初中數(shù)學(xué)浙教版八年級上冊第1章三角形的初步知識

第1章三角形的初步認(rèn)識章節(jié)檢測一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．現(xiàn)有長度分別為2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列命題：①對頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③若a=b，則|a|=|b|；④若x=0，則x2﹣2x=0它們的逆命題一定成立的有（）A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②3．如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°4．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比是1：2：3，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形5．如圖所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下結(jié)論：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．三角形的三邊長分別為5，8，x，則最長邊x的取值范圍是（）A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜137．如圖，在Rt△ADB中，∠D=90°，C為AD上一點(diǎn)，∠ACB=6x，則x值可以是（）A．10° B．20° C．30° D．40°8．給出下列關(guān)于三角形的條件：①已知三邊；②已知兩邊及其夾角；③已知兩角及其夾邊；④已知兩邊及其中一邊的對角．利用尺規(guī)作圖，能作出唯一的三角形的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④9．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長是（）A．4 B．5 C．1 D．210．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中點(diǎn)，E是CD延長線上一點(diǎn)，作OF⊥OE交DA的延長線于F，OE交AD于H，OF交AB于G，F(xiàn)O的延長線交CD于K，以下結(jié)論：①OE=OF；②OH=FG；③DF﹣DE=；④S四邊形OHDK=S△BCD，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③二．填空題（共7小題，每題3分，共21分）11．如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是______．12．已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命題的是______．（填寫所有真命題的序號）13．（2023秋?岳池縣期末）如圖，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，則AD=______．14．?dāng)?shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问剑@時“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．請你將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式：______．15．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點(diǎn)，若AB=7cm，CF=4cm，則BD=______cm．16．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個條件是：______．17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以______為圓心，______為半徑畫?。謩e交OA，OB于點(diǎn)C，D．（2）畫一條射線O′A′，以______為圓心，______長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′，（3）以點(diǎn)______為圓心______長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D′．（4）過點(diǎn)______畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．三．解答題（共7小題，18，19每題6分，20,21,22每題8分，23題9分，24題12分）18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點(diǎn)P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP，當(dāng)∠B為______度時，AP平分∠CAB．19．如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．20．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是______；②當(dāng)∠BAD=∠ABD時，x=______；當(dāng)∠BAD=∠BDA時，x=______．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．21．如圖，有三個論斷①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，請從中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，并證明該命題的正確性．22．如圖，在圖中的兩個三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是對應(yīng)點(diǎn)．（1）用符號“≌“表示這兩個三角形全等（要求對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上）；（2）寫出圖中相等的線段和相等的角；（3）寫出圖中互相平行的線段，并說明理由．23．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．①求證：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．24．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

第1章三角形的初步認(rèn)識章節(jié)檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．現(xiàn)有長度分別為2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，只要滿足任意兩邊的和大于第三邊，即可確定有哪三個木棒組成三角形．【解答】解：能組成三角形的三條線段是：4cm、6cm、8cm．只有一種結(jié)果．故選A．【點(diǎn)評】考查三角形的邊時，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．下列命題：①對頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③若a=b，則|a|=|b|；④若x=0，則x2﹣2x=0它們的逆命題一定成立的有（）A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再根據(jù)課本中的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，即可得出答案．【解答】解：①對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，錯誤；②同位角相等，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同位角相等，成立；③若a=b，則|a|=|b|的逆命題是如果|a|=|b，|則a=b，錯誤；④若x=0，則x2﹣2x=0的逆命題是如果x2﹣2x=0，則x=0或x=2，錯誤；故選D．【點(diǎn)評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．3．如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=BE=EC，∠ABC=∠DBE=∠C，根據(jù)直角三角形的判定得到∠A=90°，計(jì)算即可．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴AB=BE=EC，∠ABD=∠DBE=∠C，∴∠A=90°，∴∠C=30°，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比是1：2：3，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式和直角三角形的判定不難求得各角的度數(shù)，從而可判定其形狀．