.令U'0X|T=｛U的一個(gè)有限子集）U｛是X）匚T是X的一個(gè)拓?fù)洌合闰?yàn)證曰0工-；另外，根據(jù)定義便有￡T.）XET（因?yàn)?）（1T如果A和B之中有一個(gè)是空集，則AEBET,假定A（2）設(shè)A，BE和B（Rc3》月「T.的一個(gè)有限子集，所以AEBE是都不是空集.這時(shí)X=7；-（0）MT,顯然有）設(shè)（3.令5^對(duì)月=耳月與三。，則如果口如月=心住/=。5（u庭=X任意選取.這時(shí)是設(shè)5熾T的一個(gè)有限子集，所以P是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為3）,X的有限補(bǔ)拓根據(jù)上述（1）,（2）和（P）稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間.，撲.拓?fù)淇臻g（X例2.2.5可數(shù)補(bǔ)空間.設(shè)X是一個(gè)集合.令U10T的一個(gè)可數(shù)子集}U{X）={UX|是匚T是X2.2.4通過與例中完全類似的做法容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自證）的一個(gè)T）稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間.，的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?拓?fù)淇臻g（拓?fù)?，稱之為XX頁(yè)40共*頁(yè)12第一個(gè)令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？換句話就是問：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來？P使）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在X的一個(gè)度量設(shè)（X,p定義2.2.3烏PP）是一個(gè)P誘導(dǎo)出來的拓?fù)淇啥攘炕?，則稱（得拓?fù)鋁,即是由度量間.根據(jù)這個(gè)定義，前述問題即是：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇梢钥闯?，和從?.1中的習(xí)題23空間都是離散空間.然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話，它肯定不是中給出的那個(gè)空間只含有三個(gè)點(diǎn)，2.2.3離散空間，因此它不是可度量化的；例拓?fù)淇臻g是比可度量空間的但不是離散空間，也不是可度量化的.由此可見，進(jìn)一步的問題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這范圍要廣泛.是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問題之一，以后我們將專門討論.現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射.U定義2.2.4是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y.如果中每一個(gè)開集Y設(shè)X和YjT的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱Xf是中的一個(gè)開集，則稱X到Y(jié)（的原象U）是映射三連續(xù).按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了§2.1中的定理2.1.4的啟發(fā).并且那個(gè)定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f:X-Y是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射，反之亦然.（按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌╉?yè)40共**頁(yè)13第但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易，性質(zhì).都是拓?fù)淇臻g.則，Y和ZX定理2.2.1設(shè)演是一個(gè)連續(xù)映射；1:X-X）恒同映射：（也是連續(xù)映射.和g：Y-Z都是連續(xù)映射，則gof:X-Z（2）如果玖—丫虹/已寫尸⑶=圣寫演l連續(xù).），所以證明（）設(shè)2f:X-Y,g:Y一Z都是連續(xù)映射（以片與,（EV（礦）=廠（廣W））已弓連續(xù).這證明gof如在線性代數(shù)中我們考在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對(duì)象?慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等.并且對(duì)于后群論中的同構(gòu)，者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構(gòu)，集合論中的一一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)（即平移加旋轉(zhuǎn)）等等.我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對(duì)象，即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射.下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關(guān)注.是一個(gè)一一映射，f：X-YY設(shè)X和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果2.2.5定義/T和f是一個(gè)同胚映射或同胚.