第四講：神奇的相似三角形

同學(xué)們好！

鄭瑄zhengxuansky@163.com

QQ：150617895Yesterday……21．（本題8分）如圖，從A地到B地的公路需繞道C地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°．因城市規(guī)劃的需要，將在A，B兩地之間修建一條筆直的公路．（1）求改直后的公路AB的長(zhǎng)；（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）ABC寧波市2014年中考數(shù)學(xué)試卷第21題第四講

神奇的“相似三角形”（1）如何測(cè)樹高？（2）如何知河寬？（3）月亮離我們有多遠(yuǎn)？（4）地球有多大？問題：不上樹測(cè)樹高；不過河測(cè)河寬；在月圓的日子，用一塊錢的硬幣測(cè)出月亮離我們有多遠(yuǎn)；地球有多大？全等三角形1、定義：2、性質(zhì)：3、判定：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（2）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；（3）兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；（4）兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）；（5）直角三角形的斜邊、直角邊（HL）判定。特別關(guān)注：“角角角”（AAA）和“邊邊角”（SSA）的情形.全等圖形相似圖形Itisme!

相似三角形1、定義：

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形。2、性質(zhì)：

相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊成比例；對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)之比等于相似比；對(duì)應(yīng)面積之比為相似比的平方。3、判定：

（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；（4）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；（5）有直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。方法一：利用陽光下的影子。ABCDEF

把長(zhǎng)為2.4米的標(biāo)桿CD直立在地面上，量出標(biāo)桿影長(zhǎng)1.47米，旗桿影長(zhǎng)

2.8米（太陽光線可以近似的看作平行線）2.4m1.47m2.8mxm在樹前面的地面上平放一面鏡子（E），觀測(cè)者沿著直線BE后退到點(diǎn)D，調(diào)整位置使恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A.測(cè)量出：BE=8mDE=2.8mCD=1.6mABECD方法二：利用鏡子的反射。（入射角等于反射角）8m2.8m1.6mxmABCDEFGH方法三：利用標(biāo)桿在地面直上立一根標(biāo)桿EF，沿著直線BF后退到點(diǎn)D，使眼睛C、標(biāo)桿的頂點(diǎn)E、樹梢的頂點(diǎn)A在同一直線上。測(cè)量：人與標(biāo)桿的距離DF；人與樹的距離DB；

人的目高和標(biāo)桿的高度.ABCDEFGH方法四：利用標(biāo)尺用手舉一根標(biāo)尺EF，讓標(biāo)尺與地面垂直，調(diào)整人與樹的距離或眼睛與標(biāo)尺的距離，使標(biāo)尺剛好擋住樹的高度。測(cè)量：人與標(biāo)尺的距離，人與樹的距離確認(rèn)標(biāo)尺的長(zhǎng)度依據(jù)：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。ADCEB測(cè)量河的寬度，某人在河的對(duì)岸找到一參照物樹木Ａ，視線ＡＢ與河岸垂直，然后該人沿河岸步行１０步（每步約0.75m）到O處，進(jìn)行標(biāo)記，再向前步行10步到D處，最后背對(duì)河岸向前步行了20步，此時(shí)樹木A、標(biāo)記O，恰好在同一視線上，則河的寬度為多少米？BODAC“少時(shí)不識(shí)月，呼作白玉盤，又疑瑤臺(tái)鏡，飛在青云端…”兒時(shí)，我們對(duì)月亮充滿了遐想和好奇,月亮離我們到底有多遠(yuǎn)呢？利用下面的方法測(cè)出月球與地球的距離：如圖所示，在月圓時(shí)，把一枚一元的硬幣（直徑約為2.4cm）放在離眼睛點(diǎn)O約2.6米的AB處，正好把月亮遮?。阎虑虻闹睆郊s為3500km，那么月球與地球的距離約為

．解：∵AB∥CD．∴△OAB∽△OCD，∴，∵AB=2.4cm．CD=3500km，OF=2.6m，∴OE=3.8×105km，故答案為：3.8×105km．埃拉托斯特尼：“地理學(xué)之父”，希臘數(shù)學(xué)家、地理學(xué)家、歷史學(xué)家、詩(shī)人、天文學(xué)家。世界上最早測(cè)量地球周長(zhǎng)的人，比中國(guó)的唐代杰出天文學(xué)家僧一行早了近一千年。深井A，夏至日正午12時(shí)，太陽光可直射井底。亞歷山大城與塞尼城幾乎同在一條子午線上。埃拉托斯特尼在亞歷山大城豎起一根小木棍，利用小木棍在地面上的投影測(cè)出小木棍與太陽光之間的夾角為7°2.而亞歷山大城和塞尼城之間的路程約為800千米，所以子午線的周長(zhǎng)約40000千米。這與我們現(xiàn)在知道的子午線周長(zhǎng)約40008千米驚人地接近！如何找線段AB的中點(diǎn)？請(qǐng)畫出兩個(gè)不相似的直角三角形……在網(wǎng)格上，畫出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的網(wǎng)格三角形，并求出其最大面積？如何找線段AB的中點(diǎn)？請(qǐng)畫出兩個(gè)不相似的直角三角形……在網(wǎng)格上，畫出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的網(wǎng)格三角形，并求出其最大面積？如何找線段AB的中點(diǎn)？請(qǐng)畫出兩個(gè)不相似的直角三角形……在網(wǎng)格上，畫出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的網(wǎng)格三角形，并求出其最大面積？數(shù)學(xué)之美：簡(jiǎn)潔、諧和與充滿遐想！

以簡(jiǎn)約、