【解答】解：設(shè)三個角的度數(shù)分別為x，2x，3x，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個角分別為30度，60度，90度，因而是直角三角形．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的判定：可用一角等于90度來判定．5．如圖所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下結(jié)論：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由AAS證明△ABE≌△ACF（AAS），得出∠BAE=∠CAF，得出①正確；由ASA證明△AEM≌△AFN，得出對應(yīng)邊相等②正確；由AAS證明△ACN≌△ABM，得出③正確．【解答】解：在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，∴∠FAN=∠EAM，∴①正確；在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN（ASA），∴EM=FN，AM=AN，∴②正確；在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM（AAS），∴③正確，④不正確；正確的結(jié)論有3個．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．6．三角形的三邊長分別為5，8，x，則最長邊x的取值范圍是（）A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜13【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的取值范圍，再根據(jù)x是最長邊求解．【解答】解：∵5+8=13，8﹣5=3，∴3＜x＜13，又∵x是三角形中最長的邊，∴8＜x＜13．故選D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，需要注意x是三角形最長邊的條件，這是本題最容易出錯的地方．7．如圖，在Rt△ADB中，∠D=90°，C為AD上一點(diǎn)，∠ACB=6x，則x值可以是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角可得∠ACB＞90°，再根據(jù)∠ACB是鈍角小于180°列式，然后求解即可．【解答】解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACB=6x＞90°，解得x＞15°，∵∠ACB是鈍角，∴6x＜180°，∴x＜30°，∴15°＜x＜30°，縱觀各選項(xiàng)，只有20°符合．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，要注意∠ACB小于180°的暗含條件．8．給出下列關(guān)于三角形的條件：①已知三邊；②已知兩邊及其夾角；③已知兩角及其夾邊；④已知兩邊及其中一邊的對角．利用尺規(guī)作圖，能作出唯一的三角形的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【分析】根據(jù)全等三角形的判定的知識判斷．【解答】解：①是邊邊邊（SSS）；②是兩邊夾一角（SAS）；③兩角夾一邊（ASA）都成立．根據(jù)三角形全等的判定，都可以確定唯一的三角形；而④則不能．故選A．【點(diǎn)評】本題主要考查了作圖的理論依據(jù)．9．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長是（）A．4 B．5 C．1 D．2【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定義得到一對角為直角，再由一對對頂角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理得到一對角相等，再由一對直角相等，以及一對邊相等，利用AAS得到三角形AEH與三角形EBC全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的長．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，則CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故選C【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中點(diǎn)，E是CD延長線上一點(diǎn)，作OF⊥OE交DA的延長線于F，OE交AD于H，OF交AB于G，F(xiàn)O的延長線交CD于K，以下結(jié)論：①OE=OF；②OH=FG；③DF﹣DE=；④S四邊形OHDK=S△BCD，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③【分析】連接OC，根據(jù)題意，推出OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，∠DOH=∠COK，得△DOH≌△COK，得OH=OK，即可推出△FOH≌△EOK，即可①OE=OF，然后根據(jù)結(jié)論①，推出△FOD≌△EOC，得CE=DF，由等腰直角三角形BCD，得CD=，即可推出結(jié)論③，結(jié)合圖形S△BCD=S△OCK+S△DOK，結(jié)合△DOH≌△COK，即可推出結(jié)論④．【解答】解：∵O為BD中點(diǎn)，BC=CD，BC⊥CD，∴OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，OC⊥BD，∵EO⊥FO，∴∠DOH=∠COK，∴△DOH≌△COK，∴OH=OK，∠EKO=∠FHO，∴△FOH≌△EOK，∴OE=OF，∵△DOH≌△COK，∴∠EOD=∠KOC，∴∠FOD=∠EOC，∵∠OCK=∠ODH=45°，OC=OD，∴△FOD≌△EOC，∴CE=DF，∵CD=，∴CE﹣DE=；∴DF﹣DE=；∵△DOH≌△COK，∵S△BOC=S△DOC，∴S四邊形OHDK=S△OCK+S△DOK=S△BCD．故選擇C．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意連接OC，求證△DOH≌△COK，推出△FOH≌△EOK結(jié)論①，在結(jié)論①基礎(chǔ)上即可推出結(jié)論③和結(jié)論④．二．填空題（共7小題）11．如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是4．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍．【解答】解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點(diǎn)G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S陰影=S△CGE+S△BGF=4．故答案為4．【點(diǎn)評】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積=△BGD的面積=△CGD的面積，△AGF的面積=△AGE的面積=△CGE的面積．12．已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命題的是①④．（填寫所有真命題的序號）【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)對各小題進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：①∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，①是真命題；②∵b∥a，c∥a，∴b∥c，∴②是假命題；③∵b⊥a，c⊥a，∴b∥c，∴③是假命題；④∵b⊥a，c⊥a，∴b∥c，④是真命題．故答案為：①④．【點(diǎn)評】本題考查的是命題與定理，熟知在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，則AD=5cm．【分析】根據(jù)勾股定理求出∠C的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AB=10cm，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=90°，∴∠C=30°，∵△AEB≌△ACD，∴AC=AB=10cm，∴AD=AC=5cm．故答案為：5cm．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．14．?dāng)?shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?，這時“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．請你將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等．