都是連續(xù)的，則稱：Y-X并且f定理2.2.2設(shè)X都是拓?fù)淇臻g.則Y和Z,凝:X-X）恒同映射（1是一個(gè)同胚；了7）如果f：X-Y（:Y-X也是一個(gè)同胚；2是一個(gè)同胚，則頁(yè)40共*頁(yè)14第:X-Z也是一個(gè)同胚.：Y-Z都是同胚，^Qgof（3）如果f：X—Y和g2.2.1,定理證明以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理.5.4..53和定理1.1俄=奴尸演演是一個(gè)一一映射，并且（1是同胚.），都是連續(xù)的，從而是一個(gè)一一映射，并且f和）設(shè)f：X-Y是一個(gè)同胚.因此f都（2（廣廠'y1也都是連續(xù)的，也是一個(gè)一一映射并且是連續(xù)的.于是和所以也是一個(gè)同胚.，f都是一一映射，并且因此f和gf）設(shè)：X-Y和g：Y-Z都是同胚.（3『i廣】和且gof射，并一因此gof也是一映，g續(xù)和都是連的?（g口刀一】=廣、廣gof是一個(gè)同胚.都是連續(xù)的.所以：X-Y，則f和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在一個(gè)同胚設(shè)定義2.2.6X.同胚于YX是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X稱拓?fù)淇臻g與拓?fù)淇臻gY粗略地說，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間.都是拓?fù)淇臻g.則和Z設(shè)X，Y定理2.2.3X同胚；1）X與（同胚；Y與X同胚，則（2）如來X與YZ同胚.同胚，貝與ZX與同胚，）如果（3X與YY2.2.2直接得到.證明從定理在任意給定的一個(gè)由拓?fù)淇臻g組成的族中，我們可以說：根據(jù)定理2.2.3，因而同胚關(guān)系將這個(gè)拓?fù)淇諆蓚€(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.間族分為互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚.頁(yè)40共**頁(yè)15第，如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚P拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì).換言之，拓拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一個(gè)撲不變性質(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì).拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個(gè)在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過了很長(zhǎng)的一在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對(duì)所研究的問題不斷地加以抽象這段時(shí)期才完成的工作.種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對(duì)象（或其中的某也正因?yàn)槿绱?，是一個(gè)去粗取精的過程.一個(gè)方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升，新的概念和理論往往有更多的包容.一方面它使我們對(duì)“空間”和“連續(xù)”有更為純正拓?fù)鋵W(xué)無疑也是如此，的認(rèn)識(shí)，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對(duì)象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）.這一切讀者在學(xué)習(xí)的過程中必然會(huì)不斷地加深體會(huì).作業(yè)：P552,5,6,8,9,10§2.3鄰域與鄰域系本節(jié)重點(diǎn)：掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理2.3.1）.頁(yè)40共*頁(yè)16第我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性，然后再定義這個(gè)映射本身的連續(xù)性.然而對(duì)于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在§2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了.在定理2.1.4中我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，為此只要有一個(gè)適當(dāng)?shù)姆Q之為“鄰域”的概念，而在§2.1中定義度量空間的鄰域時(shí)又只用到“開集”.因此我們先在拓?fù)淇臻g中建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會(huì)使我們感到突然.P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，xeX.如果U是X的一個(gè)子集，定義2.3.1設(shè)（X，P使得xeVU，則稱U滿足條件：存在一個(gè)開集V￡是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.點(diǎn)x匚的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系.