初中數(shù)學人教版八年級上冊第十三章軸對稱1等腰三角形（省一等獎）

等邊三角形典題探究例1.如圖，ΔABC是等邊三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，則圖中60°的角有_____個．例2.如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（）A.180°B.220°C.240°D.300°例3.如圖，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足為E，若DE＝2cm，則BC＝_____cm.例4.如圖，△ABC為正三角形，D為邊BA延長線上一點，連接CD，以CD為一邊作正三角形CDE，連接AE，判斷AE與BC的位置關系，并說明理由．演練方陣A檔（鞏固專練）1．下圖是由九個等邊三角形組成的一個六邊形，當最小的等邊三角形邊長為2cm時，這個六邊形的周長為（）cm．A．30B．40C．50D．602．如圖，△ABC中，AB=AC，△DEF為等邊三角形，則α、β、γ之間的關系為（）A．B．C．D．3．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15°B．°C．30°D．45°4．如圖，△ABC是等邊三角形，P是BC上任意一點，PD⊥AB，PE⊥AC，連接DE．記△ADE的周長為L1，四邊形BDEC的周長為L2，則L1與L2的大小關系是（）A．Ll=L2B．L1＞L2C．L2＞L15．如圖，△ABC為邊長是5的等邊三角形，點E在AC邊上，點F在AB邊上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，則CE的長是（）A．B．C．20+10D．20﹣106．如圖中左邊圖形，連接等邊三角形的各邊中點將得到一個小等邊三角形，右邊的圖形就是這樣得到的，請問右邊圖形中的陰影部分面積大還是空白部分面積大（）A．陰影部分面積大B．空白部分面積大C.一樣大D．不確定7．如圖，等邊三角形ABC內有一點P，過點P向三邊作垂線，垂足分別為S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，則△ABC的面積等于（）A．190B．192C．1948．在邊長為2cm的等邊三角形內，隨意取一些點，如果要保證所取的點中一定存在距離小于1cm的兩點，那么取的點至少應有（）A．4個B．5個C．6個D．7個9．如圖，已知等邊△ABC外有一點P，P落在∠ABC內，設點P到BC、CA、AB三邊的距離分別為h1、h2、h3，且滿足h2+h3﹣h1=6，那么等邊△ABC的面積為（）A．12B．9C．810．如圖所示，△ABC為正三角形，P是BC上的一點，PM⊥AB，PN⊥AC，設四邊形AMPN，△ABC的周長分別為m、n，則有（）A．B．C．D．11．如圖，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，則BE=（）A．1B．2C．3D．412．如圖，D，E，F(xiàn)為等邊三角形ABC三邊中點，AE、BF、CD交于O，DE，EF，F(xiàn)D為三條中位線，則圖中能數(shù)出不同的直角三角形的個數(shù)是（）A．36B．32C．30D．2813．如圖，由四個全等的正三角形砌成一個大的正三角形，如果小正三角形的面積為25，則大正三角形的周長是（）A．100B．6014．在凸四邊形ABCD中，DA=DB=DC=BC，則這個四邊形中最大角的度數(shù)是（）A．120°B．135°C．150°D．165°B檔（提升精練）15．如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為_________．16．如圖，將邊長為3+的等邊△ABC折疊，折痕為DE，點B與點F重合，EF和DF分別交AC于點M、N，DF⊥AB，垂足為D，AD=1，則重疊部分的面積為_________．17．如右圖，以等邊△OAB的高OC為邊向逆時針方向作等邊△OCD，CD交OB于點E，再以OE為邊向逆時針方向作等邊△OEF，EF交OD于點G，再以OG為邊向逆時針方向作等邊△OGH，…，按此方法操作，最終得到△OMN，此時ON在OA上．若AB=1，則ON=_________．18．已知正△ABC的面積是1，P是△ABC內一點，并且△PAB、△PBC、△PCA的面積相等，那么滿足條件的點P共有_________個；△PAB的面積是_________．19．如圖，從等邊三角形內一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1、3、5，則這個等邊三角形的邊長為_________．20．如圖所示，直線AB、CD相交于點O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如圖），D為AC上一點，E為AB上一點，BD，CE相交于P，若四邊形ADPE與△BPC的面積相等，那么∠BPE=_________．22．如圖，平行于BC的線段MN把等邊△ABC分成一個三角形和一個四邊形，已知△AMN和四邊形MBCN的周長相等，則BC與MN的長度之比是_________．23．正三角形ABC的邊長BC=2，以該等邊三角形的高AD為正方形的邊長，則正方形的面積為_________．C檔（跨越導練）24．閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解與應用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC內部是否存在一點O，點O到各邊的距離相等？_________（填“存在”或“不存在”），若存在，請直接寫出這個距離r的值，r=_________．若不存在，請說明理由．25．小明在找等邊三角形ABC一邊的三等分點時，他是這樣做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分線并且相交于點O，然后做線段BO、CO的垂直平分線，分別交BC于E、F，他說：“E、F就是BC邊的三等分點．”你同意他的說法嗎？請說明你的理由．26．在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，（1）請說明DB=DE的理由．（2）若等邊△ABC的邊長為4cm，求△BDE的面積．27．如圖，設O為△ABC內一點，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點（不是O）．求證：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．28．如圖，等邊△ABC，D、E分別在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于點P，試求∠BPD的度數(shù)．29．閱讀下列材料，解答相應問題：已知△ABC是等邊三角形，AD是高，設AD=h．點P（不與點A、B、C重合）到AB的距離PE=h1，到AC的距離PF=h2，到BC的距離PH=h3．如圖1，當點P與點D重合時，我們容易發(fā)現(xiàn)：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同學大膽猜想提出問題：如圖2，若點P在BC邊上，但不與點D重合，結論h1+h2=h還成立嗎？通過證明，他得到了肯定的答案．證明如下：證明：如圖3，連接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．設等邊三角形的邊長AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC?AD=AB?PE+AC?PF∴a?h=a?h1+a?h2．∴h1+h2=h．（1）進一步猜想：當點P在BC的延長線上，上述結論還成立嗎？若成立，請你證明；若不成立，請猜想h1，h2與h之間的數(shù)量關系，并證明．（借助答題卡上的圖4）（2）我們容易