【分析】把命題的題設(shè)和結(jié)論，寫成“如果…那么…”的形式即可．【解答】解：把命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等；故答案為：如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等．【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，把一個命題寫成“如果…那么…”形式是解決問題的關(guān)鍵．15．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點(diǎn)，若AB=7cm，CF=4cm，則BD=3c【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)求得內(nèi)錯角相等，根據(jù)ASA得出△ADE≌△CFE，從而得出AD=CF，已知AB，CF的長，即可得出BD的長．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE=∠EFC，∵E是DF的中點(diǎn)，∴DE=EF，在△ADE與△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD=CF=4cm，∴BD=AB﹣AD=7﹣4=3（cm）．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個條件是：AE=AF或∠EDA=∠FDA．【分析】要證兩三角形全等的判定，已經(jīng)有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一對邊或一對角相等即可得證．【解答】解：①添加條件：AE=AF，證明：在△AED與△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加條件：∠EDA=∠FDA，證明：在△AED與△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．故答案為：AE=AF或∠EDA=∠FDA．【點(diǎn)評】本題是開放性題目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合題意即可．全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫?。謩e交OA，OB于點(diǎn)C，D．（2）畫一條射線O′A′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′，（3）以點(diǎn)C′為圓心CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D′．（4）過點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．【分析】利用作一個角等于已知角的基本方法求解即可．【解答】解：已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧．分別交OA，OB于點(diǎn)C，D．（2）畫一條射線O′A′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′，（3）以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D′．（4）過點(diǎn)D′畫射線O′B′′，則∠AO′B′=∠AOB．故答案為：O，任意長，O′，OC，C′，CD，D′．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟記作一個角等于已知角．三．解答題（共8小題）18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點(diǎn)P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP，當(dāng)∠B為30度時，AP平分∠CAB．【分析】（1）運(yùn)用基本作圖方法，中垂線的作法作圖，（2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，運(yùn)用直角三角形解出∠B．【解答】解：（1）如圖，（2）如圖，∵PA=PB，∴∠PAB=∠B，如果AP是角平分線，則∠PAB=∠PAC，∴∠PAB=∠PAC=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°，∴∠B=30°時，AP平分∠CAB．故答案為：30．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本作圖，角平分線的知識，解題的關(guān)鍵是熟記作圖的方法及等邊對等角的知識．19．如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根據(jù)角平分線定義可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)．關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出∠EAF、∠CBF，再運(yùn)用三角形外角性質(zhì)求出∠AFB．20．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是20°；②當(dāng)∠BAD=∠ABD時，x=120°；當(dāng)∠BAD=∠BDA時，x=60°．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．【分析】利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案為：①20②120，60（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時，若∠BAD=∠ABD，則x=20若∠BAD=∠BDA，則x=35若∠ADB=∠ABD，則x=50②當(dāng)點(diǎn)D在射線BE上時，因?yàn)椤螦BE=110°，且三角形的內(nèi)角和為180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此時x=125．綜上可知，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角，且x=20、35、50、125．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．21．如圖，有三個論斷①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，請從中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，并證明該命題的正確性．【分析】根據(jù)題意，請從中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)及對頂角相等進(jìn)行證明．【解答】已知：∠B=∠D，∠A=∠C．求證：∠1=∠2．證明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD．∴∠B=∠BFC．∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D．∴DE∥BF．∴∠DMN=∠BNM．∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2．【點(diǎn)評】證明的一般步驟：寫出已知，求證，畫出圖形，再證明．22．如圖，在圖中的兩個三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是對應(yīng)點(diǎn)．（1）用符號“≌“表示這兩個三角形全等（要求對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上）；（2）寫出圖中相等的線段和相等的角；（3）寫出圖中互相平行的線段，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)圖形和已知寫出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（3）根據(jù)全等得出對應(yīng)角相等，根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．23．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．①求證：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．【分析】①利用SAS即可得證；②由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)．【解答】①證明：在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB=∠BDC，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，則∠BDC=75°．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24