易見，如果U是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開集，那么它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱U是點(diǎn)x的一個(gè)開鄰域.首先注意，當(dāng)我們把一個(gè)度量空間看作拓?fù)淇臻g時(shí)（這時(shí)，空間的拓?fù)涫怯啥攘空T導(dǎo)出來的拓?fù)洌?，一個(gè)集合是否是某一個(gè)點(diǎn)的鄰域，無論是按§2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事.定理2.3.1拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集U是開集的充分必要條件是U是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要x￡U，U便是x的一個(gè)鄰域.0是空集，以下證明充分性.如果U證明定理中條件的必要性是明顯的.0U尹.根據(jù)定理中的條件，當(dāng)然U是一個(gè)開集.下設(shè)uU =比村國(guó)uUk疝。uUV7eu, 使得U?M故U二，根據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個(gè)開集.定理2.3.2概括了鄰域系的基本性質(zhì).頁(yè)40共**頁(yè)17第"訂是一個(gè)拓?fù)淇臻g.記為點(diǎn)xeXX的鄰域系.則：定理2.3.2設(shè)UexeX，；并且如果尹，則（1）對(duì)于任何x^U；嘰U.Unve，VWU，則；（2）如果皿久VE并且U；V（3）如果，則UE匚旗久VW滿足條件：（a）VU和，則存在（b）（4）如果對(duì)于任何UW匚0VW.yWV，有久久0V■槌P且由定義，..?XW證明（1）,.?.，尹如果X,XW%，則xWUUWX上Uq匚U右村*?？赬LVq匚PPP和使得W則存在設(shè)2（）U,VE.U.和€工任命□刑匚口「尸y也雙eUkT,Aunve成立.從而我們有，”舌"匚V盤WqETqxe程q匚U「xeU°uV…Ve巳UE,并且設(shè)3（）風(fēng)兀匚uP.V滿足條件已經(jīng)滿足條件（a）,根4（）設(shè)UE.令VE據(jù)定理2.3.1,它也滿足條件（b）.以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g理論，這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用.這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪淼煤?jiǎn)潔.定理2.3.3設(shè)X是一個(gè)集合.又設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)xeX指定了x的一個(gè)子"訂集族，并且它們滿足定理2.3.2中的條件（1）?（4）.則x有惟一的一?P子集族xEX，個(gè)拓?fù)銽使得對(duì)于每一點(diǎn)在拓?fù)淇臻g恰是點(diǎn)x（X，）中的鄰域系.（證明略）頁(yè)40共*頁(yè)18第現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推廣到拓?fù)淇臻g之間的映射中去.定義2.3.2設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y，xEX.如果尸的原象（U）是UxEX的一個(gè)鄰域，則稱映射ff（x）EY的每一個(gè)鄰域是一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射，或簡(jiǎn)稱映射三在點(diǎn)x處連續(xù).與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性也明顯地是受到了§2.1中的定理2.1.4的啟發(fā).并且該定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f:X-Y是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)映射，它在某一點(diǎn)xEX處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然.這里我們也有與定理2.2.1類似的定理.定理2.3.4設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g.則見）恒同映射：XfX在每一點(diǎn)xEX（1處連續(xù)；（2）如果f：X-Y在點(diǎn)xEX處連續(xù)，g：Y-Z在點(diǎn)f（x）處連續(xù)，則gof：XfZ在x處連續(xù).證明請(qǐng)讀者自己補(bǔ)上.以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間的聯(lián)系.定理2.3.5設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f：X^Y.則映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一點(diǎn)xEX，映射f在點(diǎn)x處連續(xù).證明必要性：設(shè)映射三連續(xù)，寸沱u時(shí),w巳寫,己Vug居匚?一?廣沱耳」廣】（①丘久這證明f在點(diǎn)X處連續(xù).頁(yè)40共**頁(yè)19第x處連續(xù).充分性：設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)xEX，映射三在點(diǎn)■wn寫mW畦廣切心已口川）=廣段）已"“?廣】?已&f連續(xù).這就證明了作業(yè)：，掌握證明一個(gè)映射是否連續(xù)的方法.掌握證明一個(gè)子集是鄰域的方法§2.4導(dǎo)集，閉集，閉包本節(jié)重點(diǎn)：熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念；區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同；掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件；掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件.如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對(duì)它們進(jìn)行分類處理.定義2.4.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，入乂.如果點(diǎn)xEX的每一個(gè)鄰域U匚0，則稱點(diǎn)乂乂中異于的點(diǎn)，即Un（A-｛x｝是集合）^A的一個(gè)凝聚中都有A點(diǎn)或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d（A）.如。=，）Un（A-｛x｝使得即存在x果xEA并且不是A的凝聚點(diǎn)，x的一個(gè)鄰域U的一個(gè)孤立點(diǎn).為Ax則稱）：（牢記即頁(yè)40共*頁(yè)20第崩心E’m（冬⑴）=°在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)?因此，當(dāng)你在討論問題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠终劦侥硞€(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對(duì)于哪個(gè)拓?fù)涠裕蝗菰S產(chǎn)生任何混淆.由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞?，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時(shí)時(shí)都會(huì)發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請(qǐng)讀者自己留心.某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對(duì)歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)一般的拓?fù)淇臻g都有效.以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象.例2.4.1離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集.設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集.由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是開集，因此如果x^X，則X有一個(gè)鄰域｛x｝，使得｛時(shí)-⑴）=9n源』（』），以上論證說明，集合A沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，0）=.d（A從而A的導(dǎo)集是空集，即2.4.2例平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集.是X中的一個(gè)任意子集.我們分三種情形討論：設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A。A顯然沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即第1種情形：.這時(shí)A二。.（可以參見定理2.4.1中第（d（A）l=）條的證明.）氣

｛=A是一個(gè)單點(diǎn)集，令A(yù)第｝如果只有x￡X,x尹，點(diǎn)x2種情形：產(chǎn)占門(四-⑴)(時(shí))K0，所以X,這時(shí)；因此x惟一的一個(gè)鄰域孔于而對(duì).xed即(:X鄰惟的一域有A)然，聚個(gè)的是A一凝點(diǎn)頁(yè)40共**頁(yè)21第Xn(A-｛xQy)=0,', 所以=X-A.(A)d中的每一個(gè)點(diǎn)都包含點(diǎn)多于一個(gè).請(qǐng)讀者自己證明這時(shí)X3種情形：A第X.(A)=是A的凝聚點(diǎn)，即d.則是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX定理2.4.1設(shè)X匚0。 ()d；= (l))；)A(Bd(A)d蘊(yùn)涵B(2匚匚)；)Ud(B(AUB)=d(Ad(3)A).(A))AUd(d(4)d(匚U，xeX和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域證明(1)由于對(duì)于任何一點(diǎn)= 心0〉項(xiàng)、0)=0UE有xEd(A),UEUK?.?UE四-｛再)M0.如果BA(2)設(shè).匚LU-⑴)h礦'乂后B).d(這證明了dA)(匚，(AUB)，)) (3根據(jù)(2，因?yàn)锳BB)dAd()，d(AUB，所以有匚匚(AUB).)BAd從而()Ud(d^g)巖Ud(d^g)巖另一方面，如果pWm日 舟)=0mVc(B-3)=0mDc(AuE—⑴)=Dc((A—閔)_｛町))=(Z)CQ4-出｝))U(Z)C(3-=0=0=> B)=>d(^AuB)這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一(3綜上所述，可見()成立.佬月n無佬H)只要證方法：，要證即可.頁(yè)40共*頁(yè)22第口尸。門(』一｛對(duì))=0mTczUn礦—｛紈=0■.■無任礦==Wc(d(A)-W)=0設(shè)：二工至四或uAu廿3)即(4)成立.定義2.4.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于匚A，則稱A(A)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集.A，即d匚中的討論可見，離散空間中的任何一個(gè)子2.4.2例如，根據(jù)例2.4.l和例集都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集.A定理2.4.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)X.則A匚次是一個(gè)開集.的補(bǔ)集證明必要性：設(shè)A是一個(gè)閉集

PxE礦nj:隹A,-：d(A')cAWgnm口氏口廣口c(A—法))=0.'.UnA=0,nU匚R=AeT點(diǎn)eT,Wx舉孔UK,■.■A,riA=0,二*F』-｛町)=C3nx^d(A)充分性：設(shè)：」,』3)匚拓是一個(gè)閉集.A即中作為閉集的區(qū)間.2.4.3實(shí)數(shù)空間R例設(shè)a,b￡R,aVb.閉區(qū)間[a,b]是

實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)閇a,[4句’的補(bǔ)集=(-8,a)E(b,8)是—個(gè)開集.b]頁(yè)40個(gè)開集.b]頁(yè)40共**同理，(-8,a],[b,頁(yè)23第8)都是閉集，(-8,8)=R顯然更是個(gè)閉任a)的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但，b是(,b)卻不是閉集，因?yàn)閍a集.然而開區(qū)間(a(a,b).同理區(qū)間(a,b],[a,b),(-8,&)和(b,8)都不是閉集.F為所有閉集構(gòu)成的族.則：是一個(gè)拓?fù)淇臻g.記X定理2.4.3設(shè)0F,1)XG(FF，則A,BGAUBE(2)如果&卷...孔飪心…皿丘尹(從而如果)恥匚Fnc虹町AeF。)如果乂 (3名0)條中，我們特別要求在此定理的第(3乂的原因在于當(dāng)希0=時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒有定義.U'F｝其中，T為X的拓?fù)?|UG根據(jù)定理證明2.4.2,我們有T=m= =01(GT,.?.)?.?X,F，則、 (2)若ABE4序 二礦F7；=｛』'|AE瓦｝一7[uT,=>Um對(duì)*ET.(3)令：n門血再龍=門業(yè)否=(LJs打1yeK定理證明完成.總結(jié)：(1)有限個(gè)開集的交是開集，任意個(gè)開集的并是開集.其余情形不一定.(2)有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集.其余情形不一定.頁(yè)40共*頁(yè)24第定義2.4.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,AX,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并匚萬^一或記作AUd(A)稱為集合A的閉包,ke/今0(注意：，與xGd(A)的區(qū)別容易看出)A=是閉集的充要條件是X的子集A定理2.4.4拓?fù)淇臻gA而這又當(dāng)且僅當(dāng)d(A)集合A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)證明：定理成立是因?yàn)椋贺蜛=AUd(A)（1） 0=0;（2） 網(wǎng)匚云；=AuB-定理2.4.5設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則對(duì)于任意A,BGX，有：（4百=頁(yè)0是閉集.）成立是由于證明（1 （2）成立是根據(jù)閉包的定義.=G4u獄①）u（歸（3）成立是因?yàn)?網(wǎng)。萬4）成立是因?yàn)椋?兀硝=兀。定=AUd（A）Ud（d（A））/=）=AUd（A在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理2.4.l中的第（3）條和第（4）條.頁(yè)40共**頁(yè)25第A的閉包都是閉集.A的任何一個(gè)子集定理2.4.6拓?fù)淇臻gX4）直接推得.證明根據(jù)定理2.4.4和定理2.4.5（中所有的閉某構(gòu)成的族，是由空間X2.4.7設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)定理A,有則對(duì)于X的每一個(gè)子集拓即集合a的閉包等于包含a的所有閉集之交.R包含于，而后者是一個(gè)閉集，由定理證明因?yàn)锳2.4.4與定理2.4.5（4）門￡^0淑月Xg有AA^A，所以另一方面，由于是一個(gè)閉集，并且（“交”包含于形成交的任一個(gè)成員）綜合這兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式.由定理2.4.7可見，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最小的閉集.在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過度量來刻畫.定義2.4.5設(shè)（X，P）一個(gè)度量空間.X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的距離P（x，A）定義為p（x，A）=inf{p（x，y）|y^A}

根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：P（x,A）=0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)8>0,存在yCA使得P（x,y）<￡，換言之即是：對(duì)于任意B（x,頁(yè)40共*頁(yè)26第。0UEA尹有，x的任何一個(gè)鄰域，eU）EA尹，而這又等價(jià)于：、對(duì)于；）有B（x應(yīng)用以上討論立即得到.定理2.4.9設(shè)A是度量空間（X,P）中的一個(gè)非空子集.則（1）x^d（A）當(dāng)且僅當(dāng)P（x,A-{x}）=0；A）xC當(dāng)且僅當(dāng)p（x,A）=0. （2以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了另外的手段.定理2.4.10設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X^Y.則以下條件等價(jià):（l）f是一個(gè)連續(xù)映射；尸的原象（B）是一個(gè)閉集；B）Y中的任何一個(gè)閉集（2（3）對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A,A的閉包的象包含于A的象的閉包，即『⑴匚而;⑷對(duì)于Y中的任何一個(gè)子集B,B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即.3是一個(gè)開集，因此根證明（1）蘊(yùn)涵（2）.設(shè)BY是一個(gè)閉集.則匚廣L（9）=（廣），是X中的一個(gè)開集，因此據(jù)（1廣】中的一個(gè)閉集.是X（B）匚匚尸。W.?而k凸）,Af（.XA3⑵蘊(yùn)涵（）設(shè)由于匚廣L（六塑沱處「3 u了（』）成立.），2根據(jù)（J「'（b）Y集合A設(shè)蘊(yùn)涵（3）（4）X應(yīng)用（3）即得匚匚u{頊唯））UJ（尸㈤）U』二廣"）u{頁(yè)40共**頁(yè)27第對(duì)中的一個(gè)閉集.則是Y.設(shè)U是中的一個(gè)開集.Y蘊(yùn)涵（4）（l）此集合應(yīng)用（4）:，證明一個(gè)子集是開集證明映射連續(xù)的方法有幾種?總結(jié)一下，到目前為止,？如何證明一個(gè)點(diǎn)是某個(gè)子集的凝聚點(diǎn)閉集的方法有幾種？作業(yè):2P691.§2.6基與子基本節(jié)重點(diǎn)：掌握基與子基的概念，點(diǎn)的鄰域與基之間的關(guān)系；掌握基、子基與開集的關(guān)系；掌握如何用基表示開集.在討論度量空間的拓?fù)涞臅r(shí)候，球形鄰域起著基本性的重要作用.一方面，每一個(gè)球形鄰域都是開集，從而任意多個(gè)球形鄰域的并也是開集；另一方面，假設(shè)U是度量空間X中的一個(gè)開集.則對(duì)于每一個(gè)xeu有一個(gè)球形鄰域B（X，U= ，因此u.這就是說，一個(gè)集合是某度量空間中的一個(gè)）^匚頁(yè)40共*頁(yè)28第開集當(dāng)且僅當(dāng)它是這個(gè)度量空間中的若干個(gè)球形鄰域的并.因此我們可以說，度量空間的拓?fù)涫怯伤乃械那蛐梧徲蛲ㄟ^集族求并這一運(yùn)算“產(chǎn)生”出來的.留意了這個(gè)事實(shí)，下面在拓?fù)淇臻g中提出“基”這個(gè)概念就不會(huì)感到突然了.TBTT中）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，的一個(gè)子族.如果定義2.6.1設(shè)（X，是B中某些元素的并，即對(duì)于中的每一個(gè)開集）是的每一個(gè)元素（即拓?fù)淇臻g如5T，存在UE使得每一個(gè)U=4鳥/BTB是拓?fù)淇臻gX則稱的一個(gè)基.是拓?fù)涞囊粋€(gè)基，或稱按照本節(jié)開頭所作的論證立即可得：定理2.6.1一個(gè)度量空間中的所有球形鄰域構(gòu)成的集族是這個(gè)度量空間作為拓?fù)淇臻g時(shí)的一個(gè)基.特別地，由于實(shí)數(shù)空間R中所有開區(qū)間構(gòu)成的族就是它的所有球形鄰域構(gòu)成的族，因此所有開區(qū)間構(gòu)成的族是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基.至于離散空間，它有一個(gè)最簡(jiǎn)單的基，這個(gè)基由所有的單點(diǎn)子集構(gòu)成.下面的定理為判定某一個(gè)開集族是否是給定的拓?fù)涞囊粋€(gè)基提供了一個(gè)易于驗(yàn)證的條件.月匚TBTB），則）的一個(gè)開集族（即定理2.6.2設(shè)，是拓?fù)淇臻g（X是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一^個(gè)xEX和x的每一個(gè)鄰域.B的一個(gè)基，貝V是X證明設(shè)刁％匚吧==蟲身孔,'36=供目只根據(jù)基的定義，頁(yè)40共**頁(yè)29第mp產(chǎn)￡1匚Bm作虬匚PyA三區(qū)匚隊(duì)可知存在B這證明滿足定理中的條件.中的一個(gè)開集，則對(duì)于每一X另一方面，設(shè)定理中的條件成立.如果U是XEU,個(gè)「刀=L見BBXU是的一個(gè)基.中某些元素之并，從而是因此，在度量空間中，通過球形鄰域確定了度量空間的拓?fù)?，這個(gè)拓?fù)湟匀w球是否一個(gè)集合的每一個(gè)子集族都可以確定一個(gè)拓?fù)湫梧徲驑?gòu)成的集族作為基.以下定理告訴我們一個(gè)集合的什么樣的子集族可以以它為基？答案是否定的.成為它的某一個(gè)拓?fù)涞幕?B的一個(gè)子集族（即是集合2.6.3設(shè)X是一個(gè)集合，X定理BPB.如果滿足條件：（X））匚。血己/=工）（1； B5Bl,B2eB,如果（2）則對(duì)于任何則X的子集族= "8T}X|使得存在{U=cBB是如果X是集合X的惟一的一個(gè)以的一個(gè)子集族為基的拓?fù)?；反之，B）.）和（X的某一個(gè)拓?fù)涞幕瑒t2一定滿足條件（1B的子集族滿足條件：對(duì)于任意值得注意的是，如果集合X用門勺弓尼BBB2.這時(shí)，e）.這種情形經(jīng)常遇到?，必然滿足條件（有GB）.我們先驗(yàn)證定理中給出的2滿足條件（1證明設(shè)X的子集族）和（T的一個(gè)拓?fù)洌菏荴0=4思00.BTT而，所以ell（）根據(jù)條件（），Xe；由于匚頁(yè)40共*頁(yè)30第曷,％TB這是因?yàn)楦鶕?jù)條件e，則（2e）我們先驗(yàn)證：如果區(qū)-Em 匚,xe,2（），對(duì)于每一個(gè)存在由于召1門召?gòu)Vu心門鳥wu心門與吧^匚用n電’啟ri月偵u心門與W^T現(xiàn)在設(shè)4巳Tn,8飛匚5mA=LJq。鳥，也三1-J鳧淄Q成立.因此4 =⑴。點(diǎn)Gl〉h（LL芬q）=|.據(jù),°苛qI|弓q2b中某些元都是根據(jù)前說，上式中最后那個(gè)并集中的每一項(xiàng)4^^A.nA.eTB中某些元素之并，因此素之并，所以也是"T （3）設(shè)則歸已紜=Um耳召U =U（Ug』E）=U蹄LJ面點(diǎn)占已T上以TBTTX的一個(gè)拓?fù)?根據(jù)是拓?fù)涞亩x立即可見證明了的一個(gè)基.是集合尸B為它的一個(gè)基.根據(jù)基的定義，任何假設(shè)集合X以還有一個(gè)拓?fù)銽3TBT,這證明必為另一方面，由于中某些元素的并，所以一個(gè)AeA匚尸TBTB是因此也是，所以如果Ae中的某些元素之并，則中某些元素之A匚TTTTTTAe是一個(gè)拓?fù)?，所?因此二并；由于.這說明以這又證明了匚B為基的拓?fù)涫俏┮坏?BT*的一個(gè)基.由是X的某一個(gè)拓?fù)渥詈笞C明定理的后半段.設(shè)TBB之并.因此（1）X必為中的某些元素的并，故必為集族成立.設(shè)Xe*可知月門為弓門％"心TB.是x*.由于和的一個(gè)開鄰域，根據(jù)定理xe匚嘰已3使得2.6.2，存在住吧fEg這證明條件（2）成立.，頁(yè)40共**頁(yè)31第在定義基的過程中我們只是用到了集族的并運(yùn)算，如果再考慮集合的有限交運(yùn)算（注意拓?fù)渲皇菍?duì)有限交封閉的，所以只考慮有限交），便得到“子基”這個(gè)概念.TT的一個(gè)子族.如果的所）是是一個(gè)拓?fù)淇臻g，定義2.6.2設(shè)（X,有非空有限于族之交構(gòu)成的集族，即日三｛團(tuán)門&—"門如晃巴似9三12…也作Z十｝TT的一個(gè)子基，或稱集族的一個(gè)基，則稱集族是拓是拓?fù)涫峭負(fù)鋼淇臻gX的一個(gè)子基.例2.6.2實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基.實(shí)數(shù)集合R的一個(gè)子集族猝=｛（a,8）|aER｝U｛（—8,b）|bER｝尊甲的一個(gè)子基.這是因?yàn)槭菍?shí)數(shù)空間的一個(gè)開集族，并且是實(shí)數(shù)空間RW的每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族恰好就是所有有限開區(qū)間構(gòu)0職｛｝，顯然它是實(shí)數(shù)空間R成的族并上再并上的一個(gè)基.X是定理2.6.4設(shè)X的一個(gè)子集族（即是一個(gè)集合，呼甲T.如果以為子基.并且若令則X有惟一的一個(gè)拓?fù)鋚（x））匚"如必門…凸摭閔=1,2^...^eZJT=CIc5）則BTB滿足定理2.6.3中的條件（如定理中.容易驗(yàn)證l）和證明令和呼TTB的一個(gè)子基.是），因此根據(jù)該定理，是的一個(gè)基，所以2（頁(yè)40共*頁(yè)32第尸7彩B以的一個(gè)拓?fù)洌匀绻荴為一個(gè)子基，則根據(jù)子基的定義，尹T為基.根據(jù)定理2.6.3中的惟一性，我們有二映射的連續(xù)性可以通過基或子基來驗(yàn)證.一般說來，基或子基的基數(shù)不大于拓?fù)涞幕鶖?shù)，所以通過基或子基來驗(yàn)證映射的連續(xù)性，有時(shí)可能會(huì)帶來很大的方便.是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XfY.則以下條件等價(jià):和Y定理2.6.5設(shè)X連續(xù);）f（l尸BB）是B，使得對(duì)于任何一個(gè)BE， （2）拓?fù)淇臻gY有一個(gè)基（X中的一個(gè)開集甲中的是有一個(gè)子基，使得對(duì)于任何一個(gè)（S）SEX原象（3）Y一個(gè)開集.的一Y3）是顯然的，因?yàn)閅的拓?fù)浔旧肀闶亲C明條件（l）蘊(yùn)涵（個(gè)子基.俱）中的要滿足（3條件（3）蘊(yùn)涵（2Y）.設(shè)是的拓?fù)涞囊粋€(gè)子基，求.根據(jù)定義，日三國(guó)門&C??凸摭閔辨H12…也住迎是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基./俱知nE，我們有，其中，，i=1對(duì)于任何2,…，n廣鏘門必"門名）=廣'即門廣（昆）"^廣'（第 氣它是XX中的一個(gè)開集.個(gè)開集之交，因此是中nEB）中的2的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，它滿足（是Y）.設(shè)條件（2）蘊(yùn)涵（1中的一個(gè)開集，則是YU要求.如果35luB,a"=U心B:丁*=/^（U^食=LL球了「Pg）頁(yè)40共**頁(yè)33第是X中一族開集之并，所以是X中的一個(gè)開集.這證明f連續(xù).對(duì)于局部情形，也有類似于基和子基的概念.的鄰域系.的子為2.6.3設(shè)Xx是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x￡X.記定義皿咯電V￡族如果滿足條件：對(duì)于每一個(gè)，存在UE,使得”占的x的一個(gè)鄰域基.是點(diǎn)x的的鄰域系的一個(gè)基,，VU或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)則稱匚嘰嘰如果滿足條件：子族每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族，即｛繩A叫□???C嘰網(wǎng)已嘰，/1,2，?宜EZQ是x的一個(gè)鄰域基，則稱此是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)子基，或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基.顯然，在度量空間中以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體球形鄰域是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基；以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體以有理數(shù)為半徑的球形鄰域也是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基.鄰域基和鄰域子基的概念可以用來驗(yàn)證映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性.定理2.6.6設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y，x￡X.則以下條件等價(jià)：(1)f在點(diǎn)x處連續(xù)；廣】阡㈤陽(yáng)餌原象，(V)，使得對(duì)于任何f(x)(2)V￡有一個(gè)鄰域基；的一個(gè)鄰域；x是陽(yáng)皿陽(yáng)皿，原象f(x)(3)有一個(gè)鄰域子基，使得對(duì)于任何W￡是x的一個(gè)鄰域.(W))(證明略，子基與鄰域子基有以下關(guān)聯(lián).基與鄰域基定理2.6.7X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x&X.則設(shè)頁(yè)40共*頁(yè)34第的一個(gè)基，則B)如果是X(1烏B=(B￡|x￡B｝的一個(gè)鄰域基；是點(diǎn)x的一個(gè)子基，則是(2X)如果叫職=(S￡|x￡S｝x的一個(gè)鄰域子基.是點(diǎn))(略證明作業(yè)：7.P821.4§2.7拓?fù)淇臻g中的序列本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)淇臻g中序列的概念，及極限點(diǎn)的概念；掌握數(shù)學(xué)分析中的序列的性質(zhì)與拓?fù)淇臻g中的序列的性質(zhì)有何不同；掌握不可數(shù)集中序列的特性；掌握點(diǎn)集的凝聚點(diǎn)與序列的極限點(diǎn)的關(guān)系.在讀者熟知的數(shù)學(xué)分析課程中，往往用序列收斂的概念作為出發(fā)點(diǎn)來刻畫集合的凝聚點(diǎn)，函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性等等.在這一節(jié)我們便會(huì)看到這種做法在一般的拓?fù)淇臻g中并不可行；而要使得它變?yōu)榭尚械?，則要對(duì)拓?fù)淇臻g加以適當(dāng)?shù)南拗?我們將來再研究這種限制加到什么程度為合適.頁(yè)40共**頁(yè)35第、S:—X，叫做是一個(gè)拓?fù)淇臻g.每一個(gè)映射乂中的一定義2.7.1設(shè)X｛石｝TA-?｛而氐& ）或者干脆記作；或者,，個(gè)序列.我們常將序列S.記作｛由皿薄三我）室孔氣｛.有時(shí)我們也將記號(hào)其中｝,但這時(shí)要警惕不簡(jiǎn)化為要與單點(diǎn)集相混.拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列實(shí)際上就是在X中按先后次序取到的一串點(diǎn)，這｛為｝按+可以僅由有限個(gè)點(diǎn)組成，當(dāng)這個(gè)集合是些點(diǎn)可能重復(fù).因此一個(gè)序列｛海氐4為一個(gè)常值序列.單點(diǎn)集時(shí)，我們稱序列儂｝國(guó)十的xX中的一個(gè)序列，x￡X.如果對(duì)于定義2.7.2是拓?fù)淇臻g設(shè)｛為｝2&虬,xieU,i>U每一個(gè)鄰域，存在MMe時(shí)有則稱點(diǎn)x是序列，使得當(dāng)0｝料的一個(gè)極限點(diǎn)（或極限），也稱為序列收斂于x,記作而氣或fx（i—8）=x lim如果序列至少有一個(gè)極限，則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列.拓?fù)淇臻g中序列的收斂性質(zhì)與以前我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中熟悉的有很大的差別.例如，容易驗(yàn)證平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂，并且收斂于這個(gè)空間中的任何一個(gè)點(diǎn).這時(shí)極限的惟一性當(dāng)然無法保證了.:fX是X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,XS,中的兩個(gè)序列.如定義2.7.3設(shè)如〈的地屈、？+:即對(duì)于任意如果Nf,,（果存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的映射花花^2勺,則稱序列是序列S的一個(gè)子序列.=N（）V，使得0SoNN則有｛而裳％凱那么序列假如我們將此定義中的序列自然可以記作S記作｛砌Eh土｛砌川心個(gè)點(diǎn)恰是序列第，也就是說，序列iiN第（）個(gè)點(diǎn).頁(yè)40共*頁(yè)36第我們已經(jīng)看到，我們以前熟悉的序列的性質(zhì)有許多對(duì)于拓?fù)淇臻g中的序列是不適合的.但總有一些性質(zhì)還